湖南省邵阳市2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案

邵阳市第二次联考试题卷 数学 (理科 ) 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2l g ( 4 1 2 , 3 4A x y x x B x x ,则 于 ( ) A (2) B.() C (2,4) D () ( 1) 21iz i 的实部为 ( ) A 0 B C 1 D 2 和 Y 的 22 列联表为 : 1110 10a 230 30c 总计 60 40 100 对同一样本 ,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为 ( ) A 45, 15 B 40, 20 C. 35, 25 D. 30, 30 ) c o s ( ) ( 0 )6f x x 的最小正周期为 ,则函数 () ) A可由函数 ( ) g x x 的图像向左平移3个 单位而得 B可由函数 ( ) g x x 的图像向右平移3个单位而得 C. 可由函数 ( ) g x x 的图像向左平移6个单位而得 D可由函数 ( ) g x x 的图像向右平移6个单位而得 若输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为 ( ) A 10 B 15 D 21 中， 3 0 , 3 , 2 3A A B A C ，且 20D，则 D 等于 ( ) A 18 B 9 D 0 ,2 4 0 ,2 5 0 , 且 3 ( ) 2 ( 1 )x a y 的最大值为 5，则 a 等于( ) A B D 1 该几何体的体积为 ( ) A 6 B 9 D 18 5t a n c o s s i n s i 1 2 1 2 1 2m ，则实数 m 的值为 ( ) A 23 B 3 D 3 , 0 1 ,()1 , 1 , 在区间（ 0,4）内任取一个为 x ，则不等式2 1 347l o g ( l o g 4 1 ) ( l o g 1 ) 2x x f x 的概率为（ ) A 13B 512C. 12D : 2 ( 0 )C y p x p的焦点为 F ，点00( , 2 2 ) ( )2pM x x 是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段 交于 点 A ，且被直线2得的弦长为 3 若 2则 于 ( ) A 32B 1 D 3 ) 2 2xf x a e x a ，且 1,2a ，设函数 ()0,上的最小值为 m ，则 m 的取值范围是 ( ) A 2, 2 B 1 2, eC. 2 , 1 D 1 1, e第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 52( 3 ) (1 )x x的展开式中常数项为 2 1 ( 0 , 0 )xy 的左、右端点分别为 , (0, 2 )线段垂直平分线过点 B ，则双曲线的离心率为 斜公式”，设 个内角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ,面积为 S ,则“三斜求积”公式为2 2 22 2 21 ( ) 42a c bS a c ,若 2 s s A , 22( ) 1 2a c b ， 则用“三斜求积”公式求得 的面积为 1 1A B C D A B C D中 ,底面 边长为 2 的正方形 , 1 3E 是1过1面 平面11 ,则 平面 成角的正切值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知等比数列 n 项和 16 3 ( )a n N . (1)求 a 的值及数列 (2)若 231(1 ) l o g ( )n n nb a n a a ,求数列 1的 前 n 项和18. 某中点中学为了了解高一年级学生身体发育情况 ,对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查 ,测得身高 (单位 : 频数分布表如下表 1、表 2. 表 1：男生身高频数分布表 （） 身高()160,165） 165,170） 170,175） 175,180） 180,185） 185,190） 频数 2 5 14 18 4 2 表 2：女生身高频数分布表 身高()150,155） 155,160） 160,165） 166,170） 170,176） 176,180） 频 数 1 7 12 6 3 1 （ 1）求该校高一女生的人数； （ 2）估计该校学生身高在 165,180）的概率； （ 3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 X 表示身高在165,180）学生的人数，求 X 的分布列及数学期望 . 19. 在如图所示的几何体中，四边形11面 1 1 1 1/ / , 2 ,A B A B A B A B E是 中点 . （ 1）求证：1 / （ 2）若12 2 , 2 2A C B C A B B B ，求1A 二面角的余弦值 . 20. 已知右焦点为2( ,0)2: 1 ( 0 )a 过点 31,2，且椭圆 C 关于直线 对称的图形过坐标原点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 1,02作直线 l 与椭圆 C 交于两点 ，线段 中点为 M ，点 A 是椭圆 直线 斜率 k 的取值范围 . 21. 已知函数 1( ) l n , ( ) af x x a x g ，其中 . （ 1）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，求函数 () （ 2）若 0 1,在，使得00( ) ( )f x g x成立，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点 ( 0 , 0 ) , ( 2 , ) , ( 2 2 , )24O A B. （ 1）求经过 ,圆 C 的极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆2c o s ,1 s i n , （ 是参数），若圆1实数 a 的值 . 等式选讲 设函数 ( ) 2 1f x x x . （ 1）求不等式 ( ) 1的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 ( ) 4 1 2f x m 有解，求实数 m 的取值范围 . 邵阳市第二次联考试题卷 数学参考 答案 （理科） 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 14. 10215. 3 16. 56三、解答题 1） 163， 当 1n 时，116 6 9S a a ， 当 2n 时，16 6 ( ) 2 3 nn n S ， 即 13， 1 1a，则 96a ，得 3a ， 数列 3 ( )n N. （ 2）由（ 1）得 231(1 ) l o g ( ) ( 3 2 ) ( 3 1 )n n n nb a a a n n ， 121 1 1 1 1 1. . . . . 4 7 ( 3 2 ) ( 3 1 )n nT b b b n n 1 1 1 1 1 1(1 . . . )3 4 4 7 3 2 3 231 . 1）设高一女生人数为 x ，由表 1 和表 2 得样本中男、女生人数分布为 40 和 30， 则 700 4030，得 300x ，即该校高一女生的人数为 300. （ 2）由表 1、表 2 知，样本中身高在 165,180)的学生人数为： 5 1 4 1 3 6 3 1 4 2 ， 样本容量为 70，所以样本中学生身高在 165,180)的频率为 42 370 5， 故由频率估计该校学生身高在 165,180)的频率 35p. （ 3）依题意知 X 的可能取值为 0,1,2， 由上表知：女生的身高在 165,180)的频率为 13，男生身高在 165,180)的频率为 45， 4 1 2( 0 ) ( 1 ) ( 1 )5 3 1 5 ， 4 1 4 1 9( 1 ) ( 1 ) ( 1 )5 3 5 3 1 5 ， 4 1 4( 2 ) 5 3 1 5 ， X 的分布列为： X 的数学期望 2 9 4 1 7( ) 0 1 21 5 1 5 1 5 1 5 . 1）证明：取 中点 F ，连接1,F， 112 B，11B， 11/A B 11/B. 的中位线， /B ， 1A F，平面1 / 1面11 /（ 2）连接 则 B ，以 F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则1( 0 , 1, 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1, 0 ) , ( 7 , 0 , 0 )A A B C， 17 1 7 3( , , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( , , 0 )2 2 2 2E B A B E . 设平面1 , , )n x y z ， 则 1 0,0,n E 即 0,73 0,22 令 1y ，则 3 ,17， 3( ,1,1)7n . 向量 ( 7 , 0 , 0 ) 是平面11 3 3 2 3c o s ,2323n F C . 二面角1A 的余弦值为 3 2323. 1）椭圆 C 过点 31,2，22191， 椭圆 C 关于直线 对称的图形过坐标原点， 2， 2 2 2a b c， 2234 由得 224, 3， 椭圆 C 的方程为 22143. （ 2）依题意，直线 l 过点 1,02且斜率不为零，故可设其方程为 12x . 由方程组221 ,2143x 消去 x ，并整理得 224 ( 3 4 ) 1 2 4 5 0m y m y . 设1 1 2 2 0 0( , ) , ( , ) , ( , )E x y F x y M x y， 12 2334m ， 120 232 2 ( 3 4 )yy my m ， 00 2132 3 4mx m y m ， 0 20 2 4 4y mk . 当 0m 时， 0k ； 当 0m 时， 144k ， 444 4 8 ， 110 4 84 m m. 108k， 1188k 且 0k . 综合、可知，直线 斜率 k 的取值范围是 11 , 88. 1） 1( ) l x x a ， 22 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 a a x a x a x x x x x x ， 当 10a 时，即 1a 时，在 (0,1 )a 上 ( ) 0 ，在 (1 , )a 上 ( ) 0 ， 所以 ()0,1 )a 上单调递减，在 (1 , )a 上单调递增； 当 10a ，即 1a 时，在 (0, ) 上 ( ) 0 ， 所以，函数 ()0, ) 上单调递增 . （ 2）若存在0 1, 使得00( ) ( )f x g x成立，即存在0 1, 使得0 0 0( ) ( ) ( ) 0h x f x g x ，即函数 1( ) l x x a 在 1, e 上的最小值小于零 . 由（ 1）可知： 当 1 ，即 1时， ( ) 0 ， ()1, e 上单调递减， 所以 () 由 1( ) 0ah e e 可得 2 11ea e ， 因为 2 1 11e ，所以 2 11ea e . 当 11a，即 0a 时， ()1, e 上单调递增， 所以 ()1)h ，由 (1 ) 1 1 0 可得 2a . 当 11 ，即 01 时，可得 ()1 )， 因为 0 1 ) 1a ，所以， 0 1 )a a a ，故 ( 1 ) 2 l n ( 1 ) 2 0h a a a a ，不合题题 . 综上可得所求 a 的范围是 2 1( , 2 ) ( , )1 . 1） ( 0 , 0 ) , ( 2 , ) , ( 2 2 , )24O A B对应的直角坐标分别为 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 2 , 2 )O A B，则过 ,圆的普通方程为 22 2 2 0x y x y ，又因为 ，代入可求得经过 ,圆 C 的极坐标方程为 2 2 c o s ( )4. （ 2）圆2C： 1 c o s1 s （ 是参数）对应的普通方程为 2 2 2( 1 ) ( 1 )x y a ， 当圆1 2 2 2a ，解得 2a . 1）函数 () , 2 ,( ) 2 1