河南省濮阳市2017年中考数学一模试卷含答案解析

河南省濮阳市 2017 年中考数学一模试卷 （解析版） 一、选择题 1 3 的绝对值是（ ） A B C 3 D 3 2 2016 年 3 月 9 日，谷歌人工智能 与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能 计算能力达到每秒 275万亿次，将 275 万亿用科学记数法表示为（ ） A 275 1012 B 1012 C 1013 D 1014 3如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ） A（ 3= a2+a2=（ 3a） （ 2a） 2=6a D 3a a=3 5如图，已知 尺规作图的方法在 取一点 P，使得C=下列选项正确的是（ ） A B C D 6如图，直线 l x 轴于点 P，且与反比例函数 （ x 0）及 （ x 0）的图象分别交于点 A， B，连接 知 面积为 2，则 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 4 7已知二次函数 y=（ x h） 2+1（ h 为常数），在自变量 x 的值满足 1 x 3 的情况下，与其对应的函数 y 的最小值为 5，则 h 的值是（ ） A 1 B 1 或 5 C 5 D 5 8学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9从 3， 1， 1， 3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 解，且使关于 x 的分式方程 = 1 有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ） A 2 B 3 C D 10如图在坐标系中放置一菱形 知 0，点 B 在 y 轴上， ，先将菱形 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60，连续翻转 2017 次，点 B 的落点依次为 ，则 坐标为（ ） A（ 1345， 0） B（ ） C（ 1345， ） D（ 0） 二、填空题 11计算：（ ） 2+（ 2017） 0= 12在一个不透明的盒子中装有 16 个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 ，则黄球的个数为 13若关于 x 的一元二次方程（ a 1） x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 14如图矩形 ， ， ，连接 线段 别绕点 0至 段 弧 于点 G，连接 图中阴影部分面积为 15如图，在 ， 0， ， ，点 D 是边 中点，点E 是边 的任意一点（点 E 不与点 B 重合），沿 折 点 B 落在点F 处，连接 线段 长取最小值时， 长为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16（ 8 分）先化简（ 1 ） ，然后从 2 a 2 的范围内选取一个合适的整数作为 a 的值代入求值 17（ 9 分）中华文明，源远流长； 中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的 “汉字听写 ”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50 x 60 10 0 x 70 30 0 x 80 40 n 80 x 90 m 0 x 100 50 根据所给信息，解答下列 问题： （ 1） m= ， n= ； （ 2）请补全频数分布直方图； （ 3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （ 4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为 “优 ”等，则该校参加这次比赛的 3000名学生中成绩 “优 ”等约有多少人？ 18（ 9 分）如图，在 ， 0，以 直径的 O，与斜边 、 E 为 的中点，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）填空： 若 B=30， ，则 ； 当 B= 时，以 O， D， E， C 为顶点的四边形是正方形 19（ 9 分）小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 测得 B，C 两点的俯角分别为 45， 35已知大桥 地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度（结果保留整数） （参考数据： ， ， ） 20（ 9 分）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买 A， B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买 A 种树苗 8 棵， B 种树苗 3 棵，需要 950 元；若购买 A 种树苗 5 棵， B 种树苗 6 棵，则需要 800 元 （ 1）求购买 A， B 两种树苗每棵各需多少元？ （ 2）考虑到绿化效果和资金周转，购进 A 种树苗不能少于 50 棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过 7650 元，若购进这两种树苗共 100 棵 ，则有哪几种购买方案？ （ 3）某包工队承包种植任务，若种好一棵 A 种树苗可获工钱 30 元，种好一棵 0 元，在第（ 2）问的各种购买方案中，种好这 100 棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 21（ 10 分）阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 y1=ax+b 与双曲线 交于 A（ 1， 3）和 B（ 3， 1）两点 观察图象可知： 当 x= 3 或 1 时， y1= 当 3 x 0 或 x 1 时， 通 过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b 的解集 有这样一个问题：求不等式 x 4 0 的解集 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 4 0 的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请将（ 2）、（ 3）、（ 4）补充完整： （ 1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； （ 2）构造函数，画出图象 设 y3=x 1， ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象 双曲线 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x 1；（不用列表） （ 3）确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证 可知：满足 y3=所有 x 的值为 ； （ 4）借助图象，写出解集 结合（ 1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x 4 0 的解集为 22（ 10 分）（ 1）【问题发现】 如图 1，在 ， C=2， 0，点 D 为 中点，以 一边作正方形 E 恰好与点 A 重合，则线段 数量关系为 （ 2）【拓展研究】 在（ 1）的条件下，如果正方形 点 C 旋转，连接 段 F 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （ 3）【问题发现】 当正方形 转到 B， E， F 三点共线时候，直接写出线段 长 23（ 11 分）如图，直线 y= x 4 与抛物线 y=bx+c 相交于 A， B 两点，其中 A， B 两点的横坐标分别为 1 和 4，且抛物线过原点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在坐标轴上是否存在点 C，使 等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由； （ 3）若点 P 是线段 不与 A， B 重合的动点，过点 P 作 抛物线第三象限的部分交于一点 E，过点 E 作 x 轴于点 G，交 点 F，若 S S 的值 2017 年河南省濮阳市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1 3 的绝对值是（ ） A B C 3 D 3 【考点】 绝对值 【分析】 根据绝对值的性质解答即可 【解答 】 解： 3 的绝对值等 3 故选： D 【点评】 此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 2 2016 年 3 月 9 日，谷歌人工智能 与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能 计算能力达到每秒 275万亿次，将 275 万亿用科学记数法表示为（ ） A 275 1012 B 1012 C 1013 D 1014 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， 【解答】 解： 275 万亿 =27500000000000=1014， 故选 D 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图 【解答】 解：从上面看是三个矩形，符合题意的是 C， 故选： C 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图 4下列计算正确的 是（ ） A（ 3= a2+a2=（ 3a） （ 2a） 2=6a D 3a a=3 【考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】 解： A、（ 3=3=本选项正确； B、应为 a2+本选项错误； C、应为（ 3a） （ 2a） 2=（ 3a） （ 4=12=12本选项错误； D、应为 3a a=2a，故本选项 错误 故选 A 【点评】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键 5如图，已知 尺规作图的方法在 取一点 P，使得C=下列选项正确的是（ ） A B C D 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 由 C= C=得 B，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点 P 在 垂直平分线上，于是可判断 D 选项正确 【解答】 解： C= 而 C= B， 点 P 在 垂直平分线上， 即点 P 为 垂直平分线与 交点 故选 D 【点评】 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 6如图，直线 l x 轴于点 P，且与反比例函数 （ x 0）及 （ x 0）的图象分别交于点 A， B，连接 知 面积为 2，则 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 4 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 根据反比例函数 k 的几何意义可知： 面积为 ， 面积为 ，由题意可知 面积为 【解答】 解：根据反比例函数 k 的几何意义可知： 面积为 ， 面积为 ， =2， ， 故选（ C） 【点评】 本题考查反比例函数 k 的几何意义，解题的关键是正确理解 k 的几何意义，本题属于中等题型， 7已知二次函数 y=（ x h） 2+1（ h 为常数），在自变量 x 的值满足 1 x 3 的情况下，与其对应的函数 y 的最小值为 5，则 h 的值是（ ） A 1 B 1 或 5 C 5 D 5 【考点】 二次函数的最值 【分析】 由解析式可知该函数在 x=h 时取得最小值 1、 x h 时， y 随 x 的增大而增大、当 x h 时， y 随 x 的增大而减小，根据 1 x 3 时，函数的最小值为 5可分如下两种情况： 若 h 1 x 3， x=1 时， y 取得最小值 5； 若 1 x 3 h，当 x=3 时， y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可 【解答】 解： 当 x h 时， y 随 x 的增大而增大，当 x h 时， y 随 x 的增大而减小， 若 h 1 x 3， x=1 时， y 取得最小值 5， 可得：（ 1 h） 2+1=5， 解得： h= 1 或 h=3（舍）； 若 1 x 3 h，当 x=3 时， y 取得最小值 5， 可得：（ 3 h） 2+1=5， 解得： h=5 或 h=1（舍） 综上， h 的值为 1 或 5， 故选： B 【点评】 本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数 的性质和最值分类讨论是解题的关键 8学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】 方差；算术平均数 【分析】 先比较平均数得 到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛 【解答】 解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大， 而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组 故选 C 【点评】 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数的意义 9从 3， 1， 1， 3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 解，且使关于 x 的分式方程 = 1 有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ） A 2 B 3 C D 【考点】 分式方程的解；解一元一次不等式 组 【分析】 表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式组无解确定出 a 的值，代入分式方程判断，求出满足条件 a 的值，求出之和即可 【解答】 解：不等式组整理得： ， 由不等式组无解，得到 a 1，即 a= 3， 1， 1， 当 a= 3 时，分式方程为 = 1， 去分母得： x 5= x+3， 解得： x=4， 经检验 x=4 是分式方程的解，且为整数解，满足题意； 当 a= 1 时，分式方程为 = 1， 去分母得： x 3= x+3， 解得： x=3， 经检验 x=3 是增根，分式方程无解，不满足题意； 当 a=1 时，分式方程为 = 1， 去分母得： x 1= x+3， 解得： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解，且为整数解，满足题意， 则这 5 个数中所有满足条件 的 a 的值之和为 3+1= 2， 故选 A 【点评】 此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，确定出 a 的值是解本题的关键 10如图在坐标系中放置一菱形 知 0，点 B 在 y 轴上， ，先将菱形 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60，连续翻转 2017 次，点 B 的落点依次为 ，则 坐标为（ ） A（ 1345， 0） B（ ） C（ 1345， ） D（ 0） 【考点】 菱形的性质；规律型：点的坐标 【分析】 连接 据条件可以求出 出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转 6 次，图形向右平移 4由于 2017=336 6+1，因此点 右平移 1344（即 336 4）即可到达点 据点 2017 的坐标 【解答】 解：连接 图所示 四边形 菱形， B=C 0， 等边三角形 B A ， 画出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形，如图所示 由图可知：每翻转 6 次，图形向右平移 4 2017=336 6+1， 点 右平移 1344（即 336 4）到点 坐标为（ ）， 坐标为（ 344， ）， 坐标为（ ） 故答案为：（ ） 【点评】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力发现 “每翻转 6 次，图形向右平移 4”是解决本题的关键 二、填空题 11计算：（ ） 2+（ 2017） 0= 5 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =4+1=5， 故答案为： 5 【点评】 此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12在一个不透明的盒子中装有 16 个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 ，则黄球的个数为 8 【考点】 概率公式 【分析】 设黄球的个数为 x 个，根据概率公式得到 = ，然后解方程即可 【解答】 解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得： = ， 解得 x=8， 经检验： x=8 是原分式方程的解， 故答案为 8 【点评】 本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 13若关于 x 的一元二次方程（ a 1） x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 a 且 a 1 【考点】 根的判别式 【分析】 由一元二次方程（ a 1） x+1=0 有实数根，则 a 1 0，即 a 1，且 0，即 =（ 1） 2 4（ a 1） =5 4a 0，然后解两个不等式得到 a 的取值范围 【解答】 解： 一元二次方程（ a 1） x+1=0 有实数根， a 1 0 即 a 1，且 0，即有 =（ 1） 2 4（ a 1） =5 4a 0，解得 a ， a 的取值范围是 a 且 a 1 故答案为： a 且 a 1 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0， a， b， c 为常数）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根同时考查了一元二次方程的定义 14如图矩形 ， ， ，连接 线段 别绕点 0至 段 弧 于点 G，连接 图中阴影部分面积为 【考点】 扇形面积的计算；矩形的性质；旋转的性质 【分析】 根据勾股定理得到 ，由三角函数的定义得到 0，根据旋转的性质得到 0，求得 0，然后根据图形的面积即可得到结论 【解答】 解：在矩形 ， ， ， ， = ， 0， 线段 别绕点 A 顺时针旋转 90至 0， 0， B= ， 阴影部分面积 =S 扇形 S 1+ 2= ， 故答案为： 【点评】 本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键 15如图，在 ， 0， ， ，点 D 是边 中点，点E 是边 的任意一点（点 E 不与点 B 重合），沿 折 点 B 落在点F 处，连接 线段 长取最小值时， 长为 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 由题意得： B，得 到点 F 在以 D 为圆心， 半径的圆上，作 D； 连接 D 于点 F，此时 最小，由点 D 是边 中点，得到 D=3；而 ，由勾股定理得到 ，求得线段 的最小值是 2，连接 H H，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：由题意得： B， 点 F 在以 D 为圆心， 半径的圆上，作 D； 连接 D 于点 F，此时最小， 点 D 是边 中点， D=3；而 ， 由勾股定理得： ，而 ， 3=2， 即线段 的最小值是 2， 连接 F 作 H， 0， ， ， ， ， = ， 故答案为： 【点评】 该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16先化简（ 1 ） ，然后从 2 a 2 的范围内选取一个合适 的整数作为 a 的值代入求值 【考点】 分式的化简求值 【分析】 首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入 0 或 1 求解 【解答】 解：原式 = = 当 a=0 时，原式 = =2 【点评】 本题考查了分式的化简求值，正确进行通分、约分是关键，本题中要注意 a 不能取 2， 2 以及 1 17中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的 “汉字听写 ”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50 x 60 10 0 x 70 30 0 x 80 40 n 80 x 90 m 0 x 100 50 根据所给信息，解答下列问题： （ 1） m= 70 ， n= （ 2）请补全频数分布直方图； （ 3）这次比赛成绩的中位数会落在 80 x 90 分数段； （ 4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为 “优 ”等，则该校参加这次比赛的 3000名学生中成绩 “优 ”等约有多少人？ 【考点】 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；统计量的选择 【分析】 （ 1）根据第 4 组的频率是 得 m 的值，根据第 3 组频数是 40，求得 n 的值； （ 2）根据（ 1）的计算结果即可补全频数分布直方图； （ 3）根据总人数以及各组人数，即可得出比赛成绩的中位数； （ 4）利用总数 3000 乘以 “优 ”等学生的所占的频率即可得出该校参加这次比赛的3000 名学生中成绩 “优 ”等的人数 【解答】 解：（ 1）由题可得， m=200 0； n=40 200= 故答案为： 70， （ 2）频数分布直方图如图所示， （ 3） 前三组总数为 10+30+40=80，前四组总数为 10+30+40+70=150，而 80100 150， 比赛成绩的中位数会落在 80 x 90 分数段； 故答案为： 80 x 90； （ 4）该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩 “优 ”等约有： 3000 50（人） 【点评】 本题考查频数（率）分布直方图，中位数的定义以及利用样本估计总体的运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 18如图，在 ， 0，以 直径的 O，与斜边 于点D、 E 为 的中点，连接 （ 1）求证 ： O 的切线； （ 2）填空： 若 B=30， ，则 3 ； 当 B= 45 时，以 O， D， E， C 为顶点的四边形是正方形 【考点】 切线的判定；含 30 度角的直角三角形；正方形的判定 【分析】 （ 1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明 0即可解决问题； （ 2） 直接利用锐角三角函数关系得出 长，再利用直角三角形的性质得出长； 当 B=45时，四边形 正方形，由等腰三角形的性质，得到 A=45，于是 0然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连接 直径， 0， 0， 又 E 为 的中点， 直角 边的中线， E= D， 0， 0 O 的切线 （ 2）解： B=30， ， 0， = = ， 解得： ， 则 ； 故答案为： 3； 当 B=45时，四边形 正方形， 0， A=45， D， 5， 0， 0， 0， 四边形 矩形， C， 矩形 正方形 故答案为： 45 【点评】 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 19小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 测得 B， C 两点的俯角分别为 45， 35已知大桥 地面在同一水平面上，其长度为 100m，请求出热气球离地面的高度（结果保留整数） （参考数据： ， ， ） 【考点】 解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】 作 延长线于 D，设 x，表示出 据正切的 概念求出 x 的值即可 【解答】 解：作 延长线于 D，设 x， 由题意得， 5， 5， 在 ， 5， DB=x， 在 ， 5， ， = ， 解得， x 233m 【点评】 本题考查 的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形 20我市在创建全国文明城市过程中，决定购买 A， B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买 A 种树苗 8 棵， B 种树苗 3 棵，需要 950 元；若购买 A 种树苗 5 棵， B 种树苗 6 棵，则需要 800 元 （ 1）求购买 A， B 两种树苗每棵各需多少元？ （ 2）考虑到绿化效果和资金周转，购进 A 种树苗不能少于 50 棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过 7650 元，若购进这两种树苗共 100 棵，则有哪几种购买方案 ？ （ 3）某包工队承包种植任务，若种好一棵 A 种树苗可获工钱 30 元，种好一棵 0 元，在第（ 2）问的各种购买方案中，种好这 100 棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）设购买 A 种树苗每棵需要 x 元， B 种树苗每棵需要 y 元，根据总价 =单价 数量，可列出关于 x、 y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （ 2）设购买 A 种树苗 m 棵，则购买 B 种树苗 100 m 棵，根据总价 =单价 数量，可列出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 m 的取值范围，由此可得出结论； （ 3）设种植工钱为 W，根据植树的工钱 =植 A 种树的工钱 +植乙种数的工钱，列出 W 关于 m 的函数关系式，根据一次函数的单调性即可解决最值问题 【解答】 解：（ 1）设购买 A 种树苗每棵需要 x 元， B 种树苗每棵需要 y 元， 由已知得： ， 解得： 答：购买 A 种树苗每棵需要 100 元， B 种树苗每棵需要 50 元 （ 2）设购买 A 种树苗 m 棵，则购买 B 种树苗 100 m 棵， 根据已知，得 ， 解得： 50 m 53 故有四种购买方案： 1、购买 A 种树苗 50 棵， B 种树苗 50 棵； 2、购买 A 种树苗51 棵， B 种树苗 49 棵； 3、购买 A 种树苗 52 棵， B 种树苗 48 棵； 4、购买 A 种树苗 53 棵， B 种树苗 47 棵 （ 3）设种植工钱为 W，由已知得： W=30m+20（ 100 m） =10m+2000， 当 m=50 时， W 最小，最小值为 2500 元 故购买 A 种树苗 50 棵、 B 种树苗 50 棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是 2500元 【点评】 本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及 一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（ 1）列出关于 x、 y 二元一次方程组；（ 2）根据数量关系列出关于 m 的一元一次不等式组；（ 3）根据数量关系找出 W 关于 题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键 21（ 10 分）（ 2017濮阳一模）阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 y1=ax+b 与双曲线 交于 A（ 1， 3）和 B（ 3， 1）两点 观察图象可知： 当 x= 3 或 1 时， y1= 当 3 x 0 或 x 1 时， 通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b 的解集 有这样一个问题：求不等式 x 4 0 的解集 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 4 0 的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请将（ 2）、（ 3）、（ 4）补充完整： （ 1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立； 当 x 0 时，原不等式 可以转化为 x 1 ； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； （ 2）构造函数，画出图象 设 y3=x 1， ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象 双曲线 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x 1；（不用列表） （ 3）确定两个函数图象公 共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=所有 x 的值为 1 和 4 ； （ 4）借助图象，写出解集 结合（ 1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x 4 0 的解集为 x 1 或 4 x 1 【考点】 二次函数与不等式（组） 【分析】 （ 2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象； （ 3）根据图象即可直接求解； （ 4）根据已知不等式 x 4 0 即当 x 0 时， x 1 ，；当 x 0时， x 1 ，根据图象即可直接写出答案 【解答】 解：（ 2） ； （ 3）两个函数图象公共点的横坐标是 1 和 4 则满足 y3=所有 x 的值为 1 和 4 故答案是： 1 和 4； （ 4）不等式 x 4 0 即当 x 0 时， x 1 ，此时 x 的范围是： x 1； 当 x 0 时， x 1 ，则 4 x 1 故答案是： x 1 或 4 x 1 【点评】 本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式 x 4 0 即当x 0 时， x 1 ，；当 x 0 时， x 1 ，分成两种情况讨论是本题的关键 22（ 10 分）（ 2017濮阳一模）（ 1）【问题发现】 如图 1，在 ， C=2， 0，点 D 为 中点，以 一边作正方形 E 恰好与点 A 重合，则线段 数量关系为 F （ 2）【拓展研究】 在（ 1）的条件下，如果正方形 点 C 旋转，连接 段 F 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （ 3）【问题发现】 当正方形 转到 B， E， F 三点共线时候，直接写出线段 长 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1） 先利用等腰直角三角形的性质得出 ，再得出 B=2，即可得出结论； （ 2）先利用三角函数得出 ，同理得出 ，夹角相等即可得出 而得出结论； （ 3）分两种情况计算，当点 E 在线段 时，如图 2，先利用勾股定理求出F=， ，即可得出 ，借助（ 2）得出的结论，当点 F 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论 【解答】 解：（ 1）在 ， C=2， 根据勾股定理得， ， 点 D 为 中点， ， 四边形 正方形， F=， B=2， 故答案为 （ 2）无变化； 如图 2，在 ， C=2， 5， = ， 在正方形 ， 5， 在 ， ， ， 5， ， 线段 数量关系无变化； （ 3）当点 E 在线段 时，如图 2， 由（ 1）知， F=， 在 ， ， ， 根据勾股定理得， ， F ， 由（ 2）知， 1， 当点 E 在线段 延长线上时，如图 3， 在 ， C=2， 5， = ， 在正方形 ， 5， 在 ， ， ， 5， ， 由 （ 1）知， F=， 在 ， ， ， 根据勾股定理得， ， F+ ， 由（ 2）知， +1 即：当正方形 转到 B， E，