四川省南充市2017年高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

四川省南充市 2017 年高考数学二诊试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1当 m 1 时，复数 z=（ 3m 2） +（ m 1） i 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2满足条件 1， 3 A=1， 3， 5所有集合 A 的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 3秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的数学九章概括了宋元时期中国 传统数学的主要成就由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法用秦九韶算法求多项式 f（ x） =4，当 x=3 时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（ ） A 4， 2 B 5， 2 C 5， 3 D 6， 2 4如图所示的程序框图中，输出的 B 是（ ） A B 0 C D 5某种商品计划提价，现有四种方案，方案（ ）先提价 m%，再提价 n%； 方案（ ）先提价 n%，再提价 m%；方案（ ）分两次提价，每次提价（ ） %；方案（ ）一次性提价（ m+n） %，已知 m n 0，那么四种提价方案中，提价最多的是（ ） A B C D 6函数 y= 2x+ ） 单调减区间是（ ） A ， （ k Z） B ， （ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 7某校开设 5 门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选 1 门或 2 门课学习，甲、乙、丙三位同 学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ） A 330 种 B 420 种 C 510 种 D 600 种 8一个多面体的三视图和直观图如图所示， M 是 中点，一只蜻蜓在几何体 自由飞翔，则它飞入几何体 F 的概率为（ ）A B C D 9已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f （ 2 x） =f（ x）当 x 0， 1时， f （ x） =e x，若函数 y=f （ x） 2+（ m+l） f（ x） +n 在区间 k， k（ k 0）内有奇数个零点，则 m+n=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 10在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ，则这个三角形必含有（ ） A 90的内角 B 60的内角 C 45的内角 D 30的内角 11锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（ ） A 1： ： B 1： 2： 3 C 1：（ 1）：（ ） D 1：（ 1）：（ ） 12 F 是抛物线 C： x 的焦点，过 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1，抛物线 C 于点 A， B， 抛物线 C 于点 G， H，则 的最小值是（ ） A 8 B 8 C 16 D 16 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13满足不等式组 的点（ x， y）组成的图形的面积为 14渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k（ k 0），则鱼群年增长量的最大值是 15若直线 2=0（ a， b R）始终平分圆 x2+x 4y+1=0 的周长，则取值范围是 16在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， C=2A， ， = ，则 b= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）设各项均为正数的数列 足：对任意 n N*， bn， 成等差数列， ， 成等比数列，且 ， ， （ ）证明数列 是等差数列； （ ）求数列 前 n 项的和 18（ 12 分）某校的学生记者团由理科组 和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 4 4 3 1 学校准备从中选出 4 人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记 1 分，每选出一名女生则给其所在小组记 2 分，若要求被选出的4 人中理科组、文科组的学生都有 （ ）求理科组恰好记 4 分的概率？ （ ）设文科男生被选出的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 19（ 12 分）如图，直三棱柱 ， M 是 中点， 等腰三角 形， D 为 中点， E 为 一点 （ ）若 平面 ； （ ）求直线 平面 成角的余弦值 20（ 12 分）已知直线 l： x+y+8=0，圆 O： x2+6（ O 为坐标原点），椭圆 C：=1（ a b 0）的离心率为 e= ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等 （ I）求椭圆 C 的方程； （ 点（ 3， 0）作直线 l，与椭圆 C 交于 A， B 两点设 （ O 是坐标原点），是否存在这样的直线 l，使四边形为 对角线长相等？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 21（ 12 分）已知 f（ x） =x （ 0， e， g（ x） = ，其中 e 是自然对数的底数， a R （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ ）求证：在（ ）的条件下， f（ x） g（ x） + ； （ ）是否存在实数 a，使 f（ x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程 为 + ） =1，圆C 的圆心是 C（ 1， ），半径为 1，求： （ 1）圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 被圆 C 所截得的弦长 选修 4等式选讲 23若关于 x 的不等式 x+|x 1| a 有解，求实数 a 的取值范围 2017 年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1当 m 1 时，复数 z=（ 3m 2） +（ m 1） i 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 当 m 1 时，复数 z 的实部 3m 2 （ 0， 1），虚部 m 1 即可得出 【解答】 解：当 m 1 时，复数 z 的实部 3m 2 （ 0， 1），虚部 m 1 复数 z=（ 3m 2） +（ m 1） i 在复平面上对应的点（ 3m 2， m 1）位于第四象限 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2满足条件 1， 3 A=1， 3， 5所有集合 A 的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 由题意知满足条件的集合 A 中必有元 素 5，元素 1， 3 可以没有，或有1 个，或有 2 个，由此能求出满足条件 1， 3 A=1， 3， 5所有集合 A 的个数 【解答】 解： 满足条件 1， 3 A=1， 3， 5， 满足条件的集合 A 有： 5， 1， 5， 3， 5， 1， 3， 5， 满足条件 1， 3 A=1， 3， 5所有集合 A 的个数是 4 故选： A 【点评】 本题考查满足条件的集合 A 的个数的求法，是基础题，注意并集性质的合理运用 3秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的数学九章概括了宋元时期中国传统数学的主要成就由他提出 的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法用秦九韶算法求多项式 f（ x） =4，当 x=3 时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（ ） A 4， 2 B 5， 2 C 5， 3 D 6， 2 【考点】 秦九韶算法 【分析】 由秦九韶算法的原理，可以把多项式 f（ x） =4 变形计算出乘法与加法的运算次数 【解答】 解： f（ x） =（ 4x） x） x 1） x） x+2， 乘法要运算 5 次，加减法要运算 2 次 故选 B 【点评】 本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题 4如图所示的程序框图中，输出的 B 是（ ） A B 0 C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i， A， B 的值，当 i=2018时不满足条件 i 2017，退出循环，输出 B 的值为 ，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 A= ， i=1， A= ， B= ， i=2，满足条件 i 2017，执行循环 体， A=， B=0， i=3，满足条件 i 2017，执行循环体， A= ， B= ， i=4，满足条件 i 2017，执行循环体， A= ， B= ， 观察规律可知，可得： i=2017，满足条件 i 2017，执行循环体， A= ， B= ， i=2018，不满足条件 i 2017，退出循环，输出 B 的值为 故选： D 【点评】 本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题 5某种商品计划提价，现有四种方案，方案（ ）先提价 m%，再提 价 n%；方案（ ）先提价 n%，再提价 m%；方案（ ）分两次提价，每次提价（ ） %；方案（ ）一次性提价（ m+n） %，已知 m n 0，那么四种提价方案中，提价最多的是（ ） A B C D 【考点】 等比数列的性质；等差数列的性质 【分析】 设单价为 1，那么方案（ ）售价为： 1 （ 1+m%）（ 1+n%） =（ 1+m%）（ 1+n%）；方案（ ）提价后的价格是：（ 1+n%）（ 1+m%）；（ ）提价方案提价后的价格是：（ 1+ %） 2；方案（ ）提价后的价格是 1+（ m+n） %显然甲、乙两种方案最终价格 是一致的，因而只需比较（ 1+m%）（ 1+n%）与（ 1+ %）2 的大小 【解答】 解：依题意得：设单价为 1，那么方案（ ）售价为： 1 （ 1+m%）（ 1+n%）=（ 1+m%）（ 1+n%）； 方案（ ）提价后的价格是：（ 1+n%）（ 1+m%）； （ 1+m%）（ 1+n%） =1+m%+n%+m%n%=1+（ m+n） %+m%n%； （ ）提价后的价格是（ 1+ %） 2=1+（ m+n） %+（ %） 2； 方案（ ）提价后的价格是 1+（ m+n） % 所以只要比较 m%n%与（ %） 2 的大小即可 （ %） 2 m%n%=（ %） 2 0 （ %） 2 m%n% 即（ 1+ %） 2 （ 1+m%） （ 1+n%） 因此，方案（ ）提价最多 故选 C 【点评】 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系需用到的知识点为：（ a b） 2 0 6函数 y= 2x+ ） 单调减区间是（ ） A ， （ k Z） B ， （ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 【考点】 正弦函数的单调性 【分析】 y= 2x ），利用正弦函数的单调增区间，求出函数 y= 2x+ ） 单调减区间 【解答】 解： y= 2x ）， 由 +22x +2 x ， （ k Z）， 即函数 y= 2x+ ） 单调减区间是 ， （ k Z）， 故选： A 【点评】 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，正确化简函数是关键 7某校开设 5 门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选 1 门或 2 门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ） A 330 种 B 420 种 C 510 种 D 600 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论 【解答】 解：由题意，若都选 1 门，有 =60 种； 若有 1 人选 2 门，则有 =180 种， 若有 2 人选 2 门，则有 =90 种， 故共有 60+180+90=330 种， 故选： A 【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知 识的运用，属于中档题 8一个多面体的三视图和直观图如图所示， M 是 中点，一只蜻蜓在几何体 自由飞翔，则它飞入几何体 F 的概率为（ ）A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 先根据三棱锥的体积公式求出 F 体积与三棱锥的体积公式求出 体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可 【解答】 解：因为 = ， ， 所以它飞入几何体 F 的概率为 = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查空间几何 体的体积公式，以及几何概型的应用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题 9已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f （ 2 x） =f（ x）当 x 0， 1时， f （ x） =e x，若函数 y=f （ x） 2+（ m+l） f（ x） +n 在区间 k， k（ k 0）内有奇数个零点，则 m+n=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理 【分析】 根据已知条件， f（ x）为偶函数，再结合零点的定义可知，函数 y=f（ x） 2+（ m+1） f（ x） +n 在区间 k， 0）和区间（ 0， k上的零点个数相同，所以便知k=0 是该函数的一个零点，所以可得到 0=1+m+1+n，所以 m+n= 2 【解答】 解： y=f（ x）是偶函数； 又 函数 y=f（ x） 2+（ m+1） f（ x） +n 在区间 k， k内有奇数个零点； 若该函数在 k， 0）有零点，则对应在（ 0， k有相同的零点； 零点个数为奇数， x=0 时该函数有零点； 0=1+m+1+n； m+n= 2 故选： A 【点评】 考查偶函数的定义： f（ x） =f（ x），零点的定义，以及对于零点定义的运用 10在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ，则这个三角形必含有（ ） A 90的内角 B 60的内角 C 45的内角 D 30的内角 【考点】 正弦定理 【分析】 先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以 ，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到 2，然后在等号两边都乘以 ，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到 2A=B+C，由 A+B+C=180，即可解得： A=60 【解答】 解： = = = = = ， 因为 A+B） = C） =到 A B） = 即 A+B） A B） =2 得到 2，即 2 B+C）， 由 2A+B+C ，得到 2A=B+C， 因为 A+B+C=180 所以可解得： A=60 故选： B 【点评】 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式 以及诱导公式化简求值，属于中档题 11锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（ ） A 1： ： B 1： 2： 3 C 1：（ 1）：（ ） D 1：（ 1）：（ ） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 锥体被平行于底面的两平面截得三部分的体积的比自上至下依次是 1：2： 3，则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比，从而求出相似比为 1： ： ，得到这三部分的相应的高的比 【解答】 解：由题意， 以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体， 根据相似的性质三个锥体的体积比为 1： 2： 3，相似比为 1： ： ， 则 ：（ 1）：（ ）， 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是棱锥的体积，其中利用相似的性质，线之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方，求出三个锥体的体积之比是解答本题的关键 12 F 是抛物线 C： x 的焦点，过 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1，抛物线 C 于点 A， B， 抛物线 C 于点 G， H，则 的最小值是 （ ） A 8 B 8 C 16 D 16 【考点】 直线与抛物线的位置关系；平面向量数量积的运算 【分析】 设 方程： y=k（ x 1）， 方程 y= （ x 1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求 的最小值 【解答】 解：抛物线 C： x 的焦点 F（ 1， 0），设 方程： y=k（ x 1）， y= （ x 1）， A（ B（ G（ H（ 由 ，消去 y 得： 2） x+， x1+ ， 由 ，消去 y 得： 4） x+1=0， x3+， ， （ 9 分） =（ + ）（ + ） =| | |+| | |， =|+| =（ x1+） +（ x3+） =8+ +48+2 =16 当且仅当 =4 k= 1 时， 有最小值 16， （ 12 分） 故选 C 【点评】 本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置 关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13满足不等式组 的点（ x， y）组成的图形的面积为 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 2）， 联立 ，解得 B（ 2， 3）， |2， A 到 在直线的距离为 1 可行域面积为 S= 故答案为： 1 【点评】 本题考查简单的线性规划，考 查数形结合的解题思想方法，是中档题 14渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k（ k 0），则鱼群年增长量的最大值是 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 由鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k（ k 0）我们根据题意求出空闲率，即可得到 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域，使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值 【解答】 解：由题意，空闲率为 1 ， y=1 ），定义域为（ 0， m）， y=1 ） = ， 因为 x （ 0， m）， k 0； 所以当 x= 时， 故答案为 【点评】 函数的实际应用题，我们要经过析题 建模 解模 还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一 15若直线 2=0（ a， b R）始终平分圆 x2+x 4y+1=0 的周长，则取值范围是 （ ， 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 根据圆的性质，得圆心在直线 2=0 上，解得 b=1 a，代入式子 ab 并利用二次函数的图象与性质，即可算出 ab 的取值范围 【解答】 解： 直线 2=0（ a、 b R）始终平分 x2+x 4y+1=0 的周长， 圆心（ 1， 2）在直线 2=0 上，可得 2a 2b+2=0 解得 b=1 a ab=a（ 1 a） =（ a ） 2+ ，当且仅当 a= 时等号成立 因此 ab 的取值 范围为（ ， 故答案为（ ， 【点评】 本题给出直线始终平分圆，求 取值范围着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题 16在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， C=2A， ， = ，则 b= 5 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 由 C=2A，得到 用二倍角的余弦函数公式化简，将值代入求出 值，发现 值大于 0，由 A 和 B 为三角形的内角，得到 A 和 B 都为锐角，进而利用 同角三角函数间的基本关系求出 值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简 利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出 值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式 = ，由 值，求出 值，由 a， c， 用正弦定理列出关系式，将 C=2A 代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用 c 表示出 a，代入 4 中，求出 c 的值，进而得到 a 的值，最后由 a， c 及 值，利用余弦定理即可求出 b 的值 【解答】 解： C=2A， 0， 1=2 （ ） 2 1= 0， 0 A ， 0 C ， 0 A ， 0 C ， = ， = ， （ A+C） = A+C） =（ = ； = ， ， 4， = = = ， a= = c， 由 解得 ， b2=a2+22+62 2 24 =25， b=5 故答案为： 5 【点评】 此题考查了正弦、余弦 定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017南充模拟）设各项均为正数的数列 足：对任意 n N*， 成等差数列， ， 成等比数列，且 ， ， （ ）证明数列 是等差数列； （ ）求数列 前 n 项的和 【 考点】 数列的求和 【分析】 （ I）对任意 n N*， 成等差数列， ， 成等比数列，可得 2bn=an+， =bn， 0， = ，代入即可证明 （ ， ， 由（ I）可得： 32=2得： 差 = 可得 = 入 =bn， 0可得 = ，可得= 即可得出 【解答】 （ I）证明： 对任意 n N*， 成等差数列， ， 成等比数列， 2bn=an+， =bn， 0， = ， 2+ ， = + 数列 是等差数列 （ ： ， ， 由（ I）可得： 32=2得： 公差 d= = = = + （ n 1） = =bn= ， 0 = ， n 2 时， n=1 时也成立 n N* = 数列 前 n 项的和 = + =2 = 【点评】 本题考查了数列递推关系、等差数 列与等比数列的定义通项公式、 “裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017南充模拟）某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 4 4 3 1 学校准备从中选出 4 人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记 1 分，每选出一名女生则给其所在小组记 2 分，若要求被选出的4 人中理科组、文科组的学生都有 （ ）求理科组恰好记 4 分的概率？ （ ）设文科男生被选出的人数为 ，求随机 变量 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）要求被选出的 4 人中理科组、文科组的学生都有共有：其中 “理科组恰好记 4 分 ”的选法有两种情况：从理科组中选取 2 男 1 女，再从文科组中任选 1 人，可有 方法；另一种是从理科组中选取 2 女，再从文科组中任选 2 人，可有 方法根据互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式即可得出 （ 题意可得 =0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ，P（ =2） = = ， P（ =4） = = ， 即可得出分布列与数学期望 【解答】 解：（ I）要求被选出的 4 人中理科组、文科组的学生都有共有：=424 其中 “理科组恰好记 4 分 ”的选法有两种情况：从理科组中选取 2 男 1 女，再从文科组中任选 1 人，可有 方法；另一种是从理科组中选取 2 女，再从文科组中任选 2 人，可有 方法 P= = （ 题意可得 =0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ，P（ =2） = = ， P（ =4） = = ， 由题意可得 =0， 1， 2， 3其分布列为： 0 1 2 3 P（ ） 的数学期望 + + = 【点评】 本题考查了互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017南充模拟）如图，直三棱柱 ， 是 中点， 等腰三角形， D 为 中点， E 为 一点 （ ）若 平面 ； （ ）求直线 平面 成角的余弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 点 N，连结 已知得 M， N， 点共面，由已知条件推导出 而求出 （ ）连结 已知条件得四边形 矩形， 平面 成的角为 此能求出直线 平面 成的角的余弦值 【解答】 解：（ ）取 点 N，连结 （ 1 分） M， N 分别为 点 M， N， 点共面， （ 3 分） 且平面 平面 1N， 又 平面 且 平面 D 为 中点， E 是 中点， = （ 6 分） （ ）连结 （ 7 分） 因为三棱柱 直三棱柱， 平面 四边形 矩形，且 M 是 中点， 又 平面 而 平面 （ 9 分） 平面 的射影， 平面 成的角为 又 直线 平面 成的角即 平面 成的角 （ 10 分） 设 ，且三角形 等腰三角形 1，则 ， ， ， 直线 平面 成的角的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20（ 12 分）（ 2017南充模拟）已知直线 l： x+y+8=0，圆 O： x2+6（ O 为坐标原点），椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 e= ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等 （ I）求椭圆 C 的方程； （ 点（ 3， 0）作直线 l，与椭圆 C 交于 A， B 两点设 （ O 是坐标原点），是否存在这样的直线 l，使四边形为 对角线长相等？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）计算圆心 O 到直线 l： x+y+8=0 的距离，可得直线 l 被圆 O 截得的弦长，利用直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求 a 的值，利用椭圆的离心率为 e= ，即可求得椭圆 C 的方程； （ ）由 ，可得四边形 平行四边形假设存在这样的直线 l，使四边形 对角线长相等，则四边形 矩形，因此有 ，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论 【解答】 解：（ ） 圆心 O 到直线 l： x+y+8=0 的距离为 ， 直线 l 被圆 O 截得的弦长为 ， 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等， 2a=4， a=2， 椭圆的离心率为 e= ， c= b2= 椭圆 C 的方程为： ； （ 4 分） （ ） ， 四边形 平行四边形 假设存在这样的直线 l，使四边形 对角线长相等，则四边形 矩形，因此有 ， 设 A（ B（ 则 （ 7 分） 直线 l 的斜率显然存在，设过点（ 3， 0）的直线 l 方程为： y=k（ x 3）， 由 ，得（ 1+42464=0， 由 =（ 242 4（ 1+4 364） 0，可得 5 0，即 （ 9 分） =， 由 得： ，满足 0 （ 12 分） 故存在这样的直线 l，其方程为 （ 13 分） 【点评】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用向量的数量积公式、韦达定理是关键 21（ 12 分）（ 2017南充模拟）已知 f（ x） =x （ 0， e， g（ x） = ，其中 e 是自然对数的底数， a R （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ ）求证：在（ ）的条件下， f（ x） g（ x） + ； （ ）是否存在实数 a，使 f（ x）的最小值是 3，若存在 ，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）当 a=1 时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性 （ ）利用（ ）的结论，求函数 f（ x）的最小值以及 g（ x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式 （ ）利用导数求函数的最小值，让最小值等于 3，解参数 a 【解答】 解：（ ）因为 f（ x） =x f（ x） =1 = ， 所以当 0 x 1 时， f（ x） 0，此时