高级生物统计042ppt课件

Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 第二节 回归旋转设计 二次回归正交设计具有试验规模小、计算简便 和避免了回归系数间的相关性等优点。然而，它与 一般回归分析一样 , 试验点在因子空间的位置不同（ 各因素所取水平不同），对应的各个预测值的方差 也就不相同，致使设计在各个方向上不能提供等精 度的估计 ,因此不能对不同试验点预测值之间进行直 接比较，不易寻找最优区域。 为克服这一缺点，本节介绍回归旋转设计 (regression-rotable design)。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 一、旋转性、旋转设计与旋转性条件 （一）旋转性 设有回归方程 可用预测值方差来评价其 “精确度 (precision)”，即 可见， 与试验点 在空间的 位置有关，且 D(bj)与 cov(bi,bj)和有关，从而与结构 矩阵有关。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 设用一次回归正交设计所求得的回归方程为 一次回归正交设计的系数矩阵 A和相关矩 阵 C为 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 于是，一次回归正交设计所得回归系数 的方差和协方差为： 所得一次回归方程预测值的方差为： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design (4-27)式表明，位于同一球面上的点的预 测值 的方差是相等的。这个性质称为旋转 性 (rotability)。当利用具有旋转性的回归方程 进行预测时，对于同一球面上的点可直接比 较其预测值的好坏，从而容易找出预测值相 对较优的区域。 误差方差 是 m维编码空间内的一个球面， 球心在原点，半径为 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 凡与试验中心点距离相等的球面上各点 回归方程预测值 的方差相等的回归设计称 为旋转设计 (rotatable design)。 显然，一次回归正交设计具有旋转性。一 般二次回归正交组合设计不具旋转性。 （二）旋转设计 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归旋转设计，一方面基本保留回归正 交设计的优点： 试验次数较少，计算简便， 且部分地消除了回归系数间的相关性；另一 方面能使二次回归设计具有旋转性 。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 通过回归的旋转设计使所得回归方程具 有了旋转性，这样既有助于克服多元线性回 归及二次回归正交组合设计中回归预测值 的方差依赖于试验点在因子空间的位置这个 缺点，又可以简单地用 的大小表示回归预 测值误差的大小， 小（试验点距离中心近 ）误差小， 大（距离中心远）误差大。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design （三）旋转性条件 下面我们从 3个自变量的二次回归方程着 手来说明这个问题。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于 m=3，二次回归数据结构式是 共有 个待估计参数。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 结构矩阵 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对应的信息矩阵 A Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 由此可见，在三元二次回归中，信息矩阵（ 系数矩阵） A中元素的一般形式是： 其中指数 a1， a2， a3分别可取， 等非负整数，但是这些指数的和不能超过，即 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 例如，当 a1=a2=a3=0时，（ 4-28）就是矩 阵 A的第行第列上的元素 N。仔细地观察 ，还可把系数矩阵的元素分为两类：一类元 素，它的所有指数 a1， a2， a3都是偶数或零； 另一类元素，它的所有指数 a1， a2， a3中至少 有一个奇数。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 在一般的 m元 d次回归中，共有 项，对应的 信息矩阵 A是 阶对称方阵， A的元素的一般形式 是 : 其中指数 a1,a2, ,am分别可取 , , ,2 d等非负整 数，且满足 0 a1+a2+ +am 2d。 A的元素亦可类似 地分为两类。在旋转设计中，对这两类元素的值的 要求，归纳成著名的 G. E. P. Box旋转定理。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 定理 (旋转性条件 ) m元 d次回归设计满足旋转性的充要条件是其对 应的信息矩阵的元素 其中指数 a1,a2, ,am是如上所述的非负整数， 为试 验次数， a= a1+a2+ +am ， a为待定参数，它的下 标 a一定是偶数，特别是 0。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 二、一次回归旋转设计 对于 结构矩阵 X和信息矩阵 A Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 根据（ 4-29）式，计算得 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 矩阵 A中其它元素为 0。故，三元一次回归旋转 设计信息矩阵 A为： 当 2=1时， 表明，一次回归正交设计，也就是 2=1时的一次回 归旋转设计。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 三、二次回归旋转设计 (一 ) 二次回归旋转设计条件 当 m=3， d=2信息矩阵见前，其中 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 所以三元二次回归旋转设计的信息矩阵的元 素有如下特点（ 三元二次回归旋转性条件 ） ： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design A的其它元素皆为，于是 0 1 2 3 12 13 23 11 22 33 2、 4待定。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 一般， m元二次回归旋转设计的信息矩阵 的元素有如下特点（ m元二次回归旋转性条件 ）： 这时，二次旋转设计信息矩阵有如下形 式（其中空白处为零）： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 经计算，有： 其中 。由此可见，要使 |A|0，即矩阵 A为非退 化的，必须要有： (4-31)式称为 m元二次旋转设计的非退化条件 (non- degenerative conditions)。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 1、非退化性的实现 可以证明只要 N个试验点至少分布在两个 半径不等的球面上就可以满足非退化条件（ 4 -31）。最简单的情况是把 N个试验点分布在 两个或三个球面上。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 2、旋转性的实现 在组合设计中， N个试验点 分布在个球面上 : mc个点分布在半径为 的球面上； m=2m个点分布在半径为 的球面 上； m0个点集中在半径 的球面上。因而组合 设计总是满足非退化条件（ 4-31）的。通过调整星 号臂 的值可以使组合设计满足旋转性条件（ 4-30） 。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 在组合设计中 而偶次方元素 都不为零，为了满足旋转性条件 (4-30)，即满 足 就行了。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 在 mc=2m（全因子实施）的情况下 要使 成立，即 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于 mc=2m-1和 mc=2m-2(全面试验的 1/2或 1/4实施 ) 由 (4-32)式或（ 4-33）式算出的常用的 和 2值列于 表 4-21。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design (二 ) 二次回归旋转组合设计中 m0的选择 二次回归旋转组合设计具有同一球面预 测值 的方差相等的优点，但 b0与 bjj， bii与 bjj间存在相关性。 通过适当地选取 m0，能使 二次旋转组合设计具有更好的统计性质。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 1、使二次回归旋转组合设计具有正交性 （ 1）使二次回归旋转组合设计具有几乎正交性 所谓几乎正交性（ near orthogonalty）是除 b0与 bjj 相关外，其他回归系数之间不存在相关，此处，就是 要解决 bii与 bjj之间的相关问题。由保证 cov(bii,bjj)来确 定 N，进而确定 m0。 表 4-22提供了进行二次回归几乎 正交旋转组合设计的各种参数。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 例如对 m=3的情况，可选 m0=9来进行二 次回归几乎正交旋转组合设计。三因素二次 回归几乎正交旋转组合设计结构矩阵如 表 4- 23所示。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design (2) 使几乎正交成为完全正交 使几乎正交成为完全正交，即解决 b0与 bjj 相关的问题。对平方项列的元素施行中心化 变换，即令 便可消除 b0与 bjj之间的相关，进而获得二次回 归正交旋转组合设计结构矩阵。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 例如，对于 m=3， d=2 因为 所以 三因素二次回归正交旋转组合设计结构 矩阵如 表 4-24所示。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 2、使二次回归旋转组合设计具有通用性 二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试 验点的预测值 的方差相等的优点，但它还存在不 同半径球面上各试验点的预测值 的方差不等的缺 点。为了解决这一问题，提出了回归设计的通用性 (generality)问题。所谓通用性是指各试验点与中心 的距离 在 0 1范围内，其预测值 的方差基本 相等。具有通用性的设计称为通用设计 (common design)，亦称等精度设计 (equal precision design)。同 时具有旋转性与通用性的组合设计称为通用旋转组 合设计 (common rotation design)。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 表 4-25提供了进行二次回归通用旋转组合 设计的各种参数。 此处的 m0比二次回归几乎正交旋转组合 设计 m0的小。 表 4-26是三因素二次回归通用旋转组合设 计结构矩阵。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 在二次回归通用旋转组合设计中，常数项 b0与平方项回归系数 bjj，平方项回归系数 bii与 bjj（ ij）间还存在着相关，所以说通用旋转 组合设计是损失了部分正交性而达到了单位 球内基本一致精度的要求。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 综上所述， m元二次回归旋转组合设计包 括：二次回归几乎正交旋转组合设计，二次 回归正交旋转组合设计和二次回归通用旋转 组合设计。组合设计保证了非退化性， 的选 择保证了旋转性， m0的选择保证了通用性或 几乎正交性，将平方项 列的元素中心化保 证了几乎正交成为完全正交。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 简而言之，旋转组合设计使预测值 有等距等方差的性质；正交旋转组合设计消 除了各项回归系数间的相关性；通用旋转组 合设计以损失部分正交性为代价保证了预测 值 在单位球内基本等方差。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 四、二次回归旋转组合设计的统计分析 二次回归旋转组合设计的统计分析方法， 因该设计是具有正交性、几乎正交性还是通用 性而有所不同。 下面先介绍分析的基本步骤与有关计算公 式，而后通过实例介绍各种分析方法。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design (一 ) 基本公式与步骤 1、 因素水平编码 m个因素： Z1、 Z2、 、 Zm； Z2j、 Z1j分别为 Zj的上、下水平 (j=1, 2, , m)； Z0j=(Z2j+Z1j)/2； 可利用方法 I 或方法 II 编码。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 2、列出试验实施方案 编码因素的试验方案即试验设计包含 N=mc+m+m0 个试验点。将编码因素试验方 案的编码水平换成相应的实际水平即得试验 实施方案。试验结果记为 y(=1,2, ,N)。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 3、 计算回归系数 二次回归正交旋转组合设计回归系数的 计算同二次回归正交组合设计； 二次回归通用与几乎正交旋转组合设计 回归系数的计算如下： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于二次回归组合设计， (XX)-1可表示为 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于二次回归通用（ G0， E0）与几乎 正交（ G 0， E0）旋转组合设计则有： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 其中 即 其中， K、 E、 F、 G、 e-1、 mc-1的值可查表 4-27。横 线上方数值用于通用旋转组合设计，横线下方数值 用于几乎正交旋转组合设计。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 4、回归方程显著性检验 对于正交旋转组合设计 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于通用、几乎正交旋转组合设计 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 失拟性检验 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 5、回归系数显著性检验 二次回归正交旋转组合设计的各偏回归 系数的显著性检验与二次回归正交组合设计 的方法相同，即： 各偏回归系数的显著性检验也可用 t 检验（见 本节 【 例 44】 ）。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于通用、几乎正交旋转组合设计，回 归方程中各偏回归系数的显著性检验可用 t 检 验（或 F 检验）。此时，因各偏回归系数（ 包括常数项 b0）的方差分别为： Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 或者 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 当 FLf不显著时 当 FLf显著时 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 【 例 43】 研究锌肥（ Zn，硫酸锌）、氮肥（ N，硝酸铵 ）、磷肥（ P，三料磷）对玉米产量的影响。采用 二 次回归几乎正交旋转组合设计 建立因素与产量指标 间的二次回归方程。 根据专业要求， Zn、 N、 P三种肥料的上、下水 平分别取： 4.0、 1.0； 55.0、 14.0； 17.5、 4.5。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design （ 1）因素水平编码 因为影响产量指标的因素有 3个，即 m=3 ，采用二次回归几乎正交旋转组合设计，查 表 4-22，得 =1.682， 2=2.828 。利用方法 对因素水平编码，见 表 4-28。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design （ 2）列出试验实施方案 由表 4-22查得， mc=8， 2m=6， m0=9， N=mc+2m+m0=23 。试验设计与实施方案见 表 4-29，结构矩阵与试验结果计算见 表 4-30。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design （ 3）求出常数项 b0及各偏回归系数 先求出 B0， Bj， Bij， Bjj (i,j=1,2,3)，见 表 4 30最后一行， 以及 T=Bjj=32352.588。 查表 4-27（横线下方）得 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 于是 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 得回归方程为 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design （ 4）回归方程及回归系数的显著性检验 回归方程显著性检验 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 方差分析见 表 4-31。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归系数显著性检验 t检验 因为 所以 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 将不显著的一次项 x1、 x3，乘积项 x1x2剔除得 ： 将上述方程中编码变量 xj 用实际变量 Zj (xj=(Zj- Z0j)/ j)表示，则 用 Excel计算 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 【 例 44】 对 【 例 43】 采用 二次回归正交旋转组合 设计 建立因素与产量指标间的二次回归方程 。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 此时，因素水平编码、试验实施方案与 【 例 43】 相同。关于试验结果的分析，只需 将 表 4-30中平方项列的元素中心化为： 其余计算与二次回归正交设计相同，结构矩 阵与试验结果计算见 表 4-32。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归方程 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归方程的显著性检验 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 将剔除 x1、 x3、 x1x2、 x3 的回归方程还原得 将方程用实际变量 Zj表示，则为 EXCEL计算 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 【 例 45】 鸡肉乳酸发酵试验，研究盐浓度、糖浓 度、发酵温度和发酵时间对鸡肉乳酸发酵产 酸的影响，采用 二次回归通用旋转组合设计 ，寻求最优发酵条件。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 本例， m=4，查表 4-25得 mc=16， m0=7， N=mc+2m+m0=31，试验因素及水平编码见 表 4 -33（材料选自西南农大）。 试验设计和试验结果见 表 4-34。 结构矩阵及结果计算见 表 4-35。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 计算 b0及各偏回归系数 查表 4-27（横线上方）得 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 由 4-34式可得 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归方程 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 回归方程的显著性检验 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 一次项 xj、互作项 xixj和平方项 xj2的偏回归平方 和可分别由 Qj=bj2/e-1,Qij=bij2/mc-1和 Qjj=bjj2/F计算。 例如 回归方程、偏回归系数显著性检验的方差分析 见 表 4-36。 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 因为各 bij与 b0、 bj 、 bjj均无关，故可直接 将 F1的互作项从方程中去掉而得到含酸量与 各因素间的最优回归方程 得到用 实际变 量 Zj表示的回归方程（略） Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 注意 , 二次回归通用旋转组合设计的 b0与 bii， bii与 bjj间相关，可将不显著的一次项和互 作项从方程中去掉，但不能将不显著的平方 项从方程中去掉。如果将不显著的平方项从 方程中去掉， b0与其余的平方项系数 bii将受 到影响。 EXCEL计算 Copyright 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计 Advanced Biostatistics and Experimental Design 五、二次回归组合设计的 对数 编码尺度 在二次回归正交或旋转组合设计中，星号臂 的 值有时为 1或接近 1，这样虽然在二次回归组合设计 中每个因素取 5个水平（ ,1,0,-1, -） ,实际