《连续体力学》习题及解答7

283 7 弹性物质 (一 ) 概念、理论和公式提要 7性物质 弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形0K，现时构形从0的变形过程无关，与从0所经历的时间无关 (应力所作的功或应变能则不一定与过程无关 )。这样的弹性物质称为 性物质。 (1) 性物质的本构方程 弹性物质的应力与变形史无关，所以 单物质的本构方程为 )( (7)(相对于给定参考构形 0K 对应于 力的响应函数。上式表明，现时构形力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变， 响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。 客观性原理要求式 (7有如下几种形式 ( (7( (7( (7( (7此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。 由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程 1)()( d e t)()( ， (7)()()(21 )1()1()1( T (7)()()( de t )2(11 (7式中 )2()2( ， 284 )( )()()( (7)( (7(2) 性物质的对称性 各向同性弹性 性物质的本构方程一般地为 )( 如果物质对 对称Q ，则有 )()( (7所以满足上式的 Q (可限制为正常正交张量 )构成弹性物质的对称群。 对于各向同性弹性物质，式 (7的 Q 可以是任意的正常正交张量。取，则式 (7为 )()( (7上式还应满足客观性原理，即 )()( V (7式中 Q 是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数 )(是各向同性张量函数 (参阅式 2即有 2210)( (7式中 210 的主不变量的标量函数。 如果在式 (7取 注意到 ，则得到 )(T 式中 张量。将式 (7入上式左侧，就得到 2210)( T (7(3) 弹性张量 线性弹性 已知 性本构方程 (式 7)(E (7则有 d C (7 )(7 285 C 是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为 L L (7且有 J (7所以 C 的 81 个分量中只有 36 个是独立的。 C 的分量称为弹性系数。 如果为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式 (7注意到 C 是常数张量，得到 C (7此处假定参考构形是自然构形，在其上 ， O 。 大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时 ， 为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成 (7可以证明，对于线性弹性，恒有 C 上式表明，线性弹性物质只有 21 个独立的弹性常数。 对于各向同性线弹性物质， C 应是四阶各向同性张量，即有 (7式中 、 为任意标量。将上式代入 (7得到 2) (7上式就是小变形条件下的广义 律的一种形式， 、 为 数。 7性物质 286 (1) 弹性势函 已知在参考构形0式 4 0 (7式中 )( J 的标量值数。如果存在一个 ，使得 F )(d 则有 )(W(7)(为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为 性物质或超弹性物质。 由式 (7弹性势函 W 可以写作 )()()( )2( 为简单计，经常将上式直接写成 )()()( (7对应于式 (7 (7有 )()W( (7)( (7式 (7用应变能函数表示的最一般的本构方程，它包括了 应变。可以看出 同轴同轴从而与与 ( 由式 (7得 (7 L M 22C (7上式表明，超弹性物质的独立的弹性 系数只有 21 个，所以， 存在一个弹性势函，或者 只有 21 独立的弹性系数是 性与 性的主要区别； 287 或者说， 性要求现时应力唯一确定于现时变形，与变形过程无关，而性则不只现时应力而且应力作功 (应变能 )都与变形过程无关。显然，线性弹性总是超弹性的。 (2) 性物质的客观性和对称性 由式 (7见，弹性应变能是客观的标量值张量函数，且有 。于是有。其中 )()()()()(系系 因此 符合客观性要求的弹性势函必需满足 )()( W (7令 ，上式变为 )()( W (7上式表明，弹性势函的客观性等价于物质单元在纯变形之后叠加任何转动，不影响其应变能函数的值。 前已说明，如果 性物质对 Q 对称，则有 )()( ， 为此对应， 性物质如果对 Q 对称，则应有 )()( ， (7相应地有 )()( W (721)(21(7于是 性物质如果对 Q 对称，则弹性势函应满足 )()( 由于如果 Q 是物质的对称元，则 1 也是它的对称元，所以上式又可写成 )()( (7上式是物质的对称性对弹性势函的限制。 288 对于线性弹性 (用 )，则有 21)(21)(将 )()()( ，并令表示，再代入用就可得到对于弹性常数的附加条件，这将使独立的弹性常数的数目减少。 还可导出，如果 性物质对 Q 对称，则本构方程 )(E 应满足 )()()( E (7这是对称性对 性物质的本构方程的限制。 (3) 各向同性 性物质的应变能函数 对于各向同性 性物质，对称群包含 所有的正常正交张量，即在式(7 (7， Q 可以是任意的正常正交张量。根据式 (2 (2见，应变能函数 别是和本构方程 )()( W 的各向同性标量函数和张量函数，即 )()( 321 ，E (72110)( (7上式分别是 性物质的应变能函数和对应 于应力 的本构方程；式中 321 主不变量， 210 的主不变量的标量函数。 又从弹性势函 )(要满足对称性，又要满足客观性的要求，应有 )()()( 对于各向同性物质， Q 可取为任意的正常正交张量。于是分别将 代入，并取及 ，将分别得到 )()()()( (7上式表明 都成立，特别地当，此式对任意的)()( 给定时，对任 289 意的正常正交张量 R 都成立。于是可将式 (7写成 )()()()( (7由上式可见，各向同性弹性物质的应变能函数应是 各向同性标量值函数，亦即它是 主不变量的标量函数 )( 321 、 (7或中 321333133221222321111)()()()()()( (7321 、是主伸长比。因为 22 ， ，所以 W 也可以写作 主不变量的函数，即在式 (7，也可取 232221333212323222221222232221111)()()()()()(从式 (7 (7见，各向同性弹性物质的应变能函数也可写作 )( 321 ， (7但必须是321 、的对称函数，即满足 )()()( 213132321 ， (7实际上321321 ，都是和， 根据式 (7)()( )()( )( 的主值为如果将 321 ，写作W 的对称函数，记 主值为 )( 321)()()( ， (7例如，对于 应变， 290 )(1)( mm m (7主值为 )1(1)()( (7于是 )()( )1()()(7当 0m 时，得到 )0( (7结合式 (7 (7可得 )()0()()0( 或 (7于是可用上式由 )()( )()()0()0( T 或确定或。 已知 )2(T 为 1111)2( (7其中 )()()()( ，主值。由式 (7 (7可得 )2(2)2( 或 (7在式 (7取 2m ，得到 )2(2)0( (7由式 (7 (7并注意到式 (7得到 )0( (7注意到 )0(T 是 张量， 张量，它们的主值相同，因此式 (7直接表述为 )0( T (7 291 (4) 各向同性不可压缩 性物质的本构方程 由于物质不可压缩，F 1321 U ，所以应变能函数为 1)( 321 ， (7式中 )(21 或为、 第一和第二主不变量。约束方程为 0 (7由式 (7 1J ，有 0 (7在式 (7，取 21 主不变量，应用式 (2可得 )2211 式中 ，2211于是上式变为 )(2 22211 将上式代入式 (7得到 02)(2 22211 (7对于不可压缩物质，约束方程为式 (7于是只要括号中的值为 为任意标量 )，都能满足上式，即有 22211 2)(2 (7或者 (应用 程消去 2B ) )(2 121 (7已知各向同性 性物质的本构方程为 (式 722 0 应用 程，可将上式写成常用的形式 111 (7对于不可压缩物质，上式应修 改为 (参阅式 6 6111 p (7此时 1 的第一和第二主不变量的标量函数。比较式 (7 (7 292 可得 211122 ， (7所以，只当式 (7的 11 和 满足下式时，物质才是超弹性的 01121 (77各向同性弹性物质的若干应变能函数的表达式 下面介绍几种常用的应变能函数 321232221321 )()(2)( ，(7 p )3(2)( 321321 ， (71)3()(1 321321 JW ， (7实数， )21( 为有限的正整数。式 (7示的应变 能函数同橡胶类物质的实验数据有很成功的一致性。 以下是用 )1(321 的主不变量或 )3()3()( 20111021 (7上式称为 变能函数 )3()( 11021 (7上式是 变能函数，是适用于橡胶类物质的最简单的模型。 )3()3(21)( 12021 ， (70)0(0 单变量的函数，且有为常数， ；这个应变能函数适用于生物软组织。 )3()3(21)( 21021 ， (7 293 上式称为 变能函数。式中0为常数， f 为一元函数，且有0)0( f 。对应于式 (7 (7本构方程分别为 )3( 110 (7)3( 120 (7对于式 (7一个如下具体形式 2232221321 )1(21)1)( ， (7按式 (7 可以求出 ()(321)1()1(22 ， (7如果 1J (材料不可压缩 )，则 21 ， (77热弹性物质的本构方程 热弹性物质是经历热力学过程的弹性物质，在它的本构方程中要引入热力学变量。热弹性本构方程一般可写作 )( ， (7)( ， (7)( ， (7)( ， (7上式即式 (6应于弹性物质的情况。热力学第二定律为 (式 5 ) 0)d()d( 294 对于弹性物质， )d(0，q，上式变为 0 (7由式 (7 于是式 (7写成 0 (7注意到 ， 是速度梯度，上式又可写成 0)()( (7上式对任意的 和、 都成立，由此得到 (7s(7 (7上式表明， 和都只是和、 FT s 的函数。于是热弹性本构方程最后表示为 )()(，由于 0 ，所以热力学第二定律为 011 (7可以证明，当物质的导热能力有限，即 0)( 微时，对， 必然导致 0h ，即热流直接依赖于温度场的梯度。 295 还可证明，在均温 )0()( ，及绝热 0况下，弹性变形都是纯力学的， 只是 的函数 (假设讨论小变形情况 )，温度只作为参数出现在)( ， 中。 (二 ) 习题和解答 7设与 )2()2( 共轭的应力 具有如下的弹性本构关系 1)2( )( 已知函数 )T (2)()()( 证明满足 是对称张量。 解 由 ()()()( )2(1)2( T ，于是，可得，导致 )2()2( 由上式可得 )2()2()2( 即T 是对称张量。 提示： )2(E 是 变张量，常简记为 就是， )2(力 。 7试举例说明，虽然 力 T 独立于参考构形的选择，但功共轭应力张量却与参考构形的选择有关。 解 设有两个参考构形对于同一个现时构形和 00，其变形梯度间有下列关系 dd 1 ，此处 。对于功共轭应力 )2(，它们与 T 有下列关系 )()d 01)2(1 对于， 相对于参考构形 0K，则有 )( d ( d d d 1111(1111)2()d d 296 上式表明 )2()2( ， 。 7设弹性物质的本构律为 )( ，这个物质对于 K 对称，且 有1K 。证明 。(p 是现时构形的质量密度。 解 弹性物质对 K 对称，则有 )()( (a) 式中 K 只要满足条件 1* 1d e t J。设 ，其中 J则 1 F ，因此 *F 是此物质的对称群的一个元素，令 )1d e t( d e t 1*1* 则响应函数 )(满足下式 (或式 a 变为 ) )()( 31 上列响应函数应该满足客观性原理，即有 )()()( 313131 T (b) 上式对所有的正常正交张量 )( 31 成立，表明 应是各向同性张量函数，即有 ()( 31 (c) )()(00 写作是固定的，于是可将， ，式 (c)最后可写成 (p 上式是非粘性可压缩流体的本构方程。本题结果表明，流体的对称群是正的单模群，即等容变形不影响流体的力学状态，在体积不变的条件下，无论参考构形如何变化 (称为等容变换 )，流体的响应函数不变。这正是流体区别于固体的特征之一。 7如果上题的弹性物质对 K 对称，但 K 是正常正交张量，即 ，证明 2210)( 解 令 及注意到T ，则由对称性 )()()()( T 上式应满足客观性原理，即满足下式 297 )()( V 式中 Q 是任意正常正交张量，因此 )( 的各向同性张量函数，即有 2210)( 上式是各向同性固体物质的本构方程。 7比较下列两式 422102210 应用 理，用210210 及、表示、。 解 理表示为 0 32213 (a) 式中 321 式 (a)可解出 2213 (b) 用 V 遍乘上式，得到 22314 (c) 将式 (b)代入式 (c)，再将式 (b)、 (c)代入 T 的第二个表达式，得到用 2表示的式子。 2222211212323120)()()( 将上式与题给的第一式进行比较，得 )()(2212122132123100 (d) 由式 (d)可解出 1213121213122121121313100)()()()(e) 或者由式 (b)、 (c)，解出 298 121331222214 )( 再代入题给第一式，并与第二式进行比较，即得式 (e)。 7证明受到内部约束 0)( 弹性固体物质用 力 T 表示的本构方程可写成 )()( 如果物质是不可压缩的，试导出其本构方程。 解 内部约束方程为 0)( 则 0)(t r )()( 根据 )( 111 可令 0)()()(1 T 便是 对应 于内部 约束，或的不确定应力。于是总应力为 ()( (a) 如果物质是不可压缩的，则内部约束方程为 )1(d e e t)(1 代入式 (a)，并按一般习惯，将 改为 ，得到 p )( 如果物质是各向同性的，则 (参阅习题 7)( 0221 已并入 7已知 )(21)2( T，于是约束方程 0)( 等价地写成0)( )2( 此处 )2(E 是 变，记作 E 。写出弹性固体材料的本构方程。 解 已知应力功率为 0)()2( ，由约束方程 ，可得 299 )t r ()( 记不确定应力为 )()2( 式中 q 为任意标量，则有 0)2( ，从而 )()()2()2( 2()2( )( 应力 的响应函数。 7如果有 N 个独立的内部约束 NC r ， 21 F 试推导 ()( 式中 )(F 是没有内部约束的物质的响应函数。 证明，如果材料在参考构形内有两个不可伸缩的方向 21 力T 可表示成 222111)( 指出可实现非零变形的内部约束的最大个数是多 少。 解 由题给的约束方程，可得 ， 210)t r ( 令 r 为对应于 0)( 不确定应力，则有 ， 210)(t r )t r ( 于是 ()(1 300 设材料在 21 个方向上不可伸缩，则约束方程为： 1)(1)( 22221121 ， 或 1 ,201)()( rC 于是 21)(2 ， 的非确定应力为 )(2)(2 222111 力 T 的表达式为 (参阅习题 7 2 1 222111 22)()()( r 已知 ，其中变形张量 各有 6 个独立的分量；因此，当材料的独立的内部约束大于或等于 6 个时，就不能实现实际的变形。所以可实现非零变形的独立约束不能多于 5 个。 7证明不可压缩弹性固体要实现非零的平面变形，至多只能存在一个(面内的 )可伸缩的方向。并证明，如果存在这样一个不可伸缩的方向时，变形必然是简单剪切。如果材料是各向同性的，面内的 力分量可写作 )2()1()31()1(22112221224222111 (1) 平面变形只有三个独立的变形分量，要实现非零平面变形至多只能有 2 个内部约束；不可压缩是 1 个内部约束，于是至多只能有 1 个 (面内的 )不可伸缩方向。 (2) 平面变形、等容变形及在一个方向不可伸缩是简单剪切的三特点或三要素。设不可伸缩 方向 (即剪切方向 )是 1e ，变形平面是 )( 21 平面，则简单剪切的变形梯度的分量矩阵为 301 110001001 311 ， 为剪切量。 (3) 本题给出的内部约束有两个，其约束方程分别为 01)()(01de t)(1121 于是， 力表述的本构方程为 (参阅上题并参照习题 7422111114221)()( (a) 式中 1000101212 (b) 10001)1(0)1()1( 222222224 (c) 以上都是相对于基 )(式 (a)写成分量矩阵，并将式 (b)、 (c)代入，可以得到 (只写出面内的应力分量 ) 222422212212121112231110001100010001 7)()()(31主伸长比，可表示成 是 302 轴。证明 (1) 对)()( 不求和； (2) 设 321 有 133121 ， 解 (1) 主值，因此有 )()()( 不求和，下同。对 取基 ，)( 上式可写成 u )()()()( ，对的导数为 ()()()()( U 于是 )()()()( uu 注意 )()( E(参见习题 2 (2) 先计算 321 ，由于是 ) 或者，U 注意到 32 U ，可类似地求出 2232 33)2) 又已知 UU 1 I 303 )61)(tr)21)(3233222)21216)61应用 程， 32213 此式遍乘 1U ，得到 13212 因此又有 133 I 本题的另一种证法。已知 d e t)( d e t 。于是有 ( d e t ()d e t ( B 由上式可 得 de t () de t ()( T (a) 式中 32213)d 是、321 是 3212) d e t ( (b) 将式 (b)代入 (a)，并按 的幂次集项，可得 304 )()()(T，及代替 ，即得所要证明的结果。 7设 是、321的主不变量，证明 1 I 2解 先求分量为。为， F )4(T)( 。于是 L M )( 设 )2(且为 张量，则 )()()( 于是 (记 T ) )()(2)(212122111， 305 )(2)(2 133131323 ， 7设将 性材料推广为广义弹性材料，其本构方程为 )()( 式中 )( 张量值张量函数。试推导各向同性广义弹性材料的本构方程。 解 题给本构方程要满足客观性原理，必须满足下列条件 ()()()( (a) 上式对所有的 正常正交张量都成立，于是式 (a)的前一个等式表明， )( 的各向同性张量函数，即有 10)( 又设材料对 Q 对称，则有 )()( 由于材料是各向同性的， Q 可以是任意正常正交张量，了取 ，于是有 )()()()( 或 此处为简单计，对于不同的变 量采用了同样的函数符号 )()( 。于是客观性原理要求 )(足下式 )( 上式对任意的 Q 都成立，表明 )( 的各向同性张量函数，即 11102210)()( (c) 后一等式是应用 程消去 2B 所得到的结果。结合 式 (b)和 (c)，得到题给各向同性广义弹性材料的本构方程为 111022102210 306 7设弹性材料的应变能函数为 )( ，试讨论 )(客观性。 解 已知 )(1( ，式中 )()(21)1( 于是积分 )(1( W ，可得 )()()( 上式表明， 和无关。显然与 W 相同，只主转动张量不同，所以有 )()( W 上式又表明， )(客观的标量值张量函数。上式可作如下解释；弹性贮存能 (即弹性应变能 )与在给定的变形之后叠加的刚性转动无关。 7设 性材料的对称群是正交群，即有 )()( W (a) 上式对所有的正交张量 Q 成立。证明 )()()()( (b) 解 应变能函数 )(满足客观性要求 )()( W 于是结合对称性 (式 a)，得到 )()( W (c) 令 ，及T ，分别代入式 (c)，就可得到式 (b)。式 (b)表明， )(是各向同性标量值张量函数，它们对所有正交张量成立，包括1Q 。 7设有 )()( W，证明： )()( W 意味着)( )( 307 解 已知)( )()()()( 则有以及 )d()(d)( 式中 d)d( 是不变的。于是由上式可得 d)(t r d)(t r d)(t r 于是得到 )()()()( 或者T 7记 、，321 主不变量。证明对于各向同性材料，有 2)(