《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1

. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 , 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 , 中的样本点。 解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正)，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正)，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 , 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 , 中的样本点。 解： )6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1( )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( )2,2(),1,1( )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( 3. 以 , 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 , 表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1） （2） （3） ； （4） ; （5） ； （6） （7） 或 （8）（9） 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321, 别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32 , 21 21 , 321 313221 . 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件 , 满足 试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， . 解：如图： ;6. 若事件 , 满足 ，试问 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那么， ，但 。 7. 对于事件 , ，试问 )()( 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那么 3)( 但是 7,6,3)( 8. 设31)( 21)( 试就以下三种情况分别求 )( （1） （2） ， （3）81)( 解： （1）21)()()()( （2）61)()()()( （3）838121)()()()( 9. 已知41)()()( 161)()( 0)( 事件, 全不发生的概率。 ： )(1)( = )()()()()()()(1 83016116104141411 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯”=“全红”； B“全绿”； C “全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。 解： 271333111)()()( 278333222)()( 91271271271)( 92333!3)( 98911)(1)( 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。 解： 一次拿3件： （1） （2） 每次拿一件，取后放回，拿3次： （1） P ； （2） P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1） P ； （2） P 12. 从 9,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： 501与三个数字中不含A ， 502或三个数字中不含A 。 ： 157)(310381 15142)(3103839215141)(31018213. 从 9,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 解：904145410283914. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份； 解： （1） P ； （2） （3） 15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。 解： 、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 取到的是 3,2,1i )()()()(3133131 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格” 511)(1)()()()|(21026210243. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统种报警系统单独使用时，系统 （1） 两种报警系统（2） 系统（3） 在系统统解：令 A “系统（）有效” ， B “系统（）有效” 则 (, （1） )()()()( ()()( （2） )()()( （3） )()|( 4. 设 1)(0 证明事件|()|( 证： ： A 与A 与)()|(),()|( )|()|( ： 1)(01)(0 又)()()|(,)()()|( )()()()()|()|( 即 )()()()()(1 )()()( ，故5. 设事件个事件只有 )( )( 解：41)()( ，又 41)()(1)()()( 41)(1)()()()( 41)()(),()(2 即21)()( 6. 证明 若 )(0， )(0，则有 （1） 当与（2） 当与证明： 0)(,0)( （1）因为以 0)()()( （2）因为 0)( 而 0)()( )()()( ，7. 已知事件 , 相互独立，求证 与证明：因为A、B、 )()( )()()()()()()()()()()()()()()()( 与8. 甲、乙、丙三机床独立工作，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令321, 别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 ,321 令 )()(321321321321 )()()(321321321321 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 )10( （称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解：令 A “系统（）正常工作” B “系统（）正常工作” 第 ,2,1 ,)( 相互独立。 那么 )()()(22121 )2(2)()()()()()(22121122122121)()()(22211 (2)()()()()(121110. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。 解：令 第 3,2,1i (1) )(321321321 注：利用第7题的方法可以证 明 )( 与 )( 时独立。 系统I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 n+1 2 n+2 n 2n )()()(321321321 )|()|()()|()|()()|()|()(21312121312121312121859410684951068596104 或213102614（2） )|()()|()()(1211212 529410693104 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求： （1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率； （2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 B “被检验者患有肝癌”， A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， ,(,( （1） )|()()|()()( （2）)|()()|()()|()()|( 12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率： （1）取到的5件产品中恰有2件是优质品； （2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。 解：令 5件中有 5,4,3,2,1,0i （1） (32252 （2）)()()|()|(002025121)(502 ，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。 解：令 A “抽取一件产品为正品” 箱中有 2,1,0i B “该箱产品通过验收” （1） ()()(2020 （2） )|()()|()()( 14. 假设一厂家生产的仪器，该厂新生产了 )2( 仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。 解：令 A “仪器需进一步调试” ； B “仪器能出厂” A “仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂” 显然 ， 那么 (, ()( 所以 )()( 令 ,1,0 （1）( （2）2222222)(（3）)(1)(1112015. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件 的概率： （1）直到第（2）第（3）在1( 次成功； （4）直到第1( 次成功。 解： （1）1)1(（2）1(11（3） )1( （4） )1(1116. 对飞机进行3次独立射击，被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解：令 恰有 3,2,1,0i B “飞机被击落” 显然： (01)(23而 0)|(0 (1 (2 1)|(3所以 ()()(30 1)( ，且 ( ,2,1k ), 则 （1） 判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2） 若是，试求 ）为偶数和 )5( 解：令 ,2,1,21)( ）显然 10 且 1121212111 所以 ,2,1,21)( （2） 为偶数31121)41411212 161121)5(2121555 ( ( ,2,1k ), 且 0 ，求常数C . 解： 1!1，而 1!010即1)1(3. 设一次试验成功的概率为 )10( 不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。 解： ,2,1,)1()(1设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=生产过程中出现废品时立即进行调整，求 （1）X 的概率分布； （2） )5( 解： （1） ,2,1,0,1()( ）555)()5( 5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？ ：因为学生靠猜测答对每道题的概率为41p ，所以这是一个 5n ,41641)43()41(43)41()4(0555445 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。台设备工作情况相互独立。 （1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，解： （1） 1920 （按泊松)分布近似） （2） 00 按泊松)分布近似） )1(100111001100100查表得 4N 7. 设随机变量X 服从参数为的松)分布，且21)0( 求 （1）； （2） )1( 解： 21!0)0(0 )1()0(1)1(1)1( )212 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。 解： )2()1( ，即 2,!2!12120 （ 842)( 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 9. 在长度为急救中心收到紧急呼救的次数松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； ： （1）23)0(23,3 （2）251)0(1)1(25,5 10. 已知X 的概率分布为： X 1 0 1 2 3 P 2a 1013a a a 2a 试求（1）a； （2） 12 概率分布。 解： （1） 1231012 101a 。 （2） Y 1 0 3 8 P 103511035111. 设连续型随机变量X 试求:（1） （2）X 的概率密度； （3） )22( 解： （1） 21t 1t f (x) x t o 1 2 3 （2）其它，0)3,0,2161)0,1,2121)( （3）1211)2161()2121()220120 12. 设连续型随机变量X 的概率密度为 其他,00,试确定常数6( 解：令 1)( 即 1即2,0 23|(262613. 乘以什么常数将使2变成概率密度函数? 解：令 12 141)21(2 141 411 4. 随机变量 ),(2其概率密度函数为 644261)( x ) 试求2, ；若已知()( ，求C . 解： 222)3(2)2(64432161)( 2 , 32 ()( ，由正态分布的对称性 可知 2c . 15. 设连续型随机变量X 的概率密度为 其他,010,2)(以三次独立重复试验中“21X ”出现的次数，试求概率 )2( 解：412)21(210649)43()41()2(223 16. 设随机变量X 服从1,5上的均匀分布，试求 )(21 . 如果 （1） 5121 （2）2151 . 解：X 的概率密度为其他,051,41)(（1）21221)1(4141)(（2）51211)5(4141)(17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从51 的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以求1( 解： 2105111)10(1)10( 5,4,3,2,1,0,)1()()(5225(1)1(52 )1( ( ( 试求X 的分布函数； ) 画出 )(曲线。 解： 3,132,)(； )(线： 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 331111,1,)(1）X 的概率分布； （2） )1|2( 解： （1） X 1 1 3 P （2）32)1()1()1|2( 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函数。 解： （1） 3,2,1,0,)53()52()(33x)( （2）3,132,12511721,1258110,125270,0)(4. 分布函数，并画出 )(曲线。 解： 313041211210141214110)(225. 设连续型随机变量X 的分布函数为 00,0,)(21） 的值； （2） )11( （3）概率密度函数 )( 解： （1） 11)(2 又 10)0()( 1x)( （2）21)1()1()11( （3）0,00,2)()(2设X 为连续型随机变量，其分布函数为 .,;1,)(的