人教版九年级数学下《相似三角形》期末复习题及答案解析(WORD版)

九年级数学相似三角形提优训练题 一选择题（共 10小题） 1（ 2013自贡）如图，在平行四边形 ， ， ， 平分线交 E，交 延长线于F， G， ，则 周长为（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 2（ 2013重庆）如图，在平行四边形 ，点 E 在 ，连接 延长与 延长线交于点 F，若 D=3 长为（ ） A 5 6 7 8（ 2013孝感）如图，在 ， C=a， BC=b（ a b）在 依次作 A， 于（ ） A B C D 4（ 2013咸宁）如图，正方形 一块绿化带，其中阴影部分 是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A B C D 5（ 2013绥化）如图，点 A， B， C， D 为 O 上的四个点， 分 点 E， ， ，则 长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6（ 2013内江）如图，在 ， E 为 一点，连接 于点 F， S S ：25，则 ） A 2： 5 B 2： 3 C 3： 5 D 3： 2 7（ 2013恩施州）如图所示，在平 行四边形 ， 交于点 O， E 为 中点，连接 延长交 点 F，则 ） A 1： 4 B 1： 3 C 2： 3 D 1： 2 二填空题（共 10小题） 11（ 2013昭通）如图， O 的直径，弦 F 是弦 中点， 0若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发在 沿着 ABA 运动，设运动时间为 t（ s）（ 0t 16），连接 直角三角形时，t（ s）的值为 _ （填出一个正确的即可） 12（ 2013南通）如图，在 ， 平分线交 点 E，交 延长线于点F， 足为 G， F 的长为 _ 13（ 2013菏泽）如图所示，在 ， ， E、 F 分别是 中点，动点 P 在射线 ， ， 平分线交 Q，当 ， P= _ 14（ 2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 _ 15（ 2012自贡）正方形 边长为 1M、 N 分别是 两个动点，且始终保持 _ ，四边形 面积最大，最大面积为 _ 16（ 2012宜宾）如图，在 O 中， 直径，点 D 是 O 上一点，点 C 是 的中点，弦 点 F，过点D 的切线交 延长线 于点 G，连接 别交 点 P、 Q，连接 出下列结论： D； 点 P 是 外心； D=B 其中正确的是 _ （写出所有正确结论的序号） 17（ 2012泉州）在 ， P 是 的动点（ P 异于 A、 B），过点 P 的直线截 截得的三角形与 们不妨称这种直线为过点 P 的 相似线，简记为 P（ x 为自然数） （ 1）如图 ， A=90， B= C，当 ， P（ P（ 是过点 P 的 相似线（其中 BC，此外，还有 _ 条； （ 2）如图 ， C=90， B=30，当 = _ 时， P（ 得的三角形面积为 积的 18（ 2012嘉兴）如图，在 ， 0， C点 D 是 中点，连接 点 B 作 别交 点 E、 F，与过点 A 且垂直于 直线相交于点 G，连接 出以下四个结论： ； 点 F 是 中点； S S 中正确的结论序号是 _ 19（ 2012泸州）如图， n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 别为边 2， 的中点， 面积为 面积为 面积为 _ （用含 n 的式子表示） 20（ 2013荆州）如图， 斜边 长为 3 的等腰 直角三角形，在 作第 1 个内接正方形 ， 别在 ），再在 接同样的方法作第 2 个内接正方形 如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 边长是 _ 三解答题（共 8小题） 21（ 2013珠海）如图，在 ， C=90，点 P 为 上的一点，将线段 点 A 顺时针方向旋转（点P 对应点 P），当 转至 ，点 B、 P、 P恰好在 同一直线上，此时作 PE 点 E （ 1）求证： （ 2）求证： P； （ 3）当 ， 5 时，求线段 长 22（ 2013湛江）如图，已知 O 的直径， P 为 O 外一点，且 P= （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 23（ 2013宜宾）如图， O 的直径， B= （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若点 E 是 的中点，连接 点 F，当 ， 时，求 值 24（ 2013襄阳）如图， 接于 O，且 O 的直径 平分线交 O 于点 D，过点 D 作 D 交 延长线于点 P，过点 A 作 点 E，过点 B 作 点 F （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求线段 长 25（ 2013绍兴）在 ， 0， 点 D，点 E 为 中点， 于点 G，点 F 在 （ 1）如图 1， ： 2， 证： D （ 2）如图 2， ： ， 值 26（ 2013汕头）如图， O 是 外接圆， 0，弦 A， 2， ， 延长线于点 E （ 1）求证： （ 2）求 长； （ 3）求证： O 的切线 27（ 2013朝阳）如图，直线 O 相切于点 A，直径 延长线交 点 B， ， 0 （ 1）求 O 的半径 （ 2）点 E 在 O 上，连接 且 C，判断直线 怎样的位置关系？并证明你的结论 （ 3）求弦 长 参考答案与试题解析 一选择题（共 10小题） 1（ 2013自贡）如图，在平行四边形 ， ， ， 平分线交 E，交 延长线于F， G， ，则 周长为（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 4387773 分析： 判断出 等腰三角形， 等腰三角形， 长 度，继而得到 长度，在 求出 而得到 出 周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出 周长 解答： 解： 在 ， D=6， C=9， 平分线交 点 E， F= E=6， F=9， 等腰三角形， 等腰三角形， 等腰三角形，且 E， C=9 6=3， 在 ， ， ， =2， ， 周长等于 16， 又 似比为 1： 2， 周长为 8 故选 D 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大 2（ 2013重庆）如图，在平行四边形 ，点 E 在 ，连接 延长与 延长线交于点 F，若 D=3 长为（ ） A 5 6 7 8点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 4387773 分析： 由边形 平行四边形，可得 可证得 后由相似三角形的对应边成比例，求得答案 解答： 解： 四边形 平行四边形， F： 故选 B 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 3（ 2013孝感）如图，在 ， C=a， BC=b（ a b）在 依次作 A， 于（ ） A B C D 来源 :考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 依次判定 据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出 长度 解答： 解： C， 又 A， 同理可得： = ， = ， = ， = ， C， E， 解得： E= ， ， 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错 4（ 2013咸宁）如图，正方形 中阴影部分 是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A B C D 考点 ： 相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 求得阴影部分的面积与正方形 面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率； 解答： 解：设正方形的 边长为 a， 则 ， M=a， 阴影部分的面积为（ ） 2+（ a） 2= 小鸟在花圃上的概率为 = 故选 C 点评： 本题考 查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积 5（ 2013绥化）如图，点 A， B， C， D 为 O 上的四个点， 分 点 E， ， ，则 长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 考点 ： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质 4387773 分析： 根据圆周角定理 而证明 AE=x，则 AC=x+4，利用对应边成比例，可求出 x 的值 解答： 解：设 AE=x，则 AC=x+4， 分 周角定理）， = ，即 = ， 解得： x=5 故选 B 点评： 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 明 6（ 2013内江）如图，在 ， E 为 一点，连接 于点 F， S S ：25，则 ） A 2： 5 B 2： 3 C 3： 5 D 3： 2 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 4387773 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 根据 S S ： 25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 值，由 D 即可得出结论 解答： 解： 四边形 平行四边形， S S ： 25， ： 5， D， ： 3 故选 B 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键 7（ 2013黑龙江）如图，在直角梯形 ， 0， 5， D， 分 B 于点 E，在 截取 E，连接 点 G，连接 点 H，过点 A 作 足为 N， 点 M则下列结论； F； 分 中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 如解答图所示： 结论 正确：证明 可； 结论 正确：由 2= 4，进而得 4+ 6=90，即 结论 正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等； 结论 正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等 解 答： 解：（ 1）结论 正确理由如下： 1= 2， 1+ 0， 2+ 6=90， 6= 5= 5= 6， E= 易知 正方形， 等腰直角三角形， C 在 ， ， F； （ 2）结论 正确理由如下： 2= 4， 2+ 6=90， 4+ 6=90， （ 3）结论 正确理由如下： 证法一： 80， A、 D、 C、 G 四点共圆， 7= 2， 2= 4， 7= 4，又 B=45， 证法二： 1= 2， 等腰三角形， F，点 G 为 点 在 ，点 G 为斜边 点， G， 3， 在 ， ， 7= 1，又 1= 2= 4， 7= 4，又 B=45， （ 4）结论 正确理由如下： 证法一： A、 D、 C、 G 四点共圆， 5， 5， 分 证法二： E， 3= 4，又 2= 4， 3= 2 则 80 1 90 80 1 90 3=90 1 2=45 5= 分 综上所述，正确的结论是： ，共 4 个 故选 D 点评 ： 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考 8（ 2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ， 交于点 O， E 为 中点，连接 延长交 点 F，则 ） A 1： 4 B 1： 3 C 2： 3 D 1： 2 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 4387773 分析： 首先证明 后利用 对应变成比例， E 为 中点，求出 值，又知 C，即可得出 值 解答： 解：在平行四边形 ， 则 = ， O 为对角线的交点， O， 又 E 为 中点， 则 ： 3， ： 3， B， ： 3， ： 2 故选 D 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明 后 根据对应边成比例求值 9（ 2013德阳）如图，在 O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 异侧，过点 C 作 垂线，与 延长线交于点 Q，已知： O 半径为 ， ，则 最大值是（ ） A 5 B C D 考点 ： 圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 来源 :计算题；压轴题 分析： 根据圆周角定理的推论由 O 的直径得到 0，再根据正切的定义得到 = ，然后根据圆周角定理得到 A= P，则可证得 用相似比得 直径时， 长，此时 长，然后把 代入计算即可 解答： 解： O 的直径， ， 0， ， = ， 0， 而 A= P， = ， 当 大时， 大，即 O 的直径时， 大，此时 5= 故选 D 点评： 本题考 查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了三角形相似的判定与性质 10（ 2012岳阳）如图， 半圆 O 的直径， 别切 O 于 A、 B 两点， O 于点 E， ， 交于 C，连接 于下列结论： EC=C；S 梯形 A； 0，其中正确的是（ ） A B C D 考点 ： 切 线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 连接 据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到 A，B，由 E+量代换可得出 D+项 正确；由 D， 公共边，利用得出直角三角形 直角三角形 等，可得出 理得到 这四个角之和为平角，可得出 直角，选项 正确；由 为直角，再由一对 公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形 三角形 似，由相似得比例可得出 E项 正确；又 直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形 面积为 C），将 C 化为 得出梯形面积为 D，选项 错误，而 一定等于项 错误，即可得到正确的选项 解答： 解：连接 图所示： 圆 O 相切， 圆 O 相切， 圆 O 相切， 0， E， B， E+D+项 正确； 在 ， ， 同理 又 80， 2（ =180，即 0，选项 正确； 0，又 = ，即 C项 正确； 而 S 梯形 C） = D，选项 错误； 由 一定等于 项 错误， 则正确的选项有 故选 A 点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键 二填空题（共 10小题） 11（ 2013昭通）如图， O 的直径，弦 F 是弦 中点， 0若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发在 沿着 ABA 运动，设运动时间为 t（ s）（ 0t 16），连接 直角三角形时，t（ s）的值为 4s （填出一个正确的即可） 考点 ： 圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 压轴题；开放型 分析： 根据圆周角定理得到 C=90，由于 0， 据含 30 度的直角三角形三边的关系得到8 F 是弦 中点，所以当 ， 直角三角形，此时 E 为 中点，易得 t=4s；当从 A 点出发运动到 B 点名，再运动到 O 点时，此时 t=12s；也可以过 F 点作 垂线，点 直角三角形 解答： 解： O 的直径， C=90， 而 0， F 是弦 中点， 当 ， 直角三角形， 此时 E 为 中点，即 O=4 t= =4（ s） 故答案为 4s 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了圆周角定理的推论以及含 30 度的直角三角形三边的关系 12（ 2013南通）如图，在 ， 平分线交 点 E，交 延长线于点F， 足为 G， F 的长为 5 考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 首先，由于 分 么 得内错角 量代换后可证得 E，即 等腰三角形，根据等腰三角形 “三线合一 ”的性质得出 在 勾股定理可求得 值，即可求得 长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出 C 的长，即可得出答案 解答： 解： 分 又 E=6 6=3（ 足为 G， 在 ， 0， =2（ = = = = ， = ， = ， 解得： （ （ F 的长为 5 故答案为： 5 点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中 13（ 2013菏泽）如图所示，在 ， ， E、 B、 中点，动点 P 在射线 ， ， 平分线交 Q，当 ， P= 12 考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 延长 射线 M，根据三角形的中位线平行于第三边可得 据两直线平行，内错角相等可得 M= 根据角平分线的定义可得 从而得到 M= 据等角对等边可得 M，求出 P=根据 出 后根据 似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可 解答： 解：如图，延长 射线 M， E、 F 分别是 中点， M= 平分线， M= M， P=M= 由 ， = =2， 6=12， 即 P=12 故答案为： 12 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长 造出相似三角形，求出 P=得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点 14（ 2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰 好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 考点 ： 相似三角形的应用 4387773 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 知， 据其相似比即可求解 解答： 解： = ， 则 = ， h= 故答案为： 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题 15（ 2012自贡）正方形 边长为 1M、 N 分别是 两个动点，且始终保持 ，四边形 面积最大，最大面积为 考点 ： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 设 BM= ，利用互余关系可证 用相似比求 据梯形的面 积公式表示四边形 面积，用二次函数的性质求面积的最大值 解答： 解：设 BM= 0， 0， 0， 又 B= C ，即 ， 解得 =x（ 1 x）， S 四边形 11+x（ 1 x） = x+ ， 0， 当 x= = ， S 四边形 大值是 （ ） 2+ + = 故答案是： ， 点评： 本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式 16（ 2012宜宾）如图，在 O 中， 直径，点 D 是 O 上一点，点 C 是 的中点，弦 点 F，过点D 的切线交 延长线于点 G，连接 别交 点 P、 Q，连接 出下列结论： D； 点 P 是 外心； D=B 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 考点 ： 切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 连接 圆 O 的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到 由 圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到 直于 到 直角，再由一对公共角，得到三角形 三角形 似，根据相似三角形的对应角相等可得出 于 据等量代换及对顶角相等可得出 用等角对等边可得出 D，选项 正确；由直径直于弦 用垂径定理得到 A 为 的中点，得到两条弧相等，再由 C 为 的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆 周角相等可得出 用等角对等边可得出 P，又 直径得到 直角，利用等角的余角相等可得出 出 Q，即 P 为直角三角形 边上的中点，即为直角三角形 外心，选项 正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形 三角形 似，根据相似得比例得到 Q接 理可得出三角形 三角形 似，根据相似三角形对应边成比例可得出 P量代换可得出 D=B，选 项 正确 解答： 解： 一定相等，选项 错误； 连接 图所示： 圆 O 的切线， 又 圆 O 的直径， 0， 0， D，选项 正确； 直径 A 为 的中点，即 = ， 又 C 为 的中点， = ， = ， P， 又 圆 O 的直径， 0， Q， Q，即 P 为 边 中点， P 为 外心，选项 正确； 连接 图所示： = ， B= = ，即 Q = ， = ，即 P D=B，选项 正确， 则正确的选项序号有 故答案为： 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 17（ 2012泉州）在 ， P 是 的动点（ P 异于 A、 B），过点 P 的直线截 截得的三角形与 们不妨称这种直线为过点 P 的 相似线，简记为 P（ x 为自然数） （ 1）如图 ， A=90， B= C， 当 ， P（ P（ 是过点 P 的 相似线（其中 BC，此外，还有 1 条； （ 2）如图 ， C=90， B=30，当 = 或 或 时， P（ 得的三角形面积为 积的 考点 ： 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）过点 P 作 Q，则 条相似线； （ 2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有 4 条，注意不要遗漏 解答： 解：（ 1）存在另外 1 条相似线 如图 1 所示，过点 P 作 Q，则 故答案为： 1； （ 2）设 P（ 得的三角 形面积为 S， S= S 相似比为 1： 2 如图 2 所示，共有 4 条相似线： 第 1 条 时 P 为斜边 点， = ； 第 2 条 时 P 为斜边 点， = ； 第 3 条 时 对应边，且 = ， = = ； 第 4 条 时 对应边，且 = ， = = ， = 故答案为： 或 或 点评： 本题引入 “相似线 ”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏 18（ 2012嘉兴）如图，在 ， 0， C点 D 是 中点，连接 点 B 作 别交 点 E、 F，与过点 A 且垂直于 直线相交于点 G，连接 出以下四个结论： ； 点 F 是 中点； S S 中正确的结论序号是 考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 4387773 专题 ： 压轴题 分析： 首先根据题意易证得 据相似三角形的对应边成比例与 C，继而 证得 正确；由点 D 是 中点，易证得 等角的余角相等，可得 可得 而可得 可得 由等腰直角三角形的性质，可得 可求得 可得 S S 解答： 解： 在 ， 0， ， C， ， 故 正确； 0， 0， B，点 D 是 中点， = ， 在 ， = ， = ， F， 点 F 不是 中点 故 错误； G： ： 2， 故 正确； S S 故 错误 故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角 形的性质以及三角函数等知识此题难度适中，解题的关键是证得 意掌握数形结合思想与转化思想的应用 19（ 2012泸州）如图， n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 别为边 2， 的中点， 面积为 面积为 面积为 （用含 n 的式子表示） 考点 ： 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 ： 压轴题；规律型 分析： 由 n 个边 长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 1， 的中点，即可求得 由 可得 后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案 解答： 解： n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点