上海交通大学版《大学物理学》习题答案

习 题 1 1解： 1） 由 )s in(co s r 知 消去 t 可得轨道方程 222 2） tR c o ss 2122 )c o s()s i n( 1解： 1）由 )23(4 2 可知 2 消去 t 得轨道方程为： 2)3y(x 2） 28d 24) d 010 t 3） 2(0) 28(1) 1解： 1） 22d 22） 212212 )1t(24)v 122221a a t 1解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 201 21 （ 1） 202 21 （ 2） 21 （ 3） 解之 2图 1解：（ 1） （ 1） 2 式（ 2） )21 t) 20 （ 2）联立式（ 1）、式（ 2）得 202（ 3） 而 落地所用时间 所以 20 gt(2112 2 222002 ( ) ( 2 )g g v g t v g h1证明：设人从 O 点开始行走， t 时刻人影中足的坐标为 1x ，人影中头的坐标为 2x ，由几何关系可得 21122 x 而 以，人影中头的运动方程为 021 121 112 人影中头的速度 021 122 图 14 若 0v 解的 2)242(011 )242()32342( 2133 021 1解 : 建立直角坐标系， 以小球第一次落地点为坐标原点如图 小球落地时速度为 0 000 60x 2000 60c os （ 1） 图 100 60y 2000 60s in （ 2） 第二次落地时 0y 2 所以 s 202000 道上的物体仍能保持在地球必须满足 2 顶点处子弹的速度 ，顶点处切向加速度为 0。 因此有：202 )c o s( 220 在落地点速度为0v20 此时飞机距目标水平距离为 x 有： 21联立方程解得： 47 解：两个物体在任意时刻的速度为 )s i n(c o s0 g t)-s i n(c o 0 )s i ns i n()c o sc o s(- 0000B 与时间无关，故 B 相对物体 A 的速度是常矢量。 1物体在任意时刻的速度表达式为 0故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度 第三秒末物体速度 0v 第四秒末物体速度 01 0 0 0 00)1(0 1解：取水面为坐标原点，竖直向下为 x 轴 跳水运动员入水速度 420 2 k 10001 1） )1 （ 2） 1）轨道方程为 222 2 这是一条空间螺旋线。 在 面上的投影为圆心在原点，半径为 R 的圆，螺距为 h （ 2） x s 2222224 （ 3） co 0222 习题 2 2解： （ 1）由题意和牛顿第二定律可得：， 分离变量，可得：两边同时积分，所以： 0 （ 2）子弹进入沙土的最大深度也就是 v=0 的时候子弹的位移，则： 由可推出： ，而这个式子两边积分就可以得到位移：00m a x 0v v d t d v 。 绳子中距 离转轴为 r 处取一小段绳子，假设其质量为 知： ，分析这 绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出： LM d d 2 ）（。 距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)将提供的是 r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（ 2222 r 2解：由题意和牛顿第二定律可得： 2再采取分离变量法可得： 2， 两 边同时取积分，则： mv d 024/所以： 2解：由题意和牛顿第二定律可得： ，代入 f 与 v，并两边积分，v 0)244( 210 ， )43(284 5 速度是 i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，则 24解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：21 2 2 2m s xF m m m m 可得： ( 21 2解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （ 1 ）当木块具有向下滑动的趋势时（见图 a ），列式为： c o ss c o ss 可计算得到：此时的 a g（ 2）当木快有向上滑动趋势时（见图 b），列式为： c o ss c o ss 可计算得到：此时的 a t a n t a n1 t a n 1 t a ng a g 2解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于， M 与 M 沿地面运动， m 沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则 m 的运动为： s m ac o s yN m g m a M 的运动方程为： s a 下面列出约束条件的方程：取 M 作为参考系，设 m 在其中的相对加速度为 a ，在 x,y 方向的分量分别为 么： 利用相对运动的公式， 所以：yy 于是： t a n x a a 即： s i n c o s s i nx y Ma a a （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）联立，计算可得： 2s i n c o ss i nM 力分析如图 （ 1） （ 2） 两式相比 222当 0y 时 0以 0222 稳定旋转时液面是一个抛物面 由于旋转后成为立体，故方程变为【 222 0()2z x y 】 2解：隔离物块和斜面体，分析力 ，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于， 运动有联系的， 地面运动，斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则 运动为： s 2co s 运动方程为：11m a 下面列出约束条件的方程：取 为参考系，设 其 中的相z r O 对加速度为 a ，在 x,y 方向的分量分别为 么：利用相对运动的公式，21a a a所以：1a a yy 于是：1t a n a a 即：1s i n c o s s i a a （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）联立，计算可得： 21 212s i n c o ss i ； 12 212s i n c o ss i ； 122( ) s i ns i 相互作用力 N= 221 21 s据题意，当小环能平衡时，其运动为绕 Z 轴的圆周运动， 以地面为参照系 可列式： 0s s 所以，可得： 据题意和牛顿第二定律，可列式：22)(x 整理可得二阶微分方程： 022 x。 令下面分 c 为正负再做进一步讨论。 当 00 222 ，可得： 到： 当 00 222 ，可得： )(2 一次求导，得到： )(2 tt 2解：在法向上有 而 在切向上有 由上面三个式子可得 020 1)1l n (00 000 tS 习题 3 2020 AB 由做功的定义可知： 2)2020( 3质量为 m=质点，在 标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=I),从 t=2s 到 t=4力对质点的功为 多少？ 60) 24 22/ / 1 0d d t d d t v r 1 0 5 a 由做功的定义可知： 5 6 0 3 0 0 脱离地面时所受的力为 F= 可得此时弹簧的伸长量为：由做功的定义可知：x d xW 以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。 解：求在 可得： (2121 2 由动能定理：(21)(21021 2 1）由做功的定义可知： 2( xF （ 2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。 求功率就必须知道力和速度的情况，由题意： )3121(1)(1 322 所以功率为： )3121(1)3121(1)( 5232322 1）由作用力和势能的关系： x )2()( 2 （ 2）取一个比较简单的积分路径： ，则积分可得： )()2( =9 1）取弹簧原长位置 O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置 P （坐标设为 x ）时系统的总势能： 2P 21E （ 2）取力的平衡位置 O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置 P （坐标设为 x ）时系统的总势能：02020P 2121g x而）（ 所以 22020P 212121E ）（3解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零 的时候，所以：2 ，则 。 在下落过程中，利用功能原理： 22 2 1012hs l v s g l h g s y d y 所以： 2m v g l 进入液体的最大深度 H 为细棒运动的速度为零时： 210Hs g l h g s y d y 所以1122 据题意，假设在离地心 0 处质点的速度为 面上的速度为 供卫星运动的力为万有引力：202，所以 2012 此 过程中阻力的作用时间可 由 角 动量定 理 v r d r f)()()()(通过取积分，可得： 200240 接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则： 1 1 14 8 3 2 m g l m g l 起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由 220 2121 ，可得： 0 分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： 03解：（ 1）当 A 和 B 开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：202 21)(21 A ，所以：0 ; （ 2）分离之后， A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： 22 2121 ，则： 0A 3解 ：（ 1 ） 取 无 穷 远 处 势 能 为 零 ， 计 算 地 面 处 的 势 能 为 ：f d r G m m d r G m （ 2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为： f d r G m m d r G m 两种情况下势能差是完全一样的。 3解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为 处，质量为 m 的质点所具有的引力势能为： )()()()()( 20200 如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为 习题 4 4解： （ 1）根据冲量定理： 在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为 0，冲量之和也为 0，所以本题中质点所受合外力的冲量 I 为零 （ 2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。 重力产生的冲量 =；所以拉力产生的冲量 2，方向为竖直向上。 （ 1） 由做功的定义可知： d v d tF d xW x 1 椭圆 （ 2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该 F 做的功为 ，其他的力的功为 4：（ 1）根据动量的定义： ( s i n c o s )P m v m a t b t 2）从 0t 到 /2t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化 ，因为动量没变，所以冲量为零。 1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10 代入数据 002.0 v 可得： 根据圆周运动的规律： 2 4 . 6 g M （ 2） 根据冲量定理可得： 解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式： 1 s 1 所以 221 . 4 1 0 /P k g m s 1 （ 2）反冲的动能为： 2 180 . 1 7 1 02k 据弹性碰撞遵循的规律，可得到以下两个式子： 0 H H H e H eM m mv v 201 1 12 2 2H H H e H eM v m v m v 代入已知量，可得： M=7u 70 1 0 m /4解：（ 1）由 3/1044 00 5 和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044 00 5 算出 t= （ 2）由冲量定义： 0 . 0 0 3 0 . 0 0 3 0 . 0 0 35 5 2000 4 0 0 4 1 0 / 3 4 0 0 2 1 0 / 3 0 . 6I F d t t d t t t N s （ ）（ 3）由动量定理： 0 . 0 0 30 0 . 60 . 6 / 3 0 0 0 . 0 0 2I F d t P m v N sm k g 所 以 ：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为 1 1 2 212cm x m xx 因为 12m m m， 1 2 故 222 3,42x m xx x 4解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为 B 木块的动能，然后 B 带动 A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度 v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。 202022 2121 ）（ 2102 所以 2） 22122022 212121 （ 那么计算可得：021 碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得 （ 1） 假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行： 0 所以：021 2）假设碰撞是完全弹性的， 210 222120 212121 两球交换速度， 01 v 02 3）假设碰撞的恢复系数 5.0e ，也就是 210 vv 1 41 ， 02 43机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，得： 22111 s i v k x M g x 1 (碰撞前木快的速度 ) 1 c o sM v m v m M v （ ） 4解：（ 1）由碰撞过程动量守恒，可得 ）（ 32101 v ms ( 2101 1255 250211 23212213 21)(21 ）（ 0121)(213321221 ）（ （ 2） 4解：（ 1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得， ）（0 22 2121 ）（ 计算得到： ）（ 0（ 2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动 能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为 s，所以： ）（ 22021 221 其中 所以：2 4 4 解：（ 1） g co （ 2） t 200 c o 4解：利用角动量守恒： 2211 21 42 同时利用卫星的机械能守恒，所以： 21221 022021 20 所以： 321 62 （ 2）220 可得到： 4：第二宇宙速度 0E ，由机械能守恒 : 210 24A v G R 122A g 2 4 s i v R m v R 2 2v 入： 30 习题 5 力分析如图 2 2 （ 1） 1 （ 2） )( 2 （ 3） )( 1 （ 4） (5) 联立 （ 1） 设杆的线，在杆上取一小质元 考虑对称 m g lg x d xM l 20 412 （ 2） 根据转动定律 dM 0212141 g 所以 3 05解 ： 整理 )21(g d 002125解：选人、滑轮与重物为系统，设 u 为人相对绳的速度， v 为重 物上升的速度，系统对轴的角动量 M u RM v 23)4()(42 根据角动量定理 )23(43 M u RM v g R 0 M R 32343 所以 2证明：设球的半径为 R ，总重量为 m ，体密度343 ， 将球体划分为许多厚度为 圆盘， 则盘的体积为 22 )( 22 2 5 21 8 2()2 1 5 5 Z d Z R