第07章 空间问题的基本理论_2007

第七章 空间问题的基本理论 本章将系统地介绍空间问题的基本理论基本方程 和边界条件，及空间轴对称问题的基本方程。要求掌握 的内容如下： 1、空间问题的基本未知函数； 2、一点应力状态的分析； 3、空间问题的三套基本方程平衡微分方程、几 何方程与物理方程 4、边界上边界条件的建立； 5、空间轴对称问题的基本方程。 本章学习指南 为了理解空间问题的基本理论，可从以下几 个方面出发： 1、清楚地了解推导空间问题的基本方程所用 的条件和方法； 2、对照平面问题基本理论的相关知识进行学 习，将空间问题的基本方程、边界条件看成是平 面问题的推广，以加深理解； 3、柱坐标系中的空间轴对称问题可看成是平 面轴对称问题的推广； 本章学习指南 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 7.1 空间问题的基本未知量与方程 什么空间问题？ q 一维问题：一个基本坐 标变量，如杆件。是材料力 学的重点内容。 q 二维问题：二个基本坐 标变量，如平面问题。是本 课程的重点内容。 q 三维问题：三个基本坐 标变量，即空间问题。是本 课程需了解的内容。 空间问题的基本未知量与方程 任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为 x、 y、 z） ，外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问 题 。 对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静力 学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程 ；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基 本方程、边界条件和求解方法均是类似的。 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 7.2 物体内任一点的应力状态分析 1： 求经过该点任何斜面上的 应力 p？ 2： 求经过该点的任何斜面上的 正应力 sn和 切应力 tn ？ 3： 若经过该点的 主应力 s和 应力主方向 a ？ 4： 求经过该点的 正应力 sn和 切应力 tn 的最大和最小值 ？ 一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上的 6 个应力分量 ， 求解如下四个问题： 过一点任意斜面的全应力 问题 1：已知任一点处坐标面上的 6个应力分量 ， 求经过该 点的任何斜面上的应力 p？ 取如图所示微分单元体 PABC， 当平面 ABC无限接近于 P点时，该 平面上的应力即为所求 应力 p 。 根据该微分单元的力系平衡条件 ，在 x、 y和 z轴方向上合力为 0，从 而有： 过一点任意斜面的全应力 特殊情况下，若平面 ABC是弹性 体上受面力作用的边界面，则 应 力 p就成为面力，于是由 (7 2)式 可得出 : 上式就是 空间问题的应力边界条件 ，它表明应力分量 的边界值与面力分量之间的关系。 过一点任意斜面的正应力与切应力 问题 2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ 平面 ABC上的 正应力 sn即为上 面所求的 全应力 p向法线方向 n 的投影： 平面 ABC上的 切应力 tn则由下 式求得： 过一点任意斜面的主应力与主方向 问题 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为 0，求此斜面 上的主应力 s和应力主方向 a ？ 设如图所示的斜面上切应力为 0 ，则 该面上的全应力等于正应力 ，也等于主应力 ，于是有 又由于有 过一点任意斜面的主应力与主方向 从而有关于方向余弦 l,m, n的线性方程组： 其有非零解的充要条件为系数行列式等于 0，即 过一点任意斜面的主应力与主方向 其中： 主应力特征方程展开，得 ： q主应力特征方程 有三个实数根， s1， s2， s3分别表示这 三个根，代表某点三个主应力，从而 确定弹性体内部任 意一点主应力 。 q主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等 ，与坐标轴的选取无关。 qI1、 I2、 I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变 量。特征方程的根是确定的，即系数 I1、 I2、 I3的值是不 随坐标轴的改变而变化的。 过一点任意斜面的主应力与主方向 结合 l2+m2+n2=1 则可求主应力方向。 过一点任意斜面的主应力与方向 对于 主应力方向 ，将 s1， s2， s3分别代入 可以证明：三个主 应力方向 ，是互相垂直的。 弹性体内任意一点的最大正应力为 s1， 最小正应力为 s 3 最大切应力可以通过主应力计算，等于 (s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作 用平面通过 s 2 应力主方向，并且平分 s 1和 s 3应力主方向 的夹角（即 45角）。 过一点任意斜面的应力极值 问题 4、已知任一点处三个主应力（ s1 s2 s3 ），及其应力 主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值 例 1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。 解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有 sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0 设任意斜微分面的方向余弦为（ l, m , n )， 其上的全应 力为公式（ 7 2），正应力为公式（ 7 3），代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 设三个主应力大小顺序为 s1 s2 s3 ， 则正应力取极 大值条件： m=n=0, | l | =1, 即极大值为 s1。 同理极小值为 s3。 例 题 例 1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。 解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有 sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0 设任意斜微分面的方向余弦为（ l, m , n )， 其正应力为 公式（ 7 3），代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 设三个主应力大小顺序为 s1 s2 s3 ， 则正应力取极 大值条件： m=n=0, | l | =1, 即极大值为 s1。 同理极小值为 s3。 例 题 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 7.3 空间问题的平衡微分方程 空间问题的平衡微分方程是考虑空间问题的静力学 条件，根据弹性体内微分单元体的静力平衡条件来推 导出 应力分量与体力分量之间的关系 。 分析问题方法： 空间力系和力矩的平衡条件 分析手段： 微分单元体（微分） 意义： 弹性体区域内任一点的微分体的静力平衡条 件 空间问题的平衡微分方程 由于六面体是微小的，各面上的应力可认为 是均匀分布，且作用于对应面的中心。 同理，六面体所受的体力也可以认为是均匀 分布，且作用于它的体积的中心。 如图所示，考虑一个微小的正 平行六面体，其 x、 y、 z方向的 尺寸分别为 dx、 dy、 dz。 空间问题的平衡微分方程 考虑问题的基础知识：静力学知识 微分单元体：正平行六面体，每个边界面都是坐标平 面，各坐标面上有三个应力分量。 应力符号约定 （ 1） 正坐标面：外法线方向沿 坐标轴正向的坐标面 应力沿坐标轴正向时取正 值，沿坐标轴负向时取负值； 反之亦然。 （ 2） 负坐标面：外法线方向沿 坐标轴负向的坐标面 应力沿坐标轴正向时取负 值，沿坐标轴负向时取正值； 反之亦然。由泰勒级数展开，求各面应力 空间问题的平衡微分方程 分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（ 6个） 意义：弹性体区域内任一点的微分体的平衡条件 平衡微分方程切应力互等定理 平衡微分方程：注意事项 列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和 体积，才能得到合力； 应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，也 是其适用的条件。 平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式的 各项为 x方向的量，第二项为 y方向的量，第三项为 z方向 的量； 平衡微分方程：注意事项 空间问题的平衡微分方程有 3个方程，但包含有 6个 未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静定 的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的条 件。 平衡微分方程表示了弹性体内任意点的微分单元体 的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域是 满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严格和 精确的； q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 7.4 空间问题的几何方程及物理方程 几何方程：位移与应变的关系，分为线应变和切应变 空间问题的位移边界条件：在给定约束位移的边界面上，位移分量 在边界面上的值与边界上的约束位移值相等。 体应变：单位体积的体积改变 空间问题的物理方程 物理方程：应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。 E 为 杨氏模量 G 为 剪切弹性模量 m 为 横向变形系数 泊松比 对于理想弹性体，按应力表示为 用于按应力求解的方法。 空间问题的物理方程 按应变表示的物理方程为 用于按位移求解的方法。 总结：基本未知量与方程 位移分量 ux uy uz 应变分量 ex ey ez gxy gxz gyz 应力分量 sx sy sz txy txz tyz 体力 f 几何方程 物理方程 平衡微分方程 已知位移 已知面力 变形协调方程 位移边界条件 应力边界条件混合边界条件 例 题 例题： 将立方体的橡皮放在一同样大小的刚性体铁盒容器 内，其上用铁盖封闭，铁盖上受均匀分布垂直压力 q 作用 ，假设橡皮与容器间无摩擦力，试求橡皮中的应力分量与 应变分量。 例 题 1、建立求解的直角坐标系 2、橡皮在力的作用下会发生形变，但由于容器为刚性体，因 此其在 x 和 y 两个方向变形受到约束，位移 u=v= 0，相应的正 应变 ex= ey= 0。 5、由于 橡皮与容器间无摩擦力 ，因此切应力均为 0 ，切应变 也为 0。 4、将上述条件代入物理方程，可解得 sx和 sy， 进而求 ez 3、 橡皮的上边界受均匀分布垂直压力 q 作用，因此有 sz= -q （ 见 8.2 内容 ） q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 7.5 空间轴对称问题的基本方程 空间轴对称： 弹性体的形状、约束和外力都是对称于某一轴，通过 对称轴的任何平面均是对称面，则所有物理量（应力、应变和位移 ）都对称于该轴。宜采用圆柱坐标系（ r, j, z）。 由于对称，在对称面两边对应点的物理量满足如下两个条件 （ 1）数值轴对称： 所有物理量与环向坐标 j 无关，同一环向线 上的值相等，且只是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。 （ 2）方向轴对称 ，即方向对称于 z 轴，方向不对称于 z 轴的物 理量不能存在，从而有： 轴对称问题的平衡微分方程 由径向轴 r 和轴向 z 两个方向的空间力系的平衡条件，可推导 出 “ 平衡微分方程 ” ： 整理可得 （ 7-15） 轴对称问题的几何方程 通过与 2.4 及 4.2 中相同的分析方法，可见由于径向位移 ur 引 起的形变为 由于轴向位移 uz 引起的形变为 ： 根据叠加原理，将两组形变叠加，得轴对称问题的几何方程： （ 7-16） 轴对称问题的物理