2017年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，四个选项中只有一个正确） 1设 P=x|x 4， Q=x|4，则（ ） A P Q B Q P C P Q复数 ，且 A+B=0，则 m 的值是（ ） A B C D 2 3设样本数据 ， 均值和方差分别为 1 和 4，若 yi=xi+a（ a 为非零常数， i=1， 2， ， 10），则 ， 均值和方差分别为（ ） A 1+a， 4 B 1+a， 4+a C 1， 4 D 1， 4+a 4公差不为零的等差数列 前 n若 2，则 于（ ） A 18 B 24 C 60 D 90 5设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的两个焦点，若 P（ 0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 6设 a=， c= a， b， c 的大小关系为（ ） A b a c B c a b C a b c D c b a 7圆 x2+4x 4y 10=0 上的点到直线 x+y 8=0 的最大距离与最小距离的差是（ ） A 18 B C D 8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B 3 C D 6 9 4 的展开式共（ ）项 A 10 B 15 C 20 D 21 10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 0， 长度大于 1 米，且 ，为了稳固广告牌，要求 短越好，则短为（ ） A（ 1+ ）米 B 2 米 C（ 1+ ）米 D（ 2+ ）米 11已知函数 f（ x）在 R 上满足 f（ x） =2f（ 2 x） x 8，则曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是（ ） A y= 2x+3 B y=x C y=3x 2 D y=2x 1 12已知椭圆的左焦点为 一小球 A 从 以速度 v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到 ，它所用的最长时间是最短时间的 5 倍，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13等比数列 公比 q 0已知 ， +=6 前 4项和 14如图所示，输出的 x 的值为 15已知四面体 ， D=6， 0， 0，则该四面体外接球半径为 16设点 P 在曲线 y= ，点 Q 在曲线 y=2x）上，则 |最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）已知函数 f（ x） =2 a，且当 x 0， 时， f（ x）的最小值为 2 （ 1）求 a 的值，并求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）先将函数 y=f（ x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所得图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，求方程 g（ x） =4在区间 0， 上所有根之和 18（ 12 分）某校举行 “庆元旦 ”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三 的概率为 P，每场胜负独立，胜者记 1 分，负者记0 分，规定：积分相同者高年级获胜 （ ）若高三获得冠军概率为 ，求 P （ ）记高三的得分为 X，求 X 的分布列和期望 19（ 12 分）如图所示，三棱柱 ，已知 侧面 B=， ， 0 （ ）求证： 平面 （ ） E 是棱 在直线上的一点，若二面角 A B 的正弦值为 ，求长 20（ 12 分）已知抛物线 C： y=2线 l： y= 交 C 于 A， B 两点， M 是线段 中点，过 M 作 x 轴的垂线 C 于点 N （ 1）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 行； （ 2）是否存在实数 k 使以 直径的圆 M 经过点 N，若存在，求 k 的值，若不存在，说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =+ （ ）若 f（ x）在区间 2， 3上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ ）设 f（ x）的导函数 f（ x）的图象为曲线 C，曲线 C 上的不同两点 A（ x1， B（ 在直线的斜率为 k，求证：当 a 4 时， |k| 1 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）选修 4 4；坐标系与参数方程 已知曲线 参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 坐标系方程是 =2，正方形 顶点都在 ，且 A， B， C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（ 2， ） （ 1）求点 A， B， C， D 的直角坐标； （ 2）设 P 为 任意一点，求 |+|+|+| 的取值范围 选修 4等式选讲 23设不等式 2 |x 1| |x+2| 0 的解集为 M， a、 b M， （ 1）证明： | a+ b| ； （ 2）比较 |1 4 2|a b|的大小，并说明理由 2017 年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，四个选项中只有一个正确） 1设 P=x|x 4， Q=x|4，则（ ） A P Q B Q P C P Q考点】 子集与真子集 【分析】 此题只要求出 4 的解集 x| 2 x 2，画数轴即可求出 【解答】 解： P=x|x 4， Q=x|4=x| 2 x 2，如图所示， 可知 Q P， 故选： B 【点评】 此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题 2复数 ，且 A+B=0，则 m 的值是（ ） A B C D 2 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 复数方程两边同乘 1+2i，利用复数相等求出 A、 B，利用 A+B=0，求出m 的值 【解答】 解：因为 ，所以 2 A+ 1+2i）， 可得 A 2B=2， 2A+B=m 解得 5（ A+B） = 3m 2=0 所以 m= 故选 C 【点评】 本题考查复 数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题 3设样本数据 ， 均值和方差分别为 1 和 4，若 yi=xi+a（ a 为非零常数， i=1， 2， ， 10），则 ， 均值和方差分别为（ ） A 1+a， 4 B 1+a， 4+a C 1， 4 D 1， 4+a 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【分析】 方法 1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论 方法 2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论 【解答】 解：方法 1： yi=xi+a， E（ =E（ +E（ a） =1+a， 方差 D（ =D（ +E（ a） =4 方法 2：由题意知 yi=xi+a， 则 = （ x1+ +0 a） = （ x1+ += +a=1+a， 方差 （ x1+a（ +a） 2+（ x2+a（ +a） 2+ +（ a（ +a） 2= （ ） 2+（ ） 2+ +（ ） 2= 故选： A 【点评】 本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量 y=ax+b，则Ey=b， Dy=用公式比较简单或者 使用均值和方差的公式进行计算 4公差不为零的等差数列 前 n若 2，则 于（ ） A 18 B 24 C 60 D 90 【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】 由等比中项的定义可得 据等差数列的通项公式及前 n 项和公式，列方程解出 d，进而求出 【解答】 解： 等比中项， 即（ d） 2=（ d）（ d）， 整理得 2d=0， 又 ， 整理得 2d=8， 由 联立，解得 d=2， 3， ， 故选： C 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式和等比中项的定义，比较简单 5设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的两个焦点，若 P（ 0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 c， 0）， c， 0），则 | ，由 P（ 0，2b ） 是 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 可 知 | =2c ， 由 此 可 求 出b= = a，进而得到双曲线的渐近线方程 【解答】 解：若 P（ 0， 2b）是正三角形的三个顶点， 设 c， 0）， c， 0），则 | ， P（ 0， 2b）是正三角形的三个顶点， =2c， （ =4 c=2a， b= = a， 双曲线的渐近线方程为 y= x， 即为 y= x 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时 要注意审题，由 P（ 0， 2b）是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题 6设 a=， c= a， b， c 的大小关系为（ ） A b a c B c a b C a b c D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数的单调性求解 【解答】 解： a= =b， = c， a， b， c 的大小关系为 c b a 故选： D 【点评】 本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与 1 进行比较，属于基础题 7圆 x2+4x 4y 10=0 上的点到直线 x+y 8=0 的最大距离与最小距离的差是（ ） A 18 B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆 x2+4x 4y 10=0 上的点到直线 x+y 8=0 的最大距离与最小距离分别是： d+r， d r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案 【解答】 解： 圆 x2+4x 4y 10=0， （ x 2） 2+（ y 2） 2=18， 圆半径 r=3 圆 x2+4x 4y 10=0 上的点到直线 x+y 8=0 的最大距离与最小距离分别是：d+r， d r， 其两者之差即为圆的直径， 故圆 x2+4x 4y 10=0 上的点到直线 x+y 8=0 的最大距离与最小距离的差是 ， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，明确圆上的点到直线的最大距离和最小距离的计算方法是解题的关键 8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B 3 C D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可 【解答】 解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径 为 1 高为 6 的圆柱，被截的一部分，如图 所求几何体的体积为： =3 故选 B 【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力 9（ x+y+z） 4 的展开式共（ ）项 A 10 B 15 C 20 D 21 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式定理的展开式即可的得出结论 【解答】 解：（ x+y+z） 4=（ x+y） 4+4（ x+y） 3z+6（ x+y） 2（ x+y） z3+ 根据二项式定理：（ x+y） n 展示式中共有 n+1 项，所以上式中：共有 5+4+3+2+1=15项 故选： B 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 0， 长度大于 1 米，且 ，为了稳固广告牌，要求 短越好，则短为（ ） A（ 1+ ）米 B 2 米 C（ 1+ ）米 D（ 2+ ）米 【考点】 余弦定理；基本不等式 【分析】 设 长度为 x 米， 长度为 y 米，依据题意可表示出 长度，然后代入到余弦定理中求得 x 和 y 的关系式，利用基 本不等式求得 y 的最小值，并求得取等号时 x 的值 【解答】 解：设 长度为 x 米， 长度为 y 米，则 长度为（ y ， 在 ，依余弦定理得： 2 即（ y 2=y2+2，化简，得 y（ x 1） =， x 1， x 1 0， 因此 y= ， y=（ x 1） + +2 +2， 当且仅当 x 1= 时，取 “=”号， 即 x=1+ 时， y 有最小值 2+ 故选： D 【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求 最值问题考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题 11已知函数 f（ x）在 R 上满足 f（ x） =2f（ 2 x） x 8，则曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是（ ） A y= 2x+3 B y=x C y=3x 2 D y=2x 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先根据 f（ x） =2f（ 2 x） x 8 求出函数 f（ x）的解析式，然后对函数 f（ x）进行求导，进而可得到 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方 程 【解答】 解： f（ x） =2f（ 2 x） x 8， f（ 2 x） =2f（ x）（ 2 x） 2+8（ 2 x） 8 f（ 2 x） =2f（ x） x 4+16 8x 8 将 f（ 2 x）代入 f（ x） =2f（ 2 x） x 8 得 f（ x） =4f（ x） 28x+8 x 8 f（ x） =f（ x） =2x， y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 y=2 函数 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y 1=2（ x 1）， 即 y=2x 1 故选： D 【点 评】 本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点处的导数值等于该点的切线方程的斜率 12已知椭圆的左焦点为 一小球 A 从 以速度 v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到 ，它所用的最长时间是最短时间的 5 倍，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意可得 a+c=5（ a c），由此即可求得椭圆的离心率 【解答】 解： 椭圆上的点到左焦点 距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点， 由题意可得 a+c=5（ a c），即 4a=6c，得 椭圆的离心率为 故选： D 【点评】 本题考查椭圆的简单性质，明确椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点是关键，是基础题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13等比数列 公比 q 0已知 ， +=6 前 4 项和 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 先根据： 等比数列把 +=6成理 q2+q 6=0 求得 q，进而根据 得 后跟等比数列前 n 项的和求得 【解答】 解： 等比数列， +=6化为 +1， q2+q 6=0 q 0， q=2 a2=， = = 故答案为 【点评】 本题主要考查等比数列前 n 项和公式和等比数列的通项公式考查了学生对等比数列基础知识点的掌握 14如图所示，输出的 x 的值为 17 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，写出每 次循环得到的 x 的值，当 a=b=17 时满足条件 a=b，输出 x 的值为 17 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=51， b=221 不满足条件 a=b，满足 b a， b=221 51=170， 不满足条件 a=b，满足 b a， b=170 51=119， 不满足条件 a=b，满足 b a， b=119 51=68， 不满足条件 a=b，满足 b a， b=68 51=17， 不满足条件 a=b，满足 a b， a=51 17=34， 不满足条件 a=b，满足 a b， a=34 17=17， 满足条件 a=b， x=17，输出 x 的值为 17 故答 案为： 17 【点评】 本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的 x 的值是解题的关键，属于基础题 15已知四面体 ， D=6， 0， 0，则该四面体外接球半径为 2 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径 【解答】 解：如图所示， O为 外心， O 为球心， 平面 ， ， =2 设该四面体外接球半径为 R， d，则 2+（ 2 +d） 2= 3 ） 2， d= ， ， R= =2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查四面体外接球半径，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16设点 P 在曲线 y= ，点 Q 在曲线 y=2x）上，则 |最小值为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用 【分析】 由于函数 y= 函数 y=2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，要求 |最小值，只要求出函数 y= 的点 P（ x， 直线 y=x 的距离为 d= ，设 g（ x） = x，求出 g（ x） 可得出结论 【解答】 解： 函数 y= 函数 y=2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称 函数 y= 的点 P（ x， 直线 y=x 的距离为 d= 设 g（ x） = x，（ x 0）则 g（ x） = 1 由 g（ x） = 1 0 可得 x 由 g（ x） = 1 0 可得 0 x 函数 g（ x）在（ 0， 调递减，在 + ）单调递增 当 x=，函数 g（ x） 由图象关于 y=x 对称得： |小值为 2 故答案为： 【点评】 本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017营口一模）已知函数 f（ x） =2 a，且当x 0， 时， f（ x）的最小值为 2 （ 1）求 a 的值，并求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）先将函数 y=f（ x）的图象 上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所得图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，求方程 g（ x） =4在区间 0， 上所有根之和 【考点】 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ 1）化简可得 f（ x） =22x+ ） +a+1，由题意易得 1+a+1=2，解方程可得 a 值，解不等式 2 2x+ 2可得单调区间； （ 2）由函数图象变换可得 g（ x） =24x ） +3，可得 4x ） = ，解方程可得 x= 或 x= ，相加即可 【解答】 解：（ 1）化简可得 f（ x） =2 a =+ a=22x+ ） +a+1， x 0， ， 2x+ ， ， f（ x）的最小值为 1+a+1=2，解得 a=2， f（ x） =22x+ ） +3， 由 2 2x+ 2可得 x ， f（ x）的单调递增区间为 ， ，（ k Z）； （ 2）由函数图象变换可得 g（ x） =24x ） +3， 由 g（ x） =4 可得 4x ） = ， 4x =2或 4x =2， 解得 x= + 或 x= + ，（ k Z）， x 0， ， x= 或 x= ， 所有根之和为 + = 【点评】 本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题 18（ 12 分）（ 2017营口一模）某校举行 “庆元旦 ”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三的概率为 P，每场胜负独立，胜者记 1 分，负者记 0 分，规定：积分相同者高 年级获胜 （ ）若高三获得冠军概率为 ，求 P （ ）记高三的得分为 X，求 X 的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由题意得到高三获得冠军的所有情况，然后利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出概率，由概率为 求得 p 值； （ ）写出高三的得分为 X 的所有取值，求出相应的概率，则分布列及期望可求 【解答】 解：（ ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场 高三胜两场的概率为 ， 三个队各胜一场的概率为 ， 解得： ； （ ）高三的得 分 X 的所有可能取值有 0、 1、 2， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = X 的分布列为： X 0 1 2 P 故 X 的期望 E（ X） = 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查了相互独立事件及其概率计算公式，是中档题 19（ 12 分）（ 2017营口一模）如图所示，三棱柱 ，已知 侧面 C=1， ， 0 （ ）求证： 平面 （ ） E 是棱 在直线上的一点，若二 面角 A B 的正弦值为 ，求长 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）证明 ，由余弦定理求解 后证明用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 （ ）通过 两垂直以 B 为原点， 在直线为x， y， z 轴建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面 一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出 的方程，求解即可 【解答】 解：（ ）证明：因为 平面 平面 以 （ 1 分） 在 ， ， ， 0， 由余弦定理得： 2C12+22 2 1 23， 所以 ， （ 3 分） 故 以 又 ， 平面 （ ）由（ ）可知， 两垂直以 B 为原点， 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 则，则 B（ 0， 0， 0）， A（ 0， 1， 0）， C（ 1， 0， 0）， 0， 0， ）， 1， 0， ）（ 7 分） ， ，令 ， ， ， 设平面 一个法向量为 ，令 z= ，则 x= ， y= ， ， 平面 是平面的一个法向量， | |= ，两边平方并化简得 22 5+3=0，所以 =1或 （舍去） 【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力 20（ 12 分）（ 2017营 口一模）已知抛物线 C： y=2线 l： y= 交 C 于A， B 两点， M 是线段 中点，过 M 作 x 轴的垂线 C 于点 N （ 1）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 行； （ 2）是否存在实数 k 使以 直径的圆 M 经过点 N，若存在，求 k 的值，若不存在，说明理由 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）设 A（ B（ 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得 M， N 的坐标，再由 y=2导数，可得在点N 处的切线斜率，由两直线平行的条件即可 得证； （ 2）假设存在实数 k，使 直径的圆 M 经过点 N由于 M 是 中点，则 | |运用弦长公式计算化简整理，即可求得 k= 2，故存在实数 k，使 直径的圆 M 经过点 N 【解答】 （ 1）证明：设 A（ B（ 把 y= 代入 y=2 22=0， 得 x1+ xN= ， N 点的坐标为（ ， ） y=4x， y| =k， 即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k 直线 l： y= 的斜率为 k， l （ 2）解：假设存在实数 k，使 直径的圆 M 经过点 N 由于 M 是 中点， | | 由（ ）知 （ y1+= （ +） = k（ x1+4= （ 4+ ） =2+ ， 由 x 轴，则 |2+ = ， | = = 由 = k= 2， 则存在实 数 k= 2，使 直径的圆 M 经过点 N 【点评】 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017营口一模）已知函数 f（ x） =+ （ ）若 f（ x）在区间 2， 3上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ ）设 f（ x）的导函数 f（ x）的图象为曲线 C，曲线 C 上的不同两点 A（ x1， B（ 在直线的斜率为 k，求证：当 a 4 时， |k| 1 【考点】 利用导数研究函数的单调 性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）由函数单调性，知其导函数 0 在 2， 3上恒成立，将问题转化为 在 2， 3上单调递减即可求得结果； （ 2）根据题意，将 写成 ，利用不等式的性质证明 ，所以 ，即得 【解答】 解：（ 1）由 ，得 因为 f（ x）在区间 2， 3上单调递增， 所以 0 在 2， 3上恒成立， 即 在 2， 3上恒成立， 设 ，则 ， 所以 g（ x）在 2，