广西南宁市2017届高三第一次适应性测试理数试题含答案

2017届普通高中毕业班第一次适应测试 数学试卷（理科） 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . | 5 0 A x x x ， | 3 4 B x x ，则 等于（ ） A ( 5,0) B ( 3,0) C (0,4) D ( 5,4) z 满足 2 ()21z i i，则 z 的虚部为 z 的实部为（ ） A B 1 C 3 D 5 3. 某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测 位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8组，分别为 80,82) 、 82,84) ， 84,86) 、86,88) 、 88,90) 、 90,92) 、 92,94) 、 94,96 ，则样本的中位数在（ ） A第 3组 B第 4组 C第 5组 D第 6组 4. 已知数列 12 ，且 2 2a ，则 4a 等于（ ） A 12B 23 C 12 D 11 的终边过点 2( 2 s , )8 a ，若 13s i n 2 3 s i n c o 1 2 ，则实数 a 等于（ ） A 6 B 62C. 6 D 626. 执行如图的程序框图 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C. 18 D 21 7. 已知非零向量 a 、 b 满足 | | | 2 |a b a b ，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 14，则 | ） A 12B 23C. 32D 2 8. 如果实数 x ， y 满足约束条件 2 4 0 ,1 0 ,1, ，则 32 yz x 的最大值为（ ） A 7 B 8 D 11 该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C. 18 D 21 ) , 1 1 ,2()41 , 1 ,x ，设 1 ，且 ( ) ( )f m f n ，则( 2 )m f m 的最小值为（ ） A 4 B 2 C. 2 D 22 C 221( 0, 0)的左焦点为 ( ,0)， M 、 N 在双曲线 C 上，O 是坐标原点，若四边形 平行四边形，且四边形 面积为 2则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 2 C. 22 D 23 ( ) 6 3f x x x ， 32( ) 2 3 1 2 9g x x x x ， 2m ，若1 , 2 ) ，2 (0, +x ），使得12( ) ( )f x g x成立，则 m 的最小值为（ ） A B C. 25 D 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 52( 3 ) ( )的展开式中的常数项为 : 2 ( 0 )C y p x p的焦点为 F ，点0( , 2 2 ) 上一点，圆 M与 y 轴相切且与线段 交于点 A |2则 p 15. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金蕃，长五尺 四斤 二斤 意思是：“现有一根金杖，长 5尺，一头粗，一头细 尺，重 4斤；在细的一端截下 1尺，重 2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为 M 0段 i 段的重量为 1, 2, ,1 0 )i ，且1 2 1 0a a a ，若 48 5则i = 1 1A B C D A B C D中，底面 边长为 32的正方形，1 3 E 是线段11若二面角 A 的正切值为 3，则三棱锥11A 外接球的表面积为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 2c o s c o s 3a c B b c A b. （ 1）求 （ 2）若角 C 为锐角， 11c ， 22，求 的面积 . 18. 某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班 一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到 如下 22 列联表： （ 1）能否在犯错误的概率不超过 （ 2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取 2个，取到优良成绩的个数为 X ；从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取 2个，取到优良成绩的个数为 Y ，求 X 与 解释所得结论的实际意义 . 下面的临界值表供参考： （参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d ） 19. 如图，在四棱锥 A 中， 底面 E ，60D B C B C E ， 2E . （ 1）若 F 是 中点，求证： /面 （ 2）若 E ，求 平面 成角的正弦值 . 20. 已知1( ,0)2( ,0)G 221(0 3) 的左、右焦点，点(2, 2)P 是椭圆 G 上一点，且 12| | | |P F P F a. （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A ， B 两点，若 B ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 . ) x x a x ， (). （ 1）讨论函数 () （ 2）设 1() ，若不等式 ( ) ( )f x g x 对任意 1, 恒成立，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 4 ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为35,212 （ t 为参数） . （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P 、 Q 两点，以 一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积 . 等式选讲 设实数 x ， y 满足 14. （ 1）若 | 7 | 2 3 ，求 x 的取值范围； （ 2）若 0x ， 0y ，求证 xy . 2017届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学试卷参考答案（理科） 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 三、解答题 17. 1）由余弦定理得： 2c o s c o s 3a c B b c A b 2 2 2 2 2 2 2322a c b b c a b . 即 224， 2 ， 由正弦定理得： . （ 2） 22s ， C 为锐角， 1， 11c ， 22 2 c o s 1 1a b a b C ， 2， 2245 1 13 ， 则 211 113 b ，即 2 3b ， 的面积 21 s i n s i n 2 22S a b C b C . 18. 解：（ 1）根据 22 列联表可求得 2K 的观测值 28 0 ( 2 5 3 0 1 5 1 0 ) 8 0 7 . 8 7 94 0 4 0 3 5 4 5 7k ， 能在犯错误的概率不超过 （ 2） X 的取值为 0,1,2， 则 2252405( 0 )13 ， 112 5 1 524025( 1 )52 ， 2152407( 2 )52 ， 5 2 5 7 3 9 3( ) 0 1 21 3 5 2 5 2 5 2 4 . Y 的取值为 0,1,2，则 2102403( 0 )52 ， 111 0 2 02405( 1 )13 ， 22024029( 2 )52 ， 35( ) 0 15 2 1 3 2 9 7 8 32 5 2 5 2 2 . ( ) ( )E X E Y ，设立自习室对提高学生数学成绩有一定的效果 . 19. 解：（ 1）取 中点为 G ，连接 F 是 中点， 是 的中位线，即 /B ， 2E ， E， D B C B C E ， E 、 G 到直线 距离相等，则 /B ， G G ， 平面 /面 则 /面 （ 2） E ，则 (0, 0, 3)A ， ( 0 , 3 , 3 )， 13( , , 0 )22， ( 2 , 3 , 0 ) . 设平面 一个法向量为 ( , , )n x y z ，则 00n C 即 3 3 013022. 令 1y ，则 3x ， 1z ， ( 3 ,1,1)n ， | c o s , | | | |n E B 3 3 3 1 0 53557， 平面 成角的正弦值为 3 10535. 1）12| | | |P F P F a，12| | | | 2P F P F a， 123| | 3 | |2P F a P F ， 则 22( 2 ) 2 3 ( 2 ) 2 ，化简得 2 5 6 0 ， 又 3， 2c， 则1 3| | 3 2 2P F a，得 22a ，则 2 2 2 4b a c ， 椭圆 G 的方程为 22184. （ 2）由题意知，直线 l 不过原点，设11( , )A x y，22( , )B x y， （ i）当直线 轴时，直线 l 的方程为 ( 0)x m m且 2 2 2 2m ， 则1 21 4 2， 2， 22 4 2 ， B ， 1 2 1 2 0x x y y ， 22 ( 4 ) 02 ， 解得 263m ，故直线 l 的方程为 263x ， 原点 O 到直线 l 的距离为 263d . （ 直线 l 不垂直于 x 轴时， 设直线 l 的方程为 y kx n，联立直线和椭圆方程消去 y 得2 2 2( 1 2 ) 4 2 8 0k x k n x n ， 12 2412k ， 212 22812k ， 1 2 1 2( ) ( )y y k x n k x n 221 2 1 2()k x x n k x x n 222812 . B ， 1 2 1 2 0x x y y ，故 2 2 2222 8 8 01 2 1 2n n ， 即 223 8 8 0 ， 223 8 8， 原点 O 到直线 l 的距离为2|1， 则222|()12231 3 (1 )，将式代入 式得： 2228 8 83 (1 ) 3， 263d . 综上，点 O 到直线 l 的距离为定值 263. 1） ( ) 1 ( 0 )a x af x ， 当 0a 时， ( ) 0在 (0, ) 上恒成立， 函数 ()0, ) 单调递增， ()0, ) 上没有极值点 . 当 0a 时， ( ) 0得 0 ， ( ) 0得 ， ()0, )a 上递减，在 ( , )a 上递增，即 ()处有极小值，无极大值 . 当 0a 时， ()0, ) 上没有极值点， 当 0a 时， ()0, ) 上有一个极值点 . （ 2）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x 1 l n ( 0 )ax a x ， 21( ) 1 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x a x a x x ， 不等式 ( ) ( )f x g x 对任意 1, 恒成立，即函数 1( ) l x x a 在 1, e 上的最小值大于零 . 当 1 ，即 1时， ()1, e 上单调递减， 所以 () 由 1( ) 0ah e e 可得 2 11ea e ， 因为 2 1 11e ，所以 2 111 . 当 11a，即 0a 时， ()1, e 上单调递增， 所以 ()1)h ，由 (1 ) 1 1 0 可得 2a ，即 20a . 当 11 ，即 01 时，可得 ()1 )， 因为 0 1 ) 1a ，所以 0 1 )a a a ， 故 ( 1 ) 2 l n ( 1 ) 2h a a a a . 即 01 ， 综上 可得， a 的取值范围是 2 1( 2, )21e . 1）对于 C ，由 4 ，得 2 4 co s ，进而 224x y x. 对于 l ，由35,212 （ t 为参数），得 1 ( 5 )3， 即 l 的普通方程为 3 5 0 . （ 2）由（ 1）可知 C 为圆，且圆心为 (2,0) ，半径为 2， 则弦心距 | 2 3 0 5 |