吉林省2017届高三第五次摸底考试数学试题（文）含答案

吉林省 2017 届高三第五次摸底考试数学（文）试题 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人：刘举 张桂敏 审题人：数学组 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只 有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 1） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x N ， ，则 （ A） ( 1 3) ， （ B） 1 2， （ C） 0 3)， （ D） 0 1 2， ， （ 2） 复数2i （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 （ A） 1( 2 )2 ，（ B） 1( 2)2 ，（ C） ( 2) ， （ D） 1( + )2 ，（ 3） 在 梯形 ， 3C ， 则 于 （ A） 1233D（ B） 2433D（ C） 23 D（ D） 23 D（ 4） 等差数列 前 n 项和为 且 5261， ， 则公差 d 等于 （ A） 15（ B） 35（ C） 65（ D） 2 （ 5） 函数 ()定义域为开区间 ()，导函数 ()内的图象如图所示，则函数 ()开区间 ()内有极小值点 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 （ 6） “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 勾股圆方图 ” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ A） 312（ B） 32（ C） 434（ D） 34（ 7） 考拉兹猜想又名 31n 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 终都能得到 行相应程序，输出的结果 i （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 （ 8） 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积 为 第 （ 7）题 第 （ 8）题 是 否 2 结束 开始 10 1， 1?a 31 a 是奇数 ？ 是 输出 i 否 )y f x10 8 27 正视图 侧视图 俯视图 （ A） 32 （ B） 32 7 （ C） 16 7 （ D） 64 7 （ 9） 已知 满足约束条件 20626 ，则目标函数 442yz x 的最大值为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 2 （ D） 1 （ 10） 以下四个命题中是假命题的是 （ A） “昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 ”此推理属于演绎推理 . （ B） “在平面中， 对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 ， 则 ，将此结论放到空间中也成立 ” 此推理属于 合情 推理 . （ C） “a 0 ”是 “函数 ( ) x ax x 存在极值 ”的必要不充分条件 . （ D）若 (0 2x ， 则 2x的最 小 值为 22. （ 11） 如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路正东 2， B 地在 A 东偏北 30 方向 2 3流沿岸曲线 任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲线 一处 两地运货物，经测算，从 M 到 A 、 M 到 B 修建费用都为 a 万元/那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （ A） (2 3)a （ B） 2( 3 1)a （ C） 5a （ D） 6a （ 12） 设函数 ()定义域为 D ，如果 x D y D ， ，使得 ( ) ( )f x f y 成立，则称函数 ()“ 函数” . 给出下列四个函数： ； 2 ； 11y x ； , 则其中“ 函数”共有 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生l A P Q B M 都必须作答，第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（ 本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 13） 函数 x x的单调递增区间为 （ 14） 已知数列 等比数列，且 35，则 4 2 4 6( 2 )a a a a （ 15） 已 知命题 :P 对任意的 21 2 0x x a， ， ，命题 :Q 存在 2 2 2 0x x a x a R ， ，若命题“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围 是 （ 16） 在 中 ， 4 0C， ( ) 0A B C A C B ， H 在 上 ， 则过点 、 H 为两焦点的双曲线的离心率 为 三、解答题 （本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17） （本小题满分 12 分） 在 中， ， 分别是角 A B C， ， 的对边，且 co s 2a c . （ ） 求角 B 的大小； （ ） 若 1 3 4b a c ， ，求 的面积 . （ 18） （本小题满分 12 分） 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示： （） 请填写 下 表： 平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数 甲 乙 （） 从下列 三 个不同的角度对这次测试结果进行分析： 从平均数和方差相结合看 (分析谁的成绩更稳定 ) ； 从平均数和 命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看 (分析谁的成绩好些 )； 从折线图上两人射击命中环数的走势看 (分析谁更有潜力 ) （ 19） （本小题满分 12 分） 边长为 4 的菱形 ，满足 60 ，点 分别是边 中点， D 于点 H ， 点 O ，沿 翻折到 的位置 ,使平面 平面 连接 B ， 得到如图所示的五棱锥 P . （ ） 求证： A ； （ ） 求点 D 到平面 距离 . （ 20） （本小题满分 12 分） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （）求 a 的值； （）若对于任意的 1 ( )x e f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围 . F A B C D E H （ 21） （本小题满分 12 分） 已知 12是椭圆 22+ 1 ( 0 )xy 的左、右焦点， O 为坐标原点，点 2( 1 )2P ，在椭圆上，线段 2 y 轴的交点 M 满足2P M F M0 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ）圆 O 是以 12直径的圆，一直线 :l y kx m与 圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，当 B ，且满足 2334 时，求 的面积 S 的取值范围 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的第一题计分 （ 22） （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，抛物线 C 的方程为 2 44 （ ） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ ） 直线 l 的参数方程是 （ t 为参数）， l 与 C 交于 两点， | | 8，求 l 的斜率 （ 23） （ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 1 | | 2 3 |f x x x x R，. （ ） 解不等式 ( ) 5； （ ）若 1()()gx f x m 的定义域为 R ，求实数 m 的取值范围 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人：刘举 张桂敏 审题人：数学组 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号 顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后 必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只 有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 24） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x N ， ，则 （ A） ( 1 3) ， （ B） 1 2， （ C） 0 3)， （ D） 0 1 2， ， 【答案】 （ D） （ 25） 复数2i （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 （ A） 1( 2 )2 ，（ B） 1( 2)2 ，（ C） ( 2) ， （ D） 1( + )2 ，【答案】 （ A） （ 26） 在 梯形 ， 3C ， 则 于 （ A） 1233D（ B） 2433D2016 2017 学年 下 学期高 三 年级 第五次摸底考试 数学（文） 学 科 答案 “ 鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天 ” （ C） 23 D（ D） 23 D【答案】 （ D） （ 27） 等差数列 前 n 项和为 且 5261， ，则公差 d 等于 （ A） 15（ B） 35（ C） 65（ D） 2 【答案】 （ A） （ 28） 函数 ()定义域为开区间 ()，导函数 ()内的图象如图所示，则函数 ()开区间 ()内有极小值点 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 【答案】 （ A） （ 29） “勾股定理”在西方被称为 “毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 勾股圆方图 ” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ A） 312（ B） 32（ C） 434（ D） 34【答案】 （ A） )y f x （ 30） 考拉兹猜想又名 31n 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 终都能得到 行相应程序，输出的结果 i （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 【答案】 （ D） （ 31） 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积 为 （ A） 32 （ B） 32 7 （ C） 16 7 （ D） 64 7 【答案】 （ C） （ 32） 已知 满足约束条件 20626 ，则目标函数 442yz x 的最大值为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 2 （ D） 1 【答案】 （ B） （ 33） 以下四 个命题中是假命题的是 （ A） “昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 ”此推理属于演绎推理 . 第 （ 7）题 第 （ 8）题 是 否 2 结束 开始 10 1， 1?a 31 a 是奇数 ？ 是 输出 i 否 10 8 27 正视图 侧视图 俯视图 （ B） “在平面中，对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 ， 则 ，将此结论放到空间中也成立 ” 此推理属于 合情 推理 . （ C） “a 0 ”是 “函数 ( ) x ax x 存在极值 ”的必要不充分条件 . （ D）若 (0 2x ， 则 2x的最 小 值为 22. 【答案】（ B） （ 34） 如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路正东 2， B 地在 A 东偏北 30 方向 2 3流沿岸曲线 任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲 线 一处 两地运货物，经测算，从 M 到 A 、 M 到 B 修建费用都为 a 万元/那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （ A） (2 3)a （ B） 2( 3 1)a （ C） 5a （ D） 6a 【答案】 （ C） （ 35） 设函数 ()定义域为 D ，如果 x D y D ， ，使得 ( ) ( )f x f y 成立，则称函数 ()“ 函数” . 给出下列四个函数： ； 2 ； 11y x ； , 则其中“ 函数”共有 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 【答案】 （ C） 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（ 本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 36） 函 数 x x的单调递增区间为 【答案】 3 2 2 ( )44k k k Z，l A P Q B M （ 37） 已知数列 等比数列，且 35，则 4 2 4 6( 2 )a a a a 【答案】 2 （ 38） 已 知命题 :P 对任意的 21 2 0x x a， ， ，命题 :Q 存在 2 2 2 0x x a x a R ， ，若命题“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围 是 【答案】 “ 2a 或 1a ” （ 39） 在 中 ， 4 0C， ( ) 0A B C A C B ， H 在 上 ， 则过点 、 H 为两焦点的双曲线的离心率 为 【答案】 512三、解答题 （本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 40） （本小题满分 12 分） 在 中， ， 分别是角 A B C， ， 的对边，且 co s 2a c . （ ） 求角 B 的大小； （ ） 若 1 3 4b a c ， ，求 的面积 . 【解析】 （ ） 由 co s 2a c c o s s i nc o s 2 s i n s i C 2 s i n c o s c o s s i n s i n c o B C B C 2 s i n c o s c o s s i n s i n c o B C B C 2 s i n c o s s i n ( )A B B C 2 s i n c o s s i A 1 又 0 B ， 所以 23B . 6 分 （ ） 由余弦定理有 2 2 2 2 22 c o s ( ) 2 2 c o a c a c B a c a c a c ，解得 3， 所以 1 3 3s i a c B 12 分 （ 41） （本小题满分 12 分） 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示： （） 请填写 下 表： 平均 数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数 甲 乙 （） 从下列 三 个不同的角度对这次测试结果进行分析： 从平均数和方差相结合看 (分析谁的成绩更稳定 ) ； 从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相 结合看 (分析谁的成绩好些 )； 从折线图上两人射击命中环数的走势看 (分析谁更有潜力 ) 【解析】 （ ） 由折线图，知 甲射击 10 次中靶环数分别为： 9， 5， 7， 8， 7， 6， 8， 6， 7， 7. 将它们由小到大重排为： 5， 6， 6， 7， 7， 7， 7， 8， 8， 9. 乙射击 10 次中靶环数分别为： 2， 4， 6， 8， 7， 7， 8， 9， 9， 10. 也将它们由小到大重排为： 2， 4， 6， 7， 7， 8， 8， 9， 9， 10. （） 7 0( 5 6 2 7 4 8 2 9 ) 71 0 1 0 （ 环 ） ， 7 0( 2 4 6 7 2 8 2 9 2 1 0 ) 71 0 1 0 （ 环 ） 2分 2 2 2 2 21 ( ( 5 7 ) ( 6 7 ) 2 ( 7 7 ) 4 ( 8 7 ) 2 ( 9 7 ) )10 1 ( 4 2 0 2 4 ) 1 . 210 2 2 2 2 2 2 21 ( ( 2 7 ) ( 4 7 ) ( 6 7 ) ( 7 7 ) 2 ( 8 7 ) 2 ( 9 7 ) 2 ( 1 0 7 ) )10 1 ( 2 5 9 1 0 2 8 9 ) 5 . 410 6 分 根据以上的分析与计算填表如下： 平均数 方差 命中 9 环及 9 环以上的次数 甲 7 乙 7 8分 （） 平均数相同， 2 2 甲成绩比乙稳定 9分 平均数相同，命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少， 乙成绩比甲好些 10分 甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力 12 分 （ 42） （本小题满分 12 分） 边长为 4 的菱形 ，满足 60 ，点 分别是边 中点， D 于点 H ， 点 O ，沿 翻折到 的位置 ,使平面 平面 连接 B ， 得到如图所示的五棱锥 P . （ ） 求证： A ； （ ） 求点 D 到平面 距离 . 【解析】 （ ） 证明：因为 平面 平面 平面 面 面 O， 平面 所以 平面 2分 则 D ,又 A O B D A O P O O， ， 平面 平面 所以 平面 4 分 所以 A . 6 分 （ ） 解：由题知： 为边长 为 4 的等边三角形 ，所以 3， 23 1 2 7 1 0 2O F B F O B P B P F ， ， ， ， 8 分 所以 中， 4 4 1 0 1 1 5c o s s i 2 4 4P F B P F B ，F O P A B C D E H 所以 1 1 5 1 5222 4 2 10 分 因为 D P B F P D B 设点 D 到平面 距离 d ，则 1 1 5 1 1 4 3 33 2 3 2d ， 所以 4 15=5d 12分 （ 43） （本小题满分 12 分） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （）求 a 的值； （）若对于任意的 1 ( )x e f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围 . 【解析】 （）24( 4 l n ) ( 3 1 ) 3 ( 4 ) l n() ( 3 1 )xa x x x a ， (1) 1f ，解得 0a 6 分 （）对于任意的 1 ( )x e f x m x ， ， ，即 4 恒成立， 即 4恒成立 8 分 设 4 31x ， 241 2 (1 l n )( ) ( 3 1 )x x ， 10 分 因为 1 ， ， 所以 ( ) 0， ()1 e， 单调递增 ， 所以 () 4()31ge e ，所以 431m e 12 分 （ 44） （本小题满分 12 分） 已知 12是椭圆 22+ 1 ( 0 )xy 的左、 右焦点， O 为坐标原点，点 2( 1 )2P ，在椭圆上，线段 2 y 轴的交点 M 满足2P M F M0 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ）圆 O 是以 12直径的圆，一直线 :l y kx m与 圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，当 B ，且满足 2334 时，求 的面积 S 的取值范围 【解析】 （ ） 因为2P M F M0，所以 M 是线段 2中点，所以 12的中位线，又 12 F ， 所以 1 1 2 F ,所以 1c 又因为 222 2 21112b c ， 解得 2 2 22 1 1a b c ， ， ，所以椭圆的标准方程为 2 2 12x y. 4 分 （）因为直线 :l y kx m与 圆 O 相切，所以2|11，即 221 5分 联立 2 2 12x yy kx m 得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m . 设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 因为直线 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ， 所以 21 2 1 2224 2 20 1 2 1 2k m mx x x ， ， 6 分 221 2 1 2 22( ) ( ) 12y k x m k x m k ， 21 2 1 2 2112 O B x