韦达定理的风采

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 韦达定理的风采 中学学习的韦达定理，在今后的 数学学习中一直都起着很重要的作用， 它在中学阶段的学习和考题中都是重点 内容，因此，对此定理要给以重视，要 学好用好。下面看看韦达定理与其它知 识的合作风采。 中国论文网 /1/view-13054643.htm 一、韦达定理与中点坐标公式联 袂合作 例 1.（2008 陕西卷）抛物线 ，直线 交 C 于 A、B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 做 x 轴的垂线交 C 于 点 N。 （）证明：抛物线 C 在 N 处 的切线与 AB 平行； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 （）是否存在实数 k 使 ，若 存在，求 k 的值；若不存在，请说明理 由。 解析（）设 A（ x1，2x12） ， B（x2 ，2x22） ， 因为 ， ，把 代入 得 ，即抛 物线 C 在 N 处的切线的斜率为 k，亦即 抛物线 C 在 N 处的切线与 AB 平行。 （第（）问在例 3 中解答） u 析在解题过程中，若涉及 到直线与圆锥曲线，线段的中点时，一 般就用韦达定理和线段的中点坐标公式 来求解。 例 2.（2005 湖北卷）设 A、B 是椭圆 上的两点，点 N（1，3）是线 段 AB 的中点，AB 的垂直平分线与椭 圆交于 C、D。 （）确定 的取值范围，并求 直线 AB 的方程；（）题目略。 解析设直线 AB 的方程为 ， A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， 得 ，故 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 由中点公式得 代入 ，得 12。 所以， 的取值范围是 12，直 线 AB 的方程为 。 评析 一般地，解含常数的一元 二次方程时，常设出方程的两根，通过 整体代换得到需要的答案，而其两根不 需要求出，即设而不求。 二、韦达定理与弦长公式亲密联 合 例 3 .（2008 陕西卷）抛物线 ，直线 交 C 于 A、B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 做 x 轴的垂线交 C 于 点 N。 （）证明抛物线 C 在 N 处的 切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k，使 ，若 存在，求 k 的值；若不存在，请说明理 由。 （此题为例 1） 解析（）设 A（ x1，2x12） ， B（x2 ，2x22） ，由（）得 ， 评析在与圆锥曲线题目里，遇 到线段时，常用韦达定理和弦长公式联 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 合解决问题。 三、韦达定理与垂直向量的交汇 例 4.（2008 辽宁卷）在平面直 角坐标系 xoy 中，点 P 到两点（ 0， 、 （0， 的距离之和等于 4，设点 P 的 轨迹为 C，直线 与 C 交于 A、B 两点。 （）求 C 的方程； （）若 ，求 k 的值。 解析（）设 P （x，y） ， A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， 评析若两向量垂直，则 ，明显 需要用到韦达定理求解。 四、韦达定理与数列的协调对接 例 5.（2008 全国 I 卷）双曲线 的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条 渐近线分别是 ，经过右焦点 F 垂直于 的直线分别交 于 A、B 点。已知 ， ， 成等差数列，且 与 同向。 （）求双曲线的离心率； （）设 AB 被双曲线截得的线 段长为 4，求双曲线的方程。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 解析（）设双曲线的方程为 ，右焦点 评析该题目里给出了直线与圆 锥曲线相交所成线段的等量关系，需按 题意列出等式，代入韦达定理对应的代 数式，解出参