椭圆积分在理论力学中的应用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 椭圆积分在理论力学中的应用 【摘 要】椭圆积分表_形式优 美而简练，是开展力学、物理理论研究 的重要工具之一。在理论力学、大学物 理等本科课程中也存在很多问题可用椭 圆积分进行精确求解。其中大学物理相 关实例已有大学物理教育工作者对其进 行了总结。而对于理论力学中的相关实 例，其精确解答多出现在分析力学、非 线性动力学等专著中，在理论力学教材 中却鲜有讨论。本文对理论力学教材中 涉及椭圆积分的相关动力学问题进行了 系统总结，并利用椭圆积分给出了相应 的解析解。然后从椭圆积分定义出发， 给出了一类可用椭圆积分表示的动力学 方程。这一总结有助于我们深刻认识这 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 些动力学模型的物理本质，同时也为理 论力学课程开展研究性学习提供有益参 考，并且激发学生进行科学探索的好奇 心。 中国论文网 /8/view-12936478.htm 【关键词】椭圆积分；单摆；复 摆；圆轮滚动；直杆滑落 中图分类号： O411 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）04- 0022-003 Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics ZHANG Cun1 LIU Jian-lin2 Chen Li-ming3 （1.Department of Engineering Mechanics， Shijiazhuang Tiedao University， 050043 Shijiazhuang， China； 2.College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum （East China） ， 266580 Qingdao， China； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 3.College of Aerospace Engineering， Chongqing University， 400030 Chongqing， China） 【Abstract】Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics. In fact， many problems in the undergraduate courses “theoretical mechanics”， can be solved analytically using elliptical integrals. In this paper， these cases have been summarized， whose solutions are expressed with elliptical integrals. Meanwhile， a type of typical dynamics systems are discussed， whose solutions can be described using elliptical integrals. This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems， and could be used as teaching materials for the inquiry-based learning in theoretical mechanics. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 【Key words】Elliptical integral； Simple pendulum； Compound pendulum； Cylinder rolling on a cylindrical surface； Falling rod 0 前言 椭圆积分是一类重要的特殊函数， 其结构简练、优美，因而在力学、物理 等领域中得到了广泛应用，受到很多学 者的青睐1-3。例如材料力学中细长杆 发生弹性大变形的形貌4-6、表界面力 学中固体表面上液滴的轮廓形状4-7、 非线性动力学中弹簧振子的非线性振动 8，以及电磁学9 等各类问题中都成 功应用了椭圆积分。本文作者也利用椭 圆积分开展了一系列关于表界面力学方 面的研究工作，主要包括：刘建林等人 给出了单根碳纳米管在范德华力作用下 截面的坍塌形貌6、张存等人给出了粘 附碳纳米管的半坍塌构型以及坍塌构型 5；刘建林等人给出了悬臂梁发生大变 形粘附时的构型4；刘建林等人给出了 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 固体表面上液滴的轮廓形状的解析解1。 除了上述问题，在动力学中也存 在大量与椭圆积分相关的问题。例如对 于单摆摆动这一经典问题，在当前通用 的理论力学和大学物理等教材中均直接 假定其振动幅度为小摆角，然后采用线 性化的假设就可以得到以三角函数表示 的周期解。而实际工程中，很多单摆将 会发生大幅度振动，目前对于单摆具有 大摆角时的研究则很少见诸报道，故而 通用教材中鲜有涉及。该问题实际上可 以用椭圆积分给出精确解答；另外，在 理论力学中还存在其它可用椭圆积分求 解的算例，涉及到很多动力学问题。由 于椭圆积分形式简单，可以代替冗长的 数值结果或者级数表达式，因此从科学 方法论的角度来讲，在教学中引入它可 以使问题的解答变得简单明了。从课堂 教学效果的角度来看，椭圆积分使得这 些动力学问题的解答变得完备，可以大 大拓宽学生的知识面，有助于培养学生 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 宏观把握问题、全面思考问题、正确解 决问题的能力。 有鉴于此，全面梳理这些从不同 角度提出的问题，然后统一从椭圆积分 形式角度展示其核心脉络，已经势在必 行。故此，本文针对理论力学教材中出 现的一些涉及椭圆积分的动力学问题进 行了分析总结，并给出了利用椭圆积分 表示的精确解答，并揭示其内在统一性。 1 应用举例 1.1 单摆问题 第一个例子 就是单摆问题，它也是大学物理及理论 力学中经常讨论的一个经典问题。但是， 在一般教科书中通常只讨论单摆发生小 摆角振动情况下的解答，而很少讨论其 大幅度振动。如图 1 所示，设单摆的长 度为 l，端部小球质量为 m；初始时刻 小球速度为零，摆角为 0（00 以及 sin=ksin（0） ，则式变为 t=？蘩=F（k， ）-F（k，） （4） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 其中 F（k， ）=？蘩 d 为第一 类不完全椭圆积分。 因此，大摆角单摆的振动周期为 T=4K （k） （5） 其中 K（k）=F（k， ）为第一类 完全椭圆积分，下同。 1.2 复摆问题 图 2 所示复摆（或称物理摆） ， 其质量为 m，质心为点 C，摆对悬挂点 O 的转动惯量为 Jo。设初始时刻该复摆 角速度为零，摆角为 0（00，则解答可 用椭圆积分表示为 t=？蘩 =F（k， ）-F（k，）（13） 1.5 讨论 上面列举的几个典型动力学问题， 其解答均可以用E 圆积分表示。对于 一个一般性的动力学问题，如何才能判 断它是否能够用椭圆积分来表达呢？在 这里，我们尝试从椭圆积分的定义出发 给出一些判据。 对于保守系统，由机械能守恒得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 2+V （u）=E0 （14） 其中 u 为广义坐标，=，=，2 为 广义动能，V（u）=？蘩 f（u）du 为广 义势能，E0 为系统的总机械能。 对上式两边进行时间的求导运算， 则与之对应的微分方程为 +f（u ）=0 或=-f（u） （15） 方程可以通过两边乘以 dt=du 并 积分得到： ？蘩 dt=？蘩 d=？蘩 f（u）dt=- ？蘩 f（ u）du 对式进一步积分，得 t-t0=？蘩（16） 由椭圆积分的定义10，当势能 函数 是 的三次或四次多项式（等价地， 函数 为 的二次或三次多项式）时，该 问题可用椭圆积分表示。显然，无阻尼 无驱动的杜芬方程 便属于该种情况。 该微分方程的精确解答可表示为 t-t0=？蘩（17） 对于如何将此式表达为椭圆积分 超出了本文的讨论范围，感兴趣的读者 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 可参阅文献13 。 在本文所举算例中，令 u=sin， 则有 t-t0=？蘩 =？蘩（18） 可以验证这些算例（1-u2）EO- V（u）均为 u 的三次或四次多项式， 因此可以用椭圆积分表示。 通过上述讨论可知，若动力学系 统为保守系统，且其广义势能可表示为 自变量的三次或四次多项式，或者其广 义势能可表示为自变量正弦或余弦的一 次或二次多项