数学美在大学数学教学中的运用与思考

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 数学美在大学数学教学中的运用与 思考 【摘要】目前高校学生对大学数 学的文化价值的认知不够全面，普遍没 有数学美的概念，本文就这一现状做了 分析并提出了建议.同时从要善于启迪、 不断渗透、培养应用能力、精讲多练四 个方面介绍了在大学数学教学中数学美 的运用. 中国论文网 /9/view-13002892.htm 【关键词】数学美；大学数学； 教学 【基金项目】吉林农业科技学院 教育教学改革项目数学美在非专业 数学教学中的研究与应用（JGZD011）. 大学数学是学生在大学阶段的重 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 要基础课，一般在非数学专业开设的大 学数学有高等数学、线性代数、概率论 与数理统计等，统称为大学数学.它是学 生在大学阶段构建完整知识体系的基石， 对理工科、信息科学类、经济管理类、 农业研究类等学科的学生学习后续的专 业课程和今后的工作起着重要的奠基作 用.因此，在教W 中如何提升教学质 量、培养学生的学习兴趣和提高学生的 学习效果，是值得研究的问题. 按照北京大学数学科学学院张顺 燕教授的观点，数学教学的任务是判美 和析理.判美，就是对数学对象的审美和 对学生进行数学美学教育.这是提高大学 生数学素养和培养创新能力的必要环节. 数学教师在传授数学知识的同时，引导 学生对数学对象审美，是进行数学美育 和提高学生文化素养的重要途径. 一、数学美学知识在教与学中的 现状与思考 经过调查发现，我们的学生在机 械地学习数学知识，一半的学生认为学 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 习数学是有用的，但是数学的学习是无 趣的，还存在少数学生不明确学习数学 对今后的学习、工作、生活有何用处.另 一方面，多数数学教师在教学中全程没 有提及过数学美，没有向学生介绍过数 学美的书籍，更不能从数学审美的角度 分析教学内容蕴含的数学美.就这种现状， 笔者有如下建议： （一）应在日常教学中将数学美 学知识融入其中，增加数学课程的文化 感和人文气息 数学教师不仅仅是向学生传播数 学知识，更重要的是指导学生学习数学 文化.因为从文化的角度去学习数学，可 以了解数学的全貌，包括数学的产生、 发展和应用过程，以及数学中的定义、 公式、定理数学语言等的审美过程，从 而使学生更好地领悟数学的思想方法和 鉴赏数学的美.只有这样，才能实现数学 教学提高数学素养和培养创新能力的目 的. （二）对不同专业、不同层次的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 学生传授数学美知识时要有所侧重 美无处不在，缺少的是发现美的 眼睛.数学的美是理性的，感受到的数学 的美也是因人而异的.凡是体验过数学美 感的人一般都会对数学美有进一步的认 识，对这种美感有着长时间深刻的记忆. 数学图形的直观、公式的简洁、 数学符号的简练等是一目了然的美观， 对于数学基础差的学生可以引导其欣赏 这种较低层次的数学美；高度概括的数 学语言是较难理解的，但它是很理性的 美，是较高层次的美.例如，用“-N”语 言来定义极限概念，在数学素养高的人 眼里它是很美的，因为它简练、精准地 概括了极限的内涵，而对于初学者来说， 就是晦涩难懂的，毫无美感可言.所以， 感受数学美要以相应的数学水平和数学 素养为基础.在教学中教师要善于根据学 生的特点选择学生熟悉的数学知识讲授 数学美，或者对于不熟悉的知识先让学 生熟练后再引导其去审视数学美，这样 学生会对相应的数学知识进行比较全面 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 的理解，更会对审美数学有比较深刻的 感受. （三）数学教师要注重提升自身 数学美学修养 任大学数学课程的教师在日常工 作中不仅应当挖掘数学知识中的对称美、 统一美、奇异美、简洁美，还要多方面 积累有关数学美感的体验，只有美感经 验丰富的人才能清楚地了解和把握知识， 才能更加恰当地选准时机引导和带动学 生体验数学美. 二、在大学数学教学中数学美的 运用 （一）要善于启迪，让学生感受 数学知识的和谐美与辩证美 数学在其他学科中的应用展现了 他们的和谐性，但是数学本身就具有和 谐美，体现在数学知识的系统性、严谨 性、完整性，这也是数学的普遍形式. 比如，极限的描述性定义是这样 表述的：当 n 无限增大时，|an-A|无限 趋近于 0.这里同时出现了无穷大和无穷 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 小，将这样一对相互矛盾的对象统一起 来，何等的和谐. 在讨论无穷小的性质时，笔者常 给学生举下面的例子让学生体会数学的 辩证. （1） limn1n2+2n2+kn2（k 是与 n 无 关的常数） ； （2） limn1n2+2n2+nn2. 学生看到题目后的第一反应认为 极限都是 0，当教师对 k 是与 n 无关的 常数做强调和解释之后，就有一部分学 生能判断出两题的区别了.此时教师引导 学生将两题的求解过程具体写出来，大 部分学生就能理解“ 有限个无穷小的和 是无穷小，而无限个无穷小的和未必是 无穷小”了.教师一句 “量的积累引起质的 变化，辩证法在此得到具体体现”，使 学生茅塞顿开. （二）要不断渗透，让学生惊叹 数学的对称美与奇特美 对称性是艺术领域里一个非常重 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 要的要素，同时它也是数学美的重要特 性.数学中的数与形的对称现象是极为常 见的，对称的图形或式子从直观上看具 有十足的美感，此外，还有抽象的观念 和方法的对称，这需要数学教师的渗透、 启迪.一旦在解题时恰当地利用了某种对 称性，就会惊叹数学的奇特. 例如，高等数学中研究多元函数 的极限或积分，通常的代数的方法不是 很容易求出结果，而用极坐标做代换会 使得问题简化，其过程是相当奇异与新 颖的.再如，在求解积分时如果能恰当、 准确地使用下述结论，将会使得问题事 半功倍. （1）a-af（x）dx=0，f（x）是 奇函数时；2a0f（x）dx，f（x）是偶 函数时. （2）D 关于 x 轴对称，则 Df（x，y）d= 0，f（x，y）关于变量 y 是奇函 数时； 2D 1f（x，y）d ，f （x，y）关 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 于变量 y 是偶函数时. 其中 D1 为 D 的位于 x 轴上方的 部分. （3）D 关于 y 轴对称，则 Df（x，y）d= 0，f（x，y）关于变量 x 是奇函 数时； 2D 2f（x，y）d ，f （x，y）关 于变量 x 是偶函数时. 其中 D2 为 D 的位于 y 轴右侧的 部分. （4）D 关于原点对称，则 Df（x，y）d= 0，f（x，y）是奇函数时；2D 1f（x， y）d=2D 2f（x，y） d，f（x，y）是偶函数时. 其中 D1 与 D2 是 D 的关于原点 对称的两个全等的部分. （5）D 关于直线 y=x 对称，则 Df（x，y）d=Df（y，x） d=12Df（x，y）+f （y， x）d. （三）培养应用能力，让学生享 受到解决数学问题后的征服美与创造美 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 在大学数学教学中，不能把数学 专业的思维模式以及对数学专业学生的 要求贯穿于其中，没有必要过分强调理 论知识的掌握和对数学理论的深入研究， 而是要让学生在掌握了基本概念和基本 方法的基础上，注重应用能力的培养， 即培养学生运用已有的知识去解决不熟 悉问题的本领，包括应用的范围、方法 以及技巧.实质上，对应用能力培养的同 时，可以使学生加深对基本概念和基本 方法的理解，同时会深切地体会到问题 解决后的征服美与创造美. 关于应用能力的培养，首先，应 重视应用意识的培养.它是人们主动用数 学观念和方法解决实际问题的关键，没 有应用意识就不可能有应用行为.在教学 中可让学生更多地了解数学概念产生的 背景、发展过程，熟悉知识点的实际背 景与其他学科的联系，掌握思想方法的 来龙去脉和各种数学应用方法、规律等， 这样通过大面积、长时间的熏陶，一定 会大大增强学生的应用意识；其次，充 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 分展示数学的方法.在教学中深入挖掘知 识的深刻内涵，通过展示过程中的思想 方求级数 1+13+19+127+与级数 1+3+9+27+的和，让学生体会数学的 创造美，增强学习兴趣. （四）做到精讲多练，使学生学 会运用数学的简洁美、相似美 数学的简洁美体现在数学语言的 高度概括性、数学内容的高度抽象性， 而且还包含解题思维的敏捷性.“一尺之 棰，日取其半，万世不竭”，这句出自 庄子天下篇 ，其用简练的语言概 括了有限与无限的辩证关系，同时蕴含 了数学的极限思想，读着古人智慧的语 句，理解着数学的精髓思想，何等美哉！ 解题时，运用数学的简洁美可以 尽快地将题目中反映出的新信息有效地 进行整合、重组，获得最佳解决方案.当 问题越解越烦琐，那么意味着方法、思 路存在不当的问题，需另寻他法.例如， 利用洛必达法则求极限 limx0tanx- -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 xxsin2x，当运用到第三次时会发现这个 极限表达式已经十分烦琐了，使我们不 愿再做下去，此时自然会想到是方法使 用不当导致的，进而探求新途径简 化分母，可以用等价无穷小替换（x0 时，sinx x） ，再使用洛必达法则就容 易求解了. 当某一类数学问题具有相似的条 件、结论或图形时，其解法也必具有相 似之处.解题时可用相似美为指导，归类 处理，从中寻求解题方法. 例如，在利用换元法求积分时， 选择什么样的三角函数做代换就要依托 sin2t+cos2t=1 与 tan2+1=sec2 这两个 三角恒等式，考查所求积分中的根式与 哪个三角恒等式形式相似，再做恰当换 元.比如，被积函数中有根式 a2-x2，那 么要想开根式，需令 x=asint-2t2； 如，被积函数中有根式 a2