2009年江西高考数学卷

绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分。 第卷 考生注意： 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试 题卷上作答，答案无效。 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件 ,AB互斥，那么 球的表面积公式()()PP 24SR 如果事件 ,，相互独立，那么 其中 表示球的 半径 ()()AB 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 p，那么 34VRn 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率 其中 表示 球的半径 ()(1)knknnPCp 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1若复数 2()(zxi 为纯虚数，则实数 x的值为 A B 0 C 1 D 1或 答案：A 【解析】由 2110xx 故选 A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2函数 2 ln()34yx 的定义域为 A (4,1) B (,1) C (1,) D (1, 答案：C 【解析】由 2101143xxx .故选 C 3已知全集 UAB中有 m 个元素， ()UAB中有 n 个元素若 ABI非空，则ABI 的元素个数为 A mn B n C D m 答案：D 【解析】因为 ()UU，所以 AB共有 n个元素,故选 D 4若函数 ()13tan)cosfxx， 02x ，则 ()fx的最大值为 A1 B 2 C 1 D 3 答案：B 【解析】因为 ()13tan)cosfxx= sinx= 2cos()3x 当 3 x 是，函数取得最大值为 2. 故选 B 5设函数 2()fgx ，曲线 ()ygx在点 1,()处的切线方程为 21yx，则 曲线 y在点 1,()f处切线的斜率为 A 4 B 4 C 2 D 2 答案：A 【解析】由已知 (1)g，而 ()fxgx，所以 (1)214fg故选 A 6过椭圆 2xyab ( 0)的左焦点 1F作 轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点， 若 120FP ，则椭圆的离心率为 A B 3 C 2 D 13 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B 【解析】因为 2(,)bPca ，再由 1260FP 有 2,ba 从而可得 3cea ，故选 B 7 (1) naxby 展开式中不含 x的项的系数绝对值的和为 243，不含 y的项的系数绝对 值的和为 32，则 ,的值可能为 A ,5n B 2,1,6abn C 1,6ab D 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：D 【解析】 5()243n ， 5(1)32na ，则可取 1,25abn，选 D 8数列 na的通项 2cosi)n ，其前 n项和为 nS，则 30为 A 470 B 490 C 495 D 51 答案：A 【解析】由于 22cosin3 以 3 为周期,故22222 23014589()(6)(30)S221 103151()547k kk 故选 A 9如图，正四面体 ABCD的顶点 ， B， C分别在两两垂直的三条射线 Ox， y，Oz 上，则在下列命题中，错误的为 A 是正三棱锥 B直线 平面 C直线 D与 B所成的角是 45 D二面角 OA为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B 【解析】将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 B 10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张 卡片，集齐 3种卡片可获奖，现购买该种食品 5袋，能获奖的概率为 y x z O A B C D A 318 B 381 C 481 D 501 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：D 【解析】 55(2)03P 故选 D 11一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ，封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到 右依次记为 1234,，则下列关系中正确的为 A 143 B 312 C 423 D3 答案：C 【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以 12 、 2、 3，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一 对平行边之间的距离之比，所以 423，则 4231，选 C 12设函数 2()(0)fxabxc 的定义域为 D，若所有点 (,),)sftD构成 一个正方形区域，则 的值为 A 2 B 4 C 8 D不能确定 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B 【解析】 12max|()xf， 224bacb ， |a， 4，选 B 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第卷 注意事项： 第卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量 (3,1)a ， (,)b ， (,7)ck ，若 ()ac b，则 k= 答案： 5 【解析】 6513k 14正三棱柱 1ABC内接于半径为 2的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三 棱柱的体积为 答案： 8 【解析】由条件可得 2 AOB ，所以 2A， O到平面 ABC的距离为 23 ，所 以所求体积等于 8 15若不等式 29()xk 的解集为区间 ,ab,且 2,则 k 答案： 2 【解析】由数形结合，直线 (2)ykx在半圆 29yx 之下必须 3,1ba， 则直线 ()2ykx过点（ 1,） ，则 k 16设直线系 :cos()sin(02)My,对于下列四个命题： A 中所有直线均经过一个定点 B存在定点 P不在 中的任一条直线上 C对于任意整数 (3)n，存在正 n边形,其所有边均在 M中的直线上 D 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 答案： ,B 【解析】因为 cos(2)sin1xy所以点 (0,2)P到 中每条直线的距离221sind 即 M为圆 C: ()1xy的全体切线组成的集合,从而 M中存在两条平行直线,所以 A 错误 又因为 (0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 对任意 3n,存在正 边形使其内切圆为圆 C,故 正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形 A和 EF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C 三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数 ()xef 求函数 f的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若 0k，求不等式 ()1)(0fxkfx 的解集 解： (1) 22fee , 由 ()fx ,得 1. 因为 当 0x时, ()f ； 当 01x时, 0 ； 当 时, ()0fx ； 所以 ()f的单调增区间是: ,)； 单调减区间是: (,)， . 由 21)(xxkfxkfe210xke , 得： (0. 故：当 1k时, 解集是： 1xk ； 当 时，解集是： ； 当 1k时, 解集是： 1xk . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进 行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12 .若某人获得两个“支持” ， 则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支 持” ，则不予资助，令 表示该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 Ew.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1） 的所有取值为 0,51,2,30 ()64P ()P 15()64P 5()16P 2 32 （2） 315153500056464264E . 19 （本小题满分 12 分） ABC中， ,所对的边分别为 ,abc， sintcoABC , sin()cosAC. （1）求 ； （2）若 3ABCS,求 ac. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：(1) 因为 sintaoB ，即 sinisnocoCAB ， 所以 sincicii， 即 snssncCAB， 得 si()i()B. 所以 CA,或 ()ABC(不成立). 即 2, 得 3 ，所以. 23 又因为 1sin()cos2BA ，则 6 BA ，或 56 （舍去） 得 5,41 (2) 62sin328ABCSacac ， 又 sini, 即 2，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 得 2,3.ac 20 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩形， PA平面 ， 4， 2. 以 C的中点 O为球心、 为直径的球面交 于点 M，交 于点 N. （1）求证：平面 AB平面 PD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求直线 C与平面 所成的角的大小； （3）求点 N到平面 的距离. 解： 方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。 又因为 P A平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD， 所以 CD平面，则 CDAM，所以 A M平面 PCD， 所以平面 ABM平面 PCD。 （2）由（1）知， MPD，又 ，则 是 PD的中点可得 ， 23C 则 62ACMS 设 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 DACMADV即 268h， 可求得 63h ， 设所求角为 ，则 6sin3hCD ， 6arcsin3 。 可求得 PC=6。因为 ANNC，由 PNA ，得 PN 8 。所以 :5:9NCP。 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 59 。 又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为5106927h 。 N O D M CB P A 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， (,04)P，(,0)B ， (2,40)C， (,)D， 2M；设平面 CM的一 个法向量 (,)nxyz ，由 ,nA 可得： 0 xyz ，令1z ，则(2,)n 。设所求角为 ，则 6si3CDn ， 所以所求角的大小为 6arcsin3 。 （3）由条件可得， ANC.在 RtPA中， 2PNC,所以 83 ,则103NCP , 59 ，所以所求距离等于点 到平面 AM距离的 59 ，设点 到平面 AM距离为 h则 263APn ，所以所求距离为 5106h927 。 21 （本小题满分 12 分） 已知点 10(,)Pxy为双曲线 218xyb （ b为正常数）上任一 点, 2F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为 A,连接A 并延长交 y轴于 2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 求线段 1P2的中点 的轨迹 E的方程; 设轨迹 E与 x轴交于 BD、 两点,在 上任取一点1,(0)Qy（ ） ,直线 Q， 分别交 y轴于 MN， 两点.求证:以 为直径的圆过两 定点. 解： (1) 由已知得 20 83FbA（ ， ） ， （ ， ） ,则直线 2FA的方程为: 03()yxb , 2F1OyxA2P y x z D M CB P A NO 令 0x得 09y,即 20(,)Py, 设 Pxy（ ， ） ,则 00 52xy ,即 25xy 代入 2018xyb 得: 24185xyb , 即 的轨迹 E的方程为 21xb . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 在 2215xyb 中令 0y得 2xb,则不妨设 -2020BbDb（ ， ） ， （ ， ） , 于是直线 QB的方程为: 1() , 直线 Q的方程为: 1(-)yx , 则 112-200bybyMNxx（ ， ） ， （ ， ） , 则以 为直径的圆的方程为: 2112- 0-ybyxbx（ ） （ ） , 令 0y得: 21byx ,而 1,Qy（ ） 在 225 上,则 22115y , 于是 5,即以 MN为直径的圆过两定点 (,0)b. 22 （本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 na， 12,，且对满足 mnpq的正整数 ,mnpq都 有 .(1)()pqmna （1）当 4,25b 时，求通项 ;na w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意 a，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 n，都有.na 解：（1）由 ()1()1 pqmna 得 121.()()nnaa 将 12 4,5a 代入化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.na 所以 1,3nn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故数列