2010年中考数学一轮复习四边形_3

2010 年中考数学一轮复习 四边形 知识梳理 知识点 1.四边形与特殊四边形的关系 重点：掌握四边形与特殊四边形的关系 难点：理解关系，熟练掌握图形知识 （在箭头上填写适当条件）. D D CB A B C D CB A D C B A CB DA A 知识点 2.平行四边形的性质、判定 重点：掌握平行四边形的性质、判定 难点：运用平行四边形的性质、判定 1.平行四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 2.平行四边形的判定： 来源:21 世纪教育网 边 角 对角 线 的四边形21 世纪 教育网 来源:21 世纪教育网 来源:21 世纪教育网来源:21 世纪教育网 是平行四来源:21 世纪教育网 来源:21 世纪教育网 边形 来源:21 世纪教育网来源:21 世 纪教育网21 世纪教育网 例 1. 如图，在ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于 点 O，AOB 的周长为 15，AB=6，那么 对角线 AC+BD=_ 解题思路：运用平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2(AO+BO)=18 例 2 如图，在ABCD 中， E、F 是对角线 AC 上的两点，请 你再添加一个条件，使四边形 FCD BAE DEBF 是平行四边形，你添加的 条件是 ,说明你的理由。 解题思路：运用平行四边形的判定（对角线互相平分）AE=CF 或 AF=CE 练习 1.下面命题中，正确的是（ ） A. 一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对角互补的四边形是平行四边形 C. 两组边分别相等的四边形是平行四边 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2.平行四边形的一边的长为 10 ,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是( ) A. B. C. D. 3.已知：如图，E、F 是平行四边行 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF。求证： （1）ADF CBE； （2）EBDF。 答案：1.D 2.D 3. 证 明 ： (1) AE=CF AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD=CB， AD BC DAF= BCE 在 ADF 与 CBE 中 = ADF CBE（ SAS） （ 2） ADF CBE DFA= BEC DF EB 知识点 3.特殊四边形的性质、判定 重 点：掌握特殊四边形的性质、判定 难点：运用特殊四边形的性质、判定 1.特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 面积公式 矩形 菱形 正方形 梯形 直角 梯形 等腰 梯形 2.特殊四边形的判定： 是矩形 是菱形 是正方形 是等腰梯形 例 1如图，已知以ABC 的三边为边在 BC 的同侧作 等边ABD、BCE、ACF ，请回答下列问题： （1）四边形 ADEF 是什么四边形？写出理由。 （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？ （3）当ABC 满足什么条件时，以 A、D 、E、F 为顶点的四边形不存在？ 解题思路：解探索性问题，一般借助直观、直觉或经验先猜测结论，再结合条件加以说明，要注意抓住图形的特殊性，要得到 特殊条件，就要构造特殊图形 解：（1）四边形 ADEF 是平行四边形；ABD 、 BCE 为等边三角形， AB = BD = AD，BC = CE = EB，ABD = CBE = 60. DBE = CBA.EBDCBA . DE = AC.又ADC 为等边三角形， CF = AF = AC. DE = AF 同理可得 AD = EF. 四边形 ADEF 是平行四边形 （2）若四边形 ADEF 为菱形，ADAF，所以 ABAC所以当 ABC 满足 ABAC 时，四边形 ADEF 是菱形； （3）由（1）得BACBDE60ADE，当ADE0时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存时，此时， BAC60所以当BAC 60 时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在 例 2如图，在平行四边形 BC中， 为 的中点，连接 并延长交 C的延长线于点 F (1)求证： FAB； (2)当 C与 满足什么数量关系时， FE D CB A 四边形 ABFC是矩形，并说明理由 解题思路：特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定一定要熟练不能混淆，根据题目的条件选择合 适的判定方法。 解：(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形 AB,/ FEE, 为 C的中点 B FA . (2)解:当 C时,四边形 ABFC是矩形.理由如下: CFAB,/ 四边形 B是平行四边形 AF 四边形 是矩形. 例 3 . 如图，在梯形 CD中， AB ， AC，45B ， 2， 4，求 的长 解题思路：解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： “作高” ：使两腰在两个直角三角形中 “平移对角线” ：使两 条对角 线在同一个三角形中 “延腰”：构造具有公共角的两个三角形 “等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一 解析一：如图 1，分别过点 AD， 作 EBC于点 ，DFBC 于点AE 又 ， 四边形 是矩形2FD ABC ， 45， 2BC， 12E A B C D A B C D FE 图 1 2DFAE，C 在 RtDFC 中， 90，222()(1 解析 2：如图 2，过点 作 FAB ，分别交 BC， 于点 EF， 1 分ABC ， 90ED ，1845ABAC 在 RtC 中， 90， ， 42BC，2sin454A 在 tDE 中， 90， 5DAE， 2，1 3CA 在 Rt 中， 90，221DE 练习 1.如图，四边形 ABC中， D ， AC平分 B， 交 于 求证：四边形 E是菱形； 2.如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD5，AB7， BC12，求B 的度数 3.在梯形 ABCD 中，AB CD ， 09A，AB=2 ，BC=3，CD=1，E 是 AD 中点，试判断 EC 与 EB 的位置关系，并写出推 理过程。 A B C D F E 图 2 答案 1. 解 ABCD ，即 E ，又 CEAD ， 四边形 E是平行四边形 平分 B， CAED，又 ACE ， ACD， ， ， 四边形 是菱形 2. 解：过点 A 作 AEDC 交 BC 于 E，ADBC ，四边形 AECD 为平行四边形 ADEC，AECDABCD7，AD5，BC12， BEBCCE1257，AECDAB7 ABE 为等边三角形故B60 3. 解： EC 略证：过点 C 作 FA于 F，则四边形 AFCD 是矩形，在 RtBCFA中，可算得 2 则 AD= 2，故 DE=AE= 12D 在 RtBEA和 t中，22220639CDEB 最新考题 本讲内容是中考重点之一，如特 殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识 解决实际问题中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、 学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注 考查目标一、图形的性质与判定 例 1（09 年 南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的 A.三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 解题思路：运用梯形的中位线性质，熟悉平行四边形的特性. 例 2（09 年 南京）如图，在ABCD 中，E 、F 为 BC 上的两点，且 BE=CF，AF=DE. 求证：（1）ABFDCE; (2)四边形 ABCD 是矩形. 解题思路：运用全等、矩形的判定 解：（1）BE=CF, BF=BE+EF,CE=CF+EF, BF=CE. 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=DC. 在ABF 和DCE 中， FE D CB A 图18图图 Q P O E D CB A AB=DC,BF=CE,AF=DE, ABFDCE. (2)解法一：ABFDCE， B=C, 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC D. B+C=180 B=C=90 所以四边形 ABCD 是矩形. 解法二：连接 AC,DB. ABFDCE, AFB=DEC, AFC=DEB. 在AFC 和DEB 中， AF=DE, AFC=DEB,CF=BE. AFCDEB, AC=DB. 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形. 例 3（09 年 广东）在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，.过点作 DEAC 交的延长线 于点. （）求BDE 的周长； （）点为线段 BC 上的点， 连接 PO 并延长交 AD 于点 Q.求证：BP=DQ. 解题思路：（1）四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD=5， 24OBA，OB=8 ，四边形是平行四边形 ， 的周长是：+ + . （）证明：ADBC，OBP=ODQ，OPD=OQD OB=OD ，BOPDOQ，BP=DQ。 考查目标二、开放性问题 例 1.（09 年 广东） 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点 O.以 OB、OC 为邻边作第 1 个平行 四边形 COB，对角线相交于点 1A；再以 CB1、 为邻边作第 2 个平行四边形 CBA1，对角线相交于点 1O；再以 图19图图 C 2 C1A2 B2 B1 O1 O A1 D CB A O 2 E F A B D C G M N 1 11COB、 为 邻边作第 3 个平行四边形 12CBO依此类推. （1）求矩形 ABCD 的面积； （2）求第 1 个平行四边形 1、第 2 个平行四边 形 ABC和第 6 个平行四边形的面积。 解题思路 解（1）四边形 ABCD 是矩形，AC=20，AB 12 ABC， 2206BCA ABCD169S矩 形 。 （） 1， ，四边形 1BC是平行四边形。 四边形是矩形，四边形 1是菱形。 21111OBCB8OAA622， ， A， 1CS=9B菱 形 同理：四边形 是矩形， 84C 1矩 形 6 第个平行四边形的面积是： 2S 9 2S619= 例 2（08 江苏扬州）如图，正方形 ABCD绕点 逆时针旋转 n后得到正方形 AEFG， 边 EF与 CD交于点 O (1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外） ， 要求所 连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； (2)若正方形的边长为 2cm，重叠部分（四边形 A）的面积为 432cm，求旋转的角度 n 解题思路： （1）连结的两条相交且互相垂直的线段是 AO 和 DE 理由如下： AODE 证明： 在 Rt 与 tEO 中 ， DEO， ，tA ， B A D C P E DAOE（即 A平分 DE） （等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如 GB （2） 30 四边形 AEOD的面积为 43 ， 三角形 的面积 2 ，23， ， ， 00DAOEB， 考查目标三、与函数综合 例 如图：梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90 ，AD=9 ，BC=12，AB=6，在线段 BC 上任取一点 P，连接 DP，作射线 PEDP ，PE 与直线 AB 交于点 E.（1）试确定当 CP=3 时，点 E 的位置；（2）若设 CP=x，BE=y，试写出 y 关于自变量 x 的函数 关系式. 解题思路 （1）连接 DP CP=3 BP=BCCP=12 3=9 AD=9 AD=DP ADDP 四边形 ABPD 是矩形 DPBP PEDP 点 E 与点 B 重合 （2）过点 D 作 DFBC ，垂足为 F，AD=BF=9 AB=DF=6 当点 P 在 BF 上： BPE +EPD+DPF=180 PEDP BPE +DPF=90 DFBC PDF+DPF=90 PDF =EPB PEBDPF DFBPECP=x BE=y BP=12x PF=PCCF=x3 6123xxy（6 分） )3615(62xy 当点 P 在 CF 上，同理可求得： )(2 过关测试 一、选择题 1如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（ ） A三个正三角形，两个正方形 B两个正三角形，三个正方形 C两个正三角形，两个正方形 D三个正三角形，三个正方形 2使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ） A正六边形地砖 B正五边形地砖 C正 方形地砖 D正三角形地砖 3下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A正六边形 B平行四边形 C正五边形 D等边三角形 4已知梯形的上底与下底的比为 2：5，且它的中位线长为 14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ） A4cm， 10cm B8cm，20cm C2cm，5cm D14cm ，28cm 5如图 4，如果平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，那么图中的全等三角形共有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 （4） （5） 6顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形 7如图 5，E、F 、G、H 分别是正方形 ABCD 各边的中点， 要使中间阴影部分的小正方形的面积为 5，则大正方形的边长 应该是（ ） A2 B3 5 C5 D 5 8.一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 9.四个内角都相等的四边形是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形 10.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（ ） A、四边都相等 B、两组邻边分别相等 C、对角线互相垂直平分 D、两条对角线分别平分一组对角 11.已知：梯形 ABCD 中，ADBC，ABADCD，BDCD，则C（ ） A、30 B 、45 C、60 D、75 12.延长正方形 ABCD 的一边 BC 至 E，使 CEAC，连结 AE 交 CD 于 F，则AFC 的度数是（ ） A、112.5 B 、120 C、122.5 D、135 二、填空题 1顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_四边形 2顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_ 3平行四边形的周长为 28，两邻边的比为 4：3， 则较短的一条边的长为_ A D F E C B 4如图 1，已知：在 ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm，ABC 的平分线交 AD于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF=_cm （1） （2） （3） 5如图 2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕 AE 翻折上去，使 AB 与 AD 边上的 AF 重合，则四边形 ABEF 就是一个最大的正方形，他判定方法是_ 6如图 3，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A、C 重合）且 PEBC 交 AB 于 E，PF CD 交 AD于 F， 则阴影部分的面积是_ 三、解答题 1如图ABC 与CDE 都是等边三角形，点 E、F 分别在 AC、BC 上，且 EFAB （1）求证：四边形 EFCD 是菱形； （2）设 CD4，求 D、F 两点间的距离 2如图，已知在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点， 且 CE=CF （1）求证：ABEADF； （2）过点 C 作 CGEA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若BAE=25，BCD=130，求AHG 的度数 3已知梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2，BC=4，对角线 AC=5，BD=3， 试求此梯形的面积 4将一张矩形纸片沿直