2001.c题基金使用计划

2001 年全国大学生数学建模竞赛大专组 贾玉昌 苗玉东 张宁 基金使用计划问题 基金使用计划 一 题目简介 某单位基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国 库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。 单位基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀职工，要求每年的奖金额大致相同，且在 n 年末 仍保留原基金数额。单位基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助单 位基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对 M=5000 万元，n=10 年给出具体结果： 1. 只存款不购国库券； 2. 可存款也可购国库券。 3单位在基金到位后的第八（2010 年）年要举行 50 年庆祝，基金会希望这一年的奖金比其它年度 多 20%。 存款种类 活期 3 个月 6 个月 一年 二年 三年 五年 年利率% 0.72 1.71 1.89 1.98 2.25 2.52 2.79 额外条件 1 实际收益利益为公布利率的 80%，20%为利息税上交国库 2 国库券具有 2 年， 3 年，5 年的三种，其存款利率与周期的定期存款利率相同，但不交利息税。 要求 1 问题的提出 2 模型的假设 3 符号的说明 4 模型的分析 5 模型以及求解 6 模型的检验 7 模型的优缺点 8 模型的改进方向 9 参考文献 C 题 基金使用计划 某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国 库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在 n 年末仍 保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在 如下情况下设计基金使用方案，并对 M=5000 万元，n=10 年给出具体结果： 1 只存款不购国库券； 2 可存款也可购国库券。 3学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多 20%。 银行存款税后年利率（% ） 国库券年利率（% ） 活期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14 最佳基金使用计划模型 摘 要：运用基金 M 分成 n 份（M1，M2，Mn），M1 存一年， M2 存 2 年，Mn 存 n 年这样，对前面的（n1）年，第 i 年终时 M1 到期，将 Mi 及其利息均取出来作为当年的奖金发 放；而第 n 年，则用除去 M 元所剩下的钱作为第 n 年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使 用方案问题 关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理 1 问题简介 基金使用计划 某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，欲将其存入银行或购买国库券当前银行存款及各期国 库券的利率见表 1假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定取款政策参考银行的现行政策 校基金会计在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在 n 年末 仍保留原基金数额校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额需 帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对 M5 000 万元，n10 年给出具体结果： 只存款不购国库券； 可存款也可购国库券 学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多 20 2 模型的分析、假设与建立 21 模型假设 每年发放的奖金额相同； 取款按现行银行政策； 不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响； 基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放； 国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费； 到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券 22 符号约定 K发放的奖金数； ri存 i 年的年利率，（i1 2，1，2，3 ，5）； Mi 支付第 i 年奖金，第 1 年开始所存的数额（i1，2 ，10）； U半年活期的年利率； 23 模型的建立和求解 231 情况一：只存款不购国库券（1）分析 令：支付各年奖金和本金存款方案Mij （i 1 ， ，10，i；j 属于 N） 根据排队定理：一个集一定可以依一个次序排除 A 中每行必存在上界， A 中存在一个极大组合 M 万元基金存入银行后，每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生，因为最后剩余的金额等于 原来的本金，所以用这种发放的奖金总数可以看作是 n 年中各种利息的总和将基金 M 分成 n 份 （M1，M2，Mn ），M1 存 1 年，M2 存 2 年，Mn 存 n 年，对前面的（ n1）年，第 i 年的 次年年初 Mi 到期，将 Mi 及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第 10 年，则用除去 M 元后所剩 下的钱作为第 n 年的奖金发放 一般的模型： 关键在于如何计算每一个 Ri 基金在年初到位，而学校当年的奖学金一般在次年年初发放因此，选择存活期或不可能使得 到的利息最大要尽可能提高奖金额，应选择存定期在定期的选择上，应把尽可能多的钱存到定 期长的储种上去；同时由于储种有限（只有半年、1、2 、3、5 年定期），这就需要对某些储种进行 组合优化即应尽可能地利用年份多的储种（如能用 3 年的决不用 2 年定期），对于 M1，为了支付 第一年的奖金，显然是存 1 年期拿到本金和利息最高，余者显然亦如此对于特定年份的定期存款 采用现有的储蓄种类的组合（如 4 年定期采用 3 年定期和 1 年定期组合等），要使所得的利息最大， 对于该结论的说明如下所述 存 4 年定期时的有 2 种方案： N 为任意存款），显然，3 年定期和一年定期组合最优同理，通过计算各种组合， Mi 得最大利息 的存储方案如表 2（Q1、Q2、Q3、Q5 分别表示定期存的年数） 从表中可以得出以下结论： 这是一个以 5 年为周期的方案组合，从第 6 年开始相当于对应的年份再加上一个 5 年定期， 所得的存储方案最为合理 采用超限归纳法的推论，可将模型论推广到 n 年，则可得到如下的结论对于一个以 m 年为 周期的方案组合，可以从第 m1 年开始，在相应的年份上再加上一个 m 年定期，此时所得的方案 最为合理 （2）每 1 个 Mi 经过 i 年后得到的本金和利息，可用于支付奖金，下面可用反证法加以证明 证明：假设有另外一种方案使 K1K，则显然存在某个 n 年期的存款到期后所得的总额 R，可满 足 RK10 （因为在我们的计算方式下，RK，即刚好用完）则需要将 RK1 转存入下一个存 款而按照前面我们得出的结论，要使所得的利息最大，则应尽可能地利用年份多的储种 可推断，由此所得的利息要比一开始就将 RK1 存一个更长时间的定期要少与假设相矛 盾所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大 （3）求解：根据以上的讨论，可以建立以下的方程组： 其中 ri 是 i 年期的存储的一个增长系数 由 MATLAB 编程的线性优化函数 LP（Linear Programming），可得 K109800 0（万元） 这样，我们就可以通过把分成这 10 份，前 9 份刚好付当年的奖金，第 10 份刚好满足奖金和原 有的基金，并得到了最优化的解（见表 3） 232 情况二：可存款也可购国库券 我们对情形二外加了一个购买国库券的方式同样把 M 分成 M1，M2 ，Mn；存 n 年；且 n 年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放，在外加购买国库券后，对 Mn 达到最大本金和利息有更 多的组合及考虑因素 因为国库券发行时间任意，且银行结算与发放奖金均在年终，因此得到购券基金并不能马上购 券，需先存银行，国库券到期也不能马上作为奖金发掉，也需存银行 因经购买一次国库券，必定耽误一年的时间使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期， 由于半年定期的利率明显高于活期，又不影响对奖金的发放，所以这一年一定存 1 个半年定期和半 年的活期。由于国库券发行时间不定，一年中任何一天发行都是可能，这就涉及到数学期望的问题。 可以把一年的分为 360 天，如果国库券发行在上半年的第 n 天，则 n 天到期后的本金和利息为 （0.792%n180),这笔钱要分半年定期和活期是最优化的.先不考虑定期半年的本利率,那么(180-n) 天的活期的本金和利息是0.792%(180-n)/360+1m, 那么这笔钱有半年里的本金和利息为 0.792%(180-n)/360+1 u=0.00396 由上节(2)已证了 Mi 经过 i 年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论 Mi 在 i 年中存银行或购买 国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合. 我们对每年 Mi 的组合都进行 分析(见表 4),对于 M1,M2 不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金.对于 M3 根据情形可得出 要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论. 从表 4 可知 ,最优的方案如表达所示. 根据以上的讨论,可以建立以下的方程组: ro/2)(1+u)=k 与上题同法,用线优化函数(lp)就解得: k=127.5(万元) 按照表 6 所述的对 Mi 各组达到最优化分配，并保证了所发放的奖金 k 达到最优值 233 学校基金到位后的第三年的奖金比其他年度多 20 要使得基金到位后第 3 年的奖金比其他年度多 20，问题 3 与问题 1 和问题 2 的情形类同可 分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形将情形一的（3）式改成 其余保持不变 得最优解，K 10753 （万元） 其本金收益计算于见表 7 将情形二的（3 ）式改成 M3（1r3）12K；其余保持不变 得最优解：K 1248 （万元） 其本金收益见表 8 3 模型的分析和改进 情形一，我们利用超限归纳法及其推论，对结论 2 给出了一个完整的说明，从而对下述定理的 证明及推广也起了很大的作用，该方法使得数学模型大为简化但情形一中，我们所考虑的是大大 简化了的模型，要考虑各方面因素，不会影响该模型，我们只需对原方程中加入一些参数，思路不 变 例如：不假设学校一年发两次奖金对于该题，我们需要考虑存半年期的情况，这也就是与前 面最大的不同之处 情形二，前面用有限枚举法，通过与情况一的比较确定更优值，其思想方法简单易行，但计算 太复杂可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限上限，即国库券随时可购，可 用情况一的求解方法，直接求解，然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素，再对各种可能的情况 进行分析，计算，从中选出极大值，这就是我们所要求的最优方案下限，就是考虑到想买买不到 的情况 如存 9 年期的 M9，假如第一年国库券发行时间是 9 月份，买了一个 5 年期的那就是到第 5 年 的 9 月份才能取出来，但第 5 年的国库券发行时间可能在 9 月份之前，也就是只有到下一个才能买 到这就有一个最坏的情况，可以求出问题的一个下限 同时我们也要考虑到求每个 Mi 的增长率时，不能单独考虑 如：对于存 9 年期的 M9 如果考虑对 M6 买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度， 那么对 M9 先买 5 年期的国库券也要在第一个季度 4 结 语 这一思想的理论基础是序数中所用的“排队定理”和“仓恩定量” 对第一问，通过计算我们得到最优的将基金的本金（加上去）作为奖金发放，同时我们用超限 归纳法