2011中科院考研数学分析

2011 年中科院数学分析考研试题 一、30 分 1、计算 1lim2xx 解： 11000ln2liliepln2limexptttt t 00llixli1t tt t e 2、计算 10limn()d 解： 10l()ln()nxxxd 由于 ， ，根据00ln(1)2xdMx1l()(1)ln2nx 的任意性，可得： ；10ln()xd 故： im0nn 3、证明极限 存在，并求值. 120limxxe 解： 1112220003lililimxxxxxxeee111222000limlilixxxxxxeee 故 111222000lilimlixxxxxxeee 2 二、求数列 中最大的一项.31,2n 解：设函数 ，则 ，从而稳定点为 ； ，故()xf21ln()xf 1(,)e(0f ， 1max()ef 显然 3 最接近 e，从而该数列最大的项为 .3 三、设函数 满足： （当 ） ， . 证明对于所有 ，()fx()0fx(0)f120,x .1212()()ffxf 证明: 取 , 原不等式等价于120x1221()()(0fxfxff 由中值定理可知, , 110,st221()()fxfx 即 1 从而: , 可知上式显然成立 . 故原不等式成立. ()0fx 四、设函数在内有界可微，试问下列名帖中那个必定成立（要说明理由） ，那个不成立（举 反例） （1） 蕴含 ；（2） 存在蕴含 .lim()0xfli()0xflim()0xflim()0xf 解: (1)不成立, , 但是 不存在; 2sinlx 2sinlx (2)成立, 兹证明如下: 令 , 任意取两个数列 , 总有li()0xf(2)()nfnf0limlinnf 3 根据有界性, 可得 lim()0nxf 从而有 五、过抛物线上 的一点 做切线，确定 使得该切线与另一抛物线2yx2(,)aa 所围成的图形面积最小，并求出最小面积的值. 241yx 解：在 做切线的方程为(,)a 2yax 从而可知道交点为 的解22(4)10xax24322(4)1aSaxd2()81)3 当 时，S 有极大值. 所以1a4()S 六、计算曲线积分 221CxydsA 其中 表示曲面 与 的交线. C22xyzz 解：由于对称性， ，它的交线是一个圆心在原点，半径为 1 的圆， xy24535510CCdsxydsdsA原 式 七、设函数列 在区间 上一致收敛，而且对于每个 ， 在 上有界. 0()nfxI 0n()nfxI 证明函数列 在 一致有界，即存在常数 ，使得对于 所有的及M 有xI 4 .()nfxM 证明：由于函数列 在区间 上一致收敛，则 ，有0()nfxI0,.,Nstn ，()nfxf 再令 ，则总有存在常数 ，且()nnfxM 使得对于 所有的及 有 。ma,sup()1,2ifxi 0nxI()nfM 八、设 ， 和 为非负数列，而且对于任意 ，有0k0kb0k k221kkab （1）证明： ；2110 kki ib （2）若数列 还满足 ，则 .0kb20k 21lim0ki 证明：（1） （2）根据（1） ， 2 22111000kkkki i iiabab ，则 ，故 ，从而20kb 20kiM2200