2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) 2

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要 求的 1已知 ，若 （其中 为虚数单位） ，则abR， 3i1iab()i A B C D1， 1ab， 1ab， 1ab， 2已知 “ ”， “直线 与圆 相切” 则 是 的p： 2q： 0xy22xy()pq A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条 件 3已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为nSna1S4264S A B C D943254 4如图，圆 内的正弦曲线 与 轴围成的区域记为 （图中阴影部分）2:OxysinyxM ，随机往圆 内投一个点 ，则点 落在区域 内的概率是AM A B2 34 C D 2 5在一条公路上每隔 10 公里有一个仓库，共有 5 个仓库一号仓库存有 10 吨货物，二号 仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里， 若每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，则最少需要的运费是 100402 一号 二号 三号 四号 五号 A450 元 B500 元 C550 元 D600 元 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A2 B1 C 3 D 7设平面区域 D 是由双曲线 的两条渐近 214yx 线和直线 所围成三680xy俯视图 11 11正(主)视图 侧(左)视图 1 xy 1a开始21ai，i 2011i输出 a 结束 否 是 角形的边界及内部当 时， 的最大值为,xyD()2xy A24 B25 C4 D7 8已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表 的导函数 的图象如图所示fx()1 5， fx()yfx() 下列关于函数 的命题：函数 是周期函数；函数 在 是减函数；fx()yfx()fx()0 2， 如果当 时， 的最大值是 2，那么 的最大值为 4；1 t， f()t 当 时，函数 有 4 个零点2ayxa 其中真命题的个数有 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题： 9已知全集 ，集合 为函数 的定义域，则 = URAln1fx()UA 10设随机变量 ，且 ，则实数 的值为 2N1 3X(， )06PXaa 11在 中，已知 分别为 ， ， 所对的边， 为 的面积若向量ABCabc， ， BCSBC 满足 ，则 = 224 pqS()()， /pq 12已知命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是 xR12xa 13已知 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式 的展开式a 61x() 中含 项的系数是 2x （注：框图中的赋值符号“= ”也可以写成 “ ”或 “：=” ） 14 （坐标系与参数方程）在极坐标系中，设 P 是直线 上任一点， 是圆 上任一点，:cosin4l()Q24cos3C: 则 的最小值是 PQ 15 （几何证明选讲）如图，割线 经过圆心 ， ， 绕BCO1BO点 逆时针旋转O -1 0 4 5f 1 2 2 1 BCDEP oy 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第 3 页 共 14 页 到 ，连 交圆 于点 ，则 120ODPEP 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 23sincossin42xfx x()()()() （1）求 的最小正周期； （2）若将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值fx()6gx()gx()0， 17 （本小题满分 12 分） 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募 了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者将这 30 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）： 男 女 9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19 若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子” ，且 只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？ （2）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列， 并求 的数学期望 18 （本小题满分 14 分） 如图， 是圆 的直径，点 在圆 上， ， 交 于点 ， 平面 ， ，ACOBO30BACMACEABC/FEA 431EF， ， （1）证明： ；M （2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值BAC A B C E F MO 19 （本小题满分 14 分） 已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，且满足F210xya() 0Mm(， ) Nn(， )xy 若点 满足 0MNPOMNP （1）求点 的轨迹 的方程；C （2）设过点 任作一直线与点 的轨迹 C 交于 、 两点，直线 ， 与直线 分别交于点 ， （ 为坐FABOABxaSTO 标原点） ，试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由ST 20 （本小题满分 14 分） 已知数列 是各项均不为 0 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足 ， 数列 满足na dnS21naS*Nnb ， 为数列 的前 项和1nnbTnb （1）求 ， 和 ；ad （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；*N81nnT() （3）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理m， 1(),mTmn， 由 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 ln1afxR()() 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第 5 页 共 14 页 （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；92agxfk() k （2）当 时，试比较 与 1 的大小；f （3）求证： ln13572n() *N() 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科) 答案及评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订 相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给 分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 40 分 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A B B C A D 二、填空题：本大题每小题 5 分，满分 30 分 9 10 11 12 (,184(,3)(1,) 13 14 15 21273 三、解答题 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 )sin()42cos()sin(32)( xxxf （1）求 的最小正周期； （2）若将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值)(xf6)(xg)(xg,0 解：（1） xxxf sin)2si(3)( 2 分co )s23sin1(x 4 分ix 所以 的最小正周期为 6 分)(xf （2） 将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，6)(xg 3)(sin2)() xxfg 8 分6si 时， ， 9 分0,x7,x 当 ，即 时， ， 取得最大值 2 10 分23sin()16x)(xg 当 ，即 时， ， 取得最小值 12 分76xx21 【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以 及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力 17 （本小题满分 12 分） 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募 了 名男志愿者和 名女志愿者，调查发现，这 名志愿者的身高如下：（单位：cm ）121830 男 女 9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19 若身高在 cm 以上（包括 cm）定义为“高个子” ，身高在 cm 以下定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”1 175 才能担任“礼仪小姐” （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 人，再从这 人中选 人，则至少有一人是“高个2 子”的概率是多少？ （2）若从所有“高个子”中选 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，3 并求 的数学期望 解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ， 2 分61305 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第 7 页 共 14 页 所以选中的“高个子”有 人， “非高个子”有 人3 分2613618 用事件 表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中” ，A A 则 5 分()P1253C107 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 6 分 （）依题意， 的取值为 7 分,23 ， ， 514C)0(328P528C)1(34P ， 9 分)(31284)(3124 因此， 的分布列如下：0 3p51452851251 10 分 12 分 3140E 【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知 识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数 据处理能力和应用意识 18(本小题满分 14 分) 如图， 是圆 的直径，点 在圆 上， ， 交 于点ACOBO30ACACBM ， 平面 ， ， MEBEAF/ 14F， （1）证明： ； （2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 解：（法一） （1） 平面 平面 ， 1 分CME 又 ， 平面AC 而 平面EFE 3 分MB 是圆 的直径， O90B 又 ，304 21,3M 平面 ， ，EACEAF/ 平面 FD 与 都是等腰直角三角形 A B C E F MO 45FMCEA ，即 （也可由勾股定理证得） 5 分90E ， 平面 BMBF 而 平面 ， 6 分 （2）延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 FAGCHGF 由（1）知 平面 ， 平面 ，CA B 而 ， 平面 HF 平面 ， ， 为平面 与平面 所成的FEBC 二面角的平面角 8 分 在 中， ， ，ABCRt304A sinM 由 ，得 1GE2 32B 又 ，CH ，则 11 分MG12BGC 是等腰直角三角形， F45FH 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 12 分BEAC2 （法二） （1）同法一，得 3 分3BM， 如图，以 为坐标原点，垂直于 、 、 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系ACEzyx, 由已知条件得 ，(0,)(,0)(,)(,0)(,41)AF 4 分331MEBF 由 ，(,)(,) 得 ， 6 分F （2）由（1）知 (3,),(3,1)BEBF 设平面 的法向量为 ，(zyxn 由 得 ，0,n03x yzA B CE FMO H GA B C E F MO 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第 9 页 共 14 页 令 得 ， ， 9 分3x1,2yz3,12n 由已知 平面 ，所以取面 的法向量为 ，EABCAB(0,3)AE 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，F 则 ， 11 分30123cos,n 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 12 分BEFAC2 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力 19(本小题满分 14 分) 已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，且满足F)0(12ayx(,0)Mm(,)Nnxy 若点 满足 0NMPPONM （1）求点 的轨迹 的方程；C （2）设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、 （ 为坐ABOABaxSTO 标原点） ，试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由FST 解：（1） 椭圆 右焦点 的坐标为 ，1 分)0(12ayxF(,0)a (,)Nan ，Mm 由 ，得 3 分0F02a 设点 的坐标为 ，由 ，有 ，P),(yxPONM(,0)2(,),)mnxy 代入 ，得 5 分 .2,yn02amaxy42 （2）(法一) 设直线 的方程为 ， 、 ，ABt21(,)4yAa2(,)4yBa 则 ， 6 分xyalOA14:xyalOB24: 由 ，得 ， 同理得 8 分 axy,41214(,)aSy24(,)aTy ， ，则 9 分 21(,)FS 2(,)FT 4216aFSy 由 ，得 ， 11 分 axyt4,2 0422aty214ya 则 13 分)(16222FTS 因此， 的值是定值，且定值为 14 分0 (法二)当 时， 、 ，则 ， ABx,a(,)Ba:2OAlyx:2OBlyx 由 得点 的坐标为 ，则 2,yaS2(,)FSa 由 得点 的坐标为 ，则 ,xT(,),T 7 分(2)20FSa 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、 ，同解法一，得ABAB()0ykxa),4(12yaA),(2yB 10 分 4216aFSTy 由 ，得 ， 11 分2 (),4kxa2240kyka214ya 则 13 分)(1622 42FTS 因此， 的值是定值，且定值为 14 分0 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以 及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想 20(本小题满分 14 分) 已知数列 是各项均不为 的 等差数列，公差为 ， nS为其前 项和，且满足na0d ， 数列 满足 ， 为数列 的前 n 项和21naS*Nnb1nnaTnb （1）求 、 和 ；1dnT （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；*8()nnT 2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第 11 页 共 14 页 （3）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有,mn(1)1,mnT 的值；若不存在，请说明理由,mn 解：（1） （法一）在 中，令 ， ，21naS2 得 即 2 分 ,321a,3)(,121da 解得 ， ， 3 分1d 2n ，11()()221nbann 5 分235nT （法二） 是等差数列， nana21 2 分)12(12Snn n)( 由 ，得 ， 21nannaa 又 ， ，则 3 分01,2d ( 求法同法一)nT （2）当 为偶数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成立 8(1)nnT(8)2187nn 6 分 ，等号在 时取得 8n2 此时 需满足 7 分5 当 为奇数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成立 8(1)nnT(8)2185nn 8 分 是随 的增大而增大， 时 取得最小值 82n2n6 此时 需满足 9 分21 综合、可得 的取值范围是 10 分1 （3 ） ， 1,mnTT 若 成等比数列，则 ，即 11 分1,mnT21()()3mn24163mn （法一）由 ， 可得 ， 2416n20 即 ， 12 分20 13 分61m 又 ，且 ，所以 ，此时 N212n 因此，当且仅当 ， 时， 数列 中的 成等比数列14 分1nT1,mnT （法二）因为 ，故 ，即 ，366n 2462410 ， （以下同上） 13 分12m 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函 数思想方法，及其推理论证和探究的能力 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 ()ln()1afxR （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；29akxfgk （2）当 时，试比较 与 的大小；)(f （3）求证： （ ） 127513)ln( n *N 解：（1）当 时， ，定义域是 ，29a)(9l(xxf ),0( ， 令 ，得 或 2 分22)1()1()( xf (f21x 当 或