2012初中数学远程研修优秀作业2

第五期 2012 年 8 月 1 日（星期三） 总 编：王尚志 编 委 ：刘青岩 吕学江 褚爱华 云 鹏 陈 杰 姜仲平 谢志平 汤华 财 郑立平 刘金广 刘同军 刘建宇 刘 江 王军艳 张延芳 主 编：吕学江 褚爱华 陈 杰 刘同军 目录 专家引领：整体把握初中数学课程统计与概率 专题解读：统计与概率、综合与实践内容分析与建议 热点聚焦：学员优秀作业展示 智慧分享：数学综合与实践课的实施策略探讨 研修感言：人生路上的一道风景 每日之星 优秀班级简报链接 作业公告：模块五作业 团队心声 专家引领 整体把握初中数学课程统计与概率 首都师范大学 王尚志教授 一、如何认识统计与概率的结构 数学课程标准（2011 年版） 对第三学段统计与概率内容目标的描述如下： （一）抽样与数据分析 1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计 算器处理较为复杂的数据。 2.体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。 3.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。 4.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据 集中趋势的描述。 5.体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。 6.通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直 方图解释数据中蕴涵的信息。 7.体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平 均数、总体方差。 8.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。 9.通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。 （二）事件的概率 1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指 定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。 - 3 - 2.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。 从中我们可以看到统计的课程内容有 9 条，概率的课程内容只有 2 条。因此， 在初中阶段，统计在课程中所占的比例远远大于概率。在日常教学中，教师们往 往认为概率是教学的重点，花很大的力气和时间去进行概率的教学，在这里需要 加以注意，正确认识概率、统计在初中的定位。 我们再看统计的 9 条课程内容。第 1 条是对初中统计的总体要求，可以看作 是总纲，在这一条中有两个关键词，即统计活动、数据处理的过程。其余的 8 条 是对统计活动与数据处理过程的具体要求。第 2 条是如何收集数据的要求；第 3 条和第 6 条是如何描述数据的要求；第 4 条和第 5 条是从数据中能提取的信息的 要求；最后 3 条是如何从样本对总体的趋势有一个判断。 概率课程要求通过了解简单的随机事件，形成对于随机现象的初步认识。知 道简单随机事件可能的结果及频率与概率之间的关系。 二、为什么要从描述性统计学到推断性统计学（数理统计） 小学阶段的统计是使用普查的方法进行整体的描述和分析，如：对全班同学 的身高进行调查，对全班同学喜欢的动画片进行调查等等，我们将这样使用普查 的方法进行收集数据的统计活动称为描述性统计学。 但是，生活中有些具有破坏性的事件是无法使用普查的方法进行研究的，如： 灯泡的寿命，炸弹的威力等，如果进行普查的话，那就没有东西可以出售了。因 此，只能从其中抽取有代表性的样本进行抽查，通过对抽取样本的描述和分析， 推断整体的情况，我们将这样使用抽样的方法进行收集数据的统计活动称为推断 性统计学。 初中统计的定位，要让学生从描述性统计学向推断性统计学过渡，让学生感 受推断性统计学的必要性和重要性。在推断性统计学中，样本的抽取是具有随机 性的，因此得到的数据也有随机性，随机性贯穿在推断性统计学的始终，也是描 述性统计学和推断性统计学的本质差异。 三、描述数据的方法有哪些 通过前面对描述性统计学和推断性统计学的介绍，我们知道它们的不同点主 要在于收集数据时使用不同的方法，描述性统计学是使用普查的方法，推断性统 计学是使用抽查的方法。但是，在得到数据后，对数据描述方法是相同的，有条 形统计图、扇形统计图、折线统计图等，这些不同方法具有各自的特点，使用何 种方法要根据实际问题的需要进行选择。在教学中，教师应鼓励学生根据问题的 实际背景选择合适的描述数据的方法，突显想要得到的信息，并运用这些信息来 说明问题。这里不妨看一下数学课程标准（2011 年版） 中对于案例 38 的说明： “条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于 直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观 了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势” ，因此需要我们根据 问题的背景选择合适的统计图。 “统计学对结果的判断标准是好坏 ，而不是 对错 ”。 四、如何帮助学生感悟数据中的随机性 在数学课程标准（2011 版） 中将数据随机作为了数据分析观念的内涵之 一。数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能 会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个课标中的 案例（例 40）：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能 是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋 中，摇晃均匀后再摸） ，从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红 球多还是白球多、红球和白球的比例等。再举一个案例（例 22） ，学生记录自己 在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生 每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步， 让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很 多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。 有些老师有这样的一个困惑，概率是研究随机现象的，数据的随机性和随机 性现象中的随机性有没有差异？实际上，他们没有本质的差异，数据的随机性， 是由样本的随机性决定的，如何理解随机现象，我们将在后面进行详细说明。统 计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随 机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机。 通过实验来帮助学生体验数据中蕴含的随机性是一种非常好的做法，如何设 计实验才能帮助学生更好的体会数据中的随机性？希望教师从下面的分析中体会 如何设计好的统计实验，帮助学生体会数据中的随机性。 “我听了一些课，老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得 - 5 - 到出现正面或反面的概率是 ，然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果21 （ ） 。这里有两个问题。第一，一个硬币，先假定它出现正面和反面的可能性21 是 ，这是数学（或者称为概率） 。这个 是通过概率的定义得到的，不是依靠21 掷硬币验证出来的。实际上，学生做了很多次实验也得不到 ，反而更加糊涂了。21 第二，运用定义的方式教学随机，不能很好的培养学生的随机观念。 需要指出的是，我们赞成做实验，赞成运用统计的思想来做实验。统计是通 过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。同样是掷硬币的问题，在统 计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例（频率） ， 然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近 的话，21 就推断这个硬币大概是均匀的，这是统计的思想。 对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于“逆过来”通过数据来进行推 断，教师往往比较陌生。为了帮助大家理解，再阐述一下摸球的例子。同样是一 个袋子里有 5 个球，4 个白球、1 个红球，如果让学生通过摸球来验证出现白球 的可能性是 、出现红球的可能性是 ，这不是统计。统计是这样的，告诉学生51 们袋子里有很多球，有白颜色的和红颜色的。让孩子们去摸，摸到一定程度的时 候，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球 多。进一步的话，能推断出白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数的时 候，能够估计出来几个白球和几个红球，这个是统计的过程。 我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强， 学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体 会到每一次摸的结果事先都不知道，但是摸多了能够帮助我们做一些判断。这样 一来，学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息，我想这种类似于“猜 谜”的活动学生也会很有兴趣” 。在课标案例 40 的说明中给出了这种推断的详细 分析。 五、为什么强调数据分析的全过程 学习统计学就是要学习数据分析的全过程，这就是统计解决问题的全过程。 使学生树立数据分析的观念，最有效的方法是使他们投入到数据分析的全过程中 去。在此过程中，学生将不仅仅学习一些必要的知识和方法，同时将体会数据中 蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。数据分析的全过程 主要包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据，最终的目的是用从数据中 得到的信息解决问题。 掌握数据分析的全过程需要循序渐进，为此， 标准在三个阶段都提出了相 应的要求：在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程” ；在第二学 段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器） ”； 在第三阶段中提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的 过程；能用计算器处理较为复杂的数据” 。从这些要求中不难看出： 第一，数据分析的过程可以概括为：收集数据、整理数据、描述数据和分析 数据。 第二，学段的要求逐步深入。从第一学段到第三学段，随着年龄的增长，学 生将逐步经历更加完整的数据分析过程；在要求上第一学段、第二学段都提出了 经历“简单的”过程，第三学段则去掉了这个限制。 第三，从第二学段开始使用计算器来处理数据，第二学段可以使用计算器来 处理数据，第三学段则要求能使用计算器。 六、如何设计好的统计活动 活动教学是统计教学的重要形式，因为，只有通过参与实践活动才能真正学 到统计学，体会到统计学的真实性、科学性；学生喜欢活动教学，在活动中，学 生可以进行观察、思考、动手操作等；有没有经历统计活动对一个学生的发展有 很大影响。所以，设计好的统计活动显得十分重要。如何设计好的统计活动呢？ 首先，要选择好的统计问题，问题是统计活动的魂。问题的选择要考虑三个 方面：学生的兴趣；学生可做；能实现教学目标。其次，统计活动的设计 要注重活动的过程。在活动过程中，要调动学生参与的积极性，要明确每个同学 的分工，让学生在做的过程中，自然地理解要学习的统计知识。还要注意帮助学 生积累活动经验，感受收集数据、整理数据、提取信息的全过程；在活动中帮助 学生提升对数学基本思想的认识，提升对抽象、推理和模型思想的认识。最后， 对学生在活动中的表现，有恰当的评价。评价的目的应是增强学生的信心，提高 学习的兴趣。 七、如何认识数据中的数字特征？ 在义务教育阶段学习的数字特征有：平均数、中位数、众数、方差。 - 7 - 平均数、中位数、众数，它们都是刻画一组数据集中趋势的统计量。有了这 些量，不仅可以表述调查对象的集中趋势，还可以用来对不同的总体进行比较， 比如可以比较同一年级不同地区学生的平均身高。对于平均数、中位数、众数的 学习，不仅仅要学习如何计算，而且要设计合适的情境，使学生“了解它们是数 据集中趋势的描述” 。 教师们困惑的问题，这三个量之间到底有什么区别，什么时候该用什么统计 量？其实，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合 正态分布。这时候，均值（平均数） 、中位数和众数是一样的（如下图） 。 只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的 区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重 的话，可以用中位数。这也就是我们常说的平均数容易受极端数据的影响。 但是，平均数具有许多优点，与中位数和众数相比，平均数能更多地利用所 有数据的信息。除此之外，在数学上还有一个原因：假设我们得到了 2 个数据 ，令 为平均数，利用中学的知识就可以证明： 是与 这 2 个yx、 2yxa ayx、 数据差的平方和达到最小的实数，即对任意的实数 有 b 。 22)()(ayx22)()(yx “这说明了进行数据分析时经常使用平均数的理由：使误差平方和达到最小，也 就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。而利用中位数代表数据，是 使一次损失（误差绝对值的和）最小” 。而我们都知道，二次函数有着很好的数 学性质，所以人们选择用平均数来进行研究，在义务教育阶段更加注重平均数的 教学是有道理的。因此， 数学课程标准（）2011 版在第二学段只安排了平均 数的学习，而将中位数、众数的学习放在了第三学段。 只是依赖集中趋势是不足以表述数据特征的，比如分析数学课程标准 （2011 版） 中案例 68、案例 69 中的两组数据，这两个公司的月平均工资虽然 都是 1240 元，但显然两个公司的工资的差异是不一样的，由此使学生“体会刻 画数据离散程度的意义” 。最简单的表述离散程度的量是极差，但它没有考虑中 间那些数据所提供的信息。在现代统计学中，经常使用方差来刻画数据的离散程 度。有了方差以后，就可以进一步分析两个公司的工资情况。 八、不确定现象是否是随机现象 提出这个问题是因为，很多一线教师往往把所有的不确定现象当做是随机现 象，实际上，随机现象只是不确定现象的一部分，是特殊的不确定现象。那么随 机现象有什么特征呢？ 我们知道概率研究的对象就是随机性现象，它具有以下三个主要特征：相 同条件下，试验可以重复；每次试验发生前，试验结果无法确定，但是可以知 道可能会出现的结果；大量重复实验后，具有一定的规律性。 那么容易发现“奥巴马是否能够连任？” “火星上有没有水？”这样的现象 不是随机现象。实际上，奥巴马是否能够连任，这是一个个案，不具有可重复性； 火星上有没有水这是一个客观的问题，也不具有可重复性，是客观的，要么有水， 要么没有水，只是目前我们不知道而已。 九、如何认识简单随机事件及其概率与频率？ 在义务教育阶段，所涉及的随机现象是简单随机事件：所有可能发生的结果 是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。 在第二学段， 数学课程标准（2011 年版） 首先要求“具体情境中，感受简 单随机现象的实例” ，感受其在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确 定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。在此基础上， “能列出简单 的随机现象中所有可能发生的结果” ，这里所涉及的现象都是比较简单的，学生 能够直接列出所有可能发生的结果，并且感受到每个结果发生的可能性是一样大 的。进一步，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述，并能进 行交流。 在第三学段，所涉及的现象相对比较复杂，学生需要通过“列表、画树状图 等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果” 。 在第三学段中， 数学课程标准（2011 年版） 还提出了“知道通过大量地重 复试验，可以用频率来估计概率”的要求。实际上，随机现象表面看无规律可循， - 9 - 出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复试验时，每一个结果都会呈现 出其频率的稳定性。学生将在具体的试验活动中，对频率与概率之间的这种关系 进行体会，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值。 实际上，随着试验次数的不同，得到的频率也是不同的；但是随着试验次数 的增多，频率稳定在一个数值附近，这就是概率。因此，概率具有稳定性，反映 的是频率的变化趋势。 专题解读 专题五 统计与概率、综合与实践内容分析与建议 省课程专家 刘江 张延芳 第一部分 统计与概率内容的分析与教学 “统计与概率”的内容在新课程中得到重视，成为和“数与代数” 、 “图形与 几何” 、 “综合与实践”并列的四部分内容之一，而统计则成为这一部分内容的重 点，统计的核心是数据分析。 话题一 统计与概率内容的结构分析 在初中学段， “统计与概率 ”从内容结构上分为“ 抽样与数据分析 ”和“事件的概 率”两部分，课程内容主要分为数据分析的过程、数据分析的方法、数据的随机 性和随机现象及简单随机事件发生的概率四部分。 1数据分析过程 课程标准中将数据分析观念作为核心概念，解释为：“了解在现实生活中有 许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着 信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合 适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据 可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的 核心。 ” 数据分析观念作为核心概念，教师应该明确它的界定，并且明确最有效的方 法就是让学生投入到数据分析的全过程中去。 2数据分析方法 掌握必要的收集、整理、描述数据和分析数据的方法，是统计课程内容建构 的第二个主要内容。 （1）收集数据的方法。在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据 （总体数据） ，也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据） 。其中数据的来源有两 种，一种是现成的数据，另一种是需要自己收集的数据。在义务教育阶段两种来 源都应该让学生有所体验，特别是自己收集的数据。常用的收集数据方法包括调 查、试验、测量、查阅资料等。学生应该对收集数据的方法要有比较丰富的体验。 （2）整理、描述、分析数据的方法。当人们收集了一堆数据以后，需要对 数据进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出 来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。其中在初中学段，学 生将了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图；继续学习刻画数据集中趋势 的统计量-中位数和众数，以及刻画数据离散程度的统计量-极差、方差；体会样 本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。 需要指出的是，教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中 提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地学习 名词、计算方法等。 3数据的随机性 由于推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，因此 把它称这个背景为总体。假定这个总体是未知的，目的是想通过样本来推断总体。 而在调查或者试验之前，我们不可能知道数据的具体取值。也就是说，数据可以 取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。 课程标准将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一。 数据的随机性主要有两层含义：一是对于同样的事情每次收集到的数据可能 会是不同的；二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。 在第三学段，学生开始学习抽样，体会样本和总体的关系，这实际上是帮助 - 11 - 学生体会数据的随机性的重要内容。 另外，在第三学段，课程标准还提出了“通过表格、折线图、趋势图等，感 受随机现象的变化趋势” 。 4随机现象及简单随机事件发生的概率 在这次课程标准修订中，学生在第一学段中将不再学习概率，从第二学段开 始，课程标准安排了概率的学习，并且根据学生年龄特点，称为“随机现象发生 的可能性”，第三学段称为“ 事件的概率”。 在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的 结果是有限的，每个结果发生的可能性是相同的。因此，在第二学段，要求学生 “了解简单的随机现象的实例，能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果” ， 并“能对一些简单的随机现象发生的可能性大体作出定性描述” 。在第三学段，则 要求学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以 及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并获得事件的概率”。同时，知道“ 通 过大量的重复试验，可以用频率来估计概率”。 话题二 统计与概率内容的具体分析 统计与概率的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调 查数据、绘制统计图表等。处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、 方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。 第一、第二学段学生主要学习的是描述性统计分析，第三学段开始接触推断性统 计分析。 1抽样和简单随机抽样 抽样是初中统计课程的一个重要内容，学生需要在实际问题中体会抽样的必 要性。为了获取好的数据，教师需要尽可能多地利用对于实际背景已有的了解。 如果对于实际背景一无所知，那么，一定要随意抽取样本，保证每个个体被抽到 的概率相同，这便是“ 简单随机抽样 ”。 （参看课程标准例 67） 2统计图形表示 统计图是描述数据的重要手段，可以直观地表示数据。 对于统计图的学习，需要注意以下几点：一是不要急于引入正规统计图的学 习，课程标准要求鼓励学生用自己的方式来描述数据。二是在描述数据的过程中， 让学生不断体会各种统计图的特点，能根据实际问题选择合适的统计图来描述数 据。三是鼓励学生读懂媒体中的一些统计图表。四是鼓励学生从统计图中获取尽 可能多的有用信息。 3集中趋势和离散程度 目前课程标准要求的平均数、中位数、众数，都是刻画一组数据集中趋势的 统计量。有时只依赖集中趋势是不足以表述数据特征的，最简单的表述离散程度 的量是极差，但它没有考虑中间那些数据所提供的信息。在现代统计学中，经常 使用方差来刻画数据的离散程度。 （参看课程标准例 68） 4随机事件及其发生的概率 （1）随机现象的特点及概率的古典定义。概率是研究随机现象的科学。如 前所述，在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发 生的结果是有限的，每个结果发生的可能性是相同的。在第三学段，所涉及的现 象相对比较复杂，学生需要通过“列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有 可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果” 。特别是学生当从对可能性的 定性描述，到刻画简单随机事件发生的概率，即定义事件ak发生的概率为： p（xk）使得x =k发生的可能结果数/所有可能结果数。这个定义就被称为 概率的古典定义。 （2）频率估计概率。在第三学段中，课程标准还提出了“知道通过大量地重 复试验，可以用频率来估计概率”的要求。学生将在具体的试验活动中，对频率 与概率之间的这种关系进行体会，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率 的估计值。 话题三 统计与概率教学中需要处理好的几个问题 统计与概率的研究对象是数据和随机现象，教学中应该注重这部分内容独特 的思想方法和教育价值。 1.把握核心概念进行教学 数据分析观念是“ 统计与概率 ”内容的核心概念。由于这部分内容与实际生活 有着密切的联系，因此发展学生应用意识也是重要的目标。所以，教学应紧紧围 绕数据分析观念、应用意识展开。 （1）发展学生的数据分析观念。在课程标准中，数据分析观念包含着三层 - 13 - 意思：一是经历数据分析的过程，体会数据中蕴涵着信息；二是掌握数据分析的 基本方法，根据问题的背景选择合适的方法；三是通过数据分析，感受数据的随 机性。 （2）发展学生的应用意识。教学中教师应注重设计贴近学生生活的情境， 使他们经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步发展应用意识。在统计 教学中发展学生应用意识的教学策略，主要体现在以下几个方面：设计问题情 境使学生体会需要收集数据。分析数据能帮助我们做什么。收集和积累统计 应用的例子。开展一些实践活动。 （参看课程标准例 78） 2切忌将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能 统计的核心是数据分析，统计教学的重要目标是鼓励学生从数据中提取尽可 能多的有效信息，体会数据中蕴涵着信息。为了更好地提取信息，学生需要学习 一些整理、描述、分析数据的方法。对此，教师应注重对它们的理解及在实际问 题中的应用，而不只是单纯地计算或绘图。 3注重结果判断原则的不同 “根据数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提 出不同的推断方法，给出不同的推断结果。因此，统计学对结果的判断标准 是好坏 ，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。 ”因此，教 学中教师应把握这个判断原则，防止简单地给出“ 对错” 判断。 总之，在统计教学中要始终抓住数据分析观念这个核心词，培养学生的数据 意识，引导学生通过数据分析来提取信息。 第二部分 综合与实践内容的分析与教学 “综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在 学习活动中，学生将综合运用“数与代数” “图形与几何” “统计与概率”等知识 和方法解决问题。 “综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在 课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。 话题一 综合与实践内容分析 1综合与实践的教育价值 （1）综合与实践有助于学生的发展。 “综合与实践” 重在实践、重在综合。 在学生自主、积极、主动参与活动的过程中，可以发展学生的动手动口能力，培 养学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。 （2）综合与实践有助于学生对数学的全面理解。 “综合与实践”避免了学 科越分越细的倾向，通过问题让学生把学习的数学整合起来，在解决问题过程中 体会数学，比较完整的理解数学。 （3）综合与实践有助于教师的发展。要使学生能充分、自主地参与“综合 与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教材，也由教师、学 生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的且有利于实现 “综合与实践”课程目标的好问题。对问题的选择有利于教师开阔视野，提升自 己的知识及素养。同时， “综合与实践”的实施有助于教师改变教学方式，转变 教育理念。 （4）综合与实践有助于课程的建设。 “综合与实践”的设置沟通了生活中的 数学与课堂上数学的联系，使得数与代数、几何与图形、统计与概率的内容以综 合的形式出现，丰富和完善了课程的结构。 “综合与实践”有助于探索创造一些 新的教与学的模式。 2 “综合与实践”的教学要求与教学环节 （1） “综合与实践”在第三学段的教学要求 初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用 数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方 法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难 的勇气，具备学好数学的信心。 在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广 泛的特点，体会数学的价值。 敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、 - 15 - 合作交流等学习习惯，形成严谨求实、实事求是的科学态度。 （2）第三学段综合与实践的主要教学环节 选题（问题引领）开题（探寻解径）做题（实践操作）结题 （交流评价） 3.“综合与实践”内容的基本特征 （1）综合与实践活动内容的选择要特别突出 “综合” 这种综合不仅表现为数学内部各分支之间的综合、数学与其他学科的综合、 数学与学生日常生活实际的综合，而且还表现为解决问题的过程要求学生的各种 能力、各种方法、各种工具的综合。 “综合”的结果也应该是“综合”的，它应 该提升学生的综合素质，为学生的发展奠基。 （2）综合与实践活动，要特别突出“做”和突出“过程” 教师通过问题引领，让学生全程参与实践过程，经历相对完整的学习活动， 它的核心是学生在教师的引导和帮助下有目标的、自主的实践活动。它不是仅由 例题、习题组成，为讲练模式订做的简单“套餐” 。 话题二 综合与实践案例分析 1第三学段中综合与实践的要求 （1）结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程， 体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。 （2）会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文， 并能进行交流，进一步获得数学活动经验。 （3）通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间 的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。 此处的要求比小学有了明显的提升。主要表现在： 可用知识的面宽了，综合的范围也大了。对学生的能力要求有了提升。 落实新课程理念的任务更具体了。这里面核心词组主要有：建立模型、发现和 提出问题、进一步获得数学获得经验、发展应用意识和能力。 2综合与实践活动课题的来源 要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的综合与实践 的课题是很关键的，课题的选取既可来源于教材，来源于数学本身，也可以来源 于生产实际，还可以由教师、学生，生成、积累和开发，初中的综合与实践的内 容来源比较广泛。 综合与实践活动课题的常见类型（标准提供了 6 种常见的类型）： 解决数学内部问题 的综合与实践活动 解决数学外部问题（生活、其他学 科等）的综合与实践活动 课堂内进行的综 合与实践活动 例 80-用几何研究 代数 例 78-看图说故事 例 21-钮扣分类 例 77-包装盒中的数学 课堂内外结合进 行的综合与实践 活动 例 46-空间想象与 分类计数 例 79-利用树叶的特征对树木分类 例 43-绘制学校平面图 例 22-生活中的轴对称图形 例 23-上学时间 课堂外进行的综 合与实践活动 例 75-直觉的误导 例 76-从年历中想到的 例 45象征性长跑 例 44-旅游计划 这六种类型不是截然分开的。例如，有些活动可以设计成课外的，也可以设 计成课内外相结合的。 热 点聚焦 作业分享之一 “闭门推开窗前月，投石击破水中天” 几何直观教学运应用初探 山东省高唐县第二实验中学 韩少忠 省课程专家 褚爱华推荐：文章名字好，内容也不错，为几何直观定形、定性、定型， 列举了教学中的实例，引导学生观察生活，学 习数学，欣赏美的数学！ 李希昌推荐：韩老师结合自己丰富的教学实例，从学生的视角，谈了自己对几何直 观教学的认识。意味深厚，值得借鉴交流！ - 17 - 指导教师田景振推荐：韩老师结合丰富的教学实例给几何直观定形、定性、定型。 该文充分体现了韩老师的教学智慧，这一点尤其值得我们学习！ 新课程标准描述了对几何直观的基本要求“要阐述其基本事实“由几何图 形想象出实物的形状，进行几何与三视图、展开图之间的转化”。课本上除了第 一章丰富的图形世界和九年级视图投影外，还有许多值得我们借鉴的例子，我们 需要对课程的资源加以开发，而不拘泥于这两部分，现结合学习内容及自己教学 实践，粗浅的归纳为三点： 一、几何直观教学要“定形” 我也常对学生这么说“发挥你的想象力”，因为几何直观教学，是对实物的 “定形”，找准了“形”，把一个抽象的数学问题，形象的展示为一个实物模型， 空间的观念才得以生成，例如七年级上册第四章射线 线段 直线的内容，仅 以射线为例，课本以“手电筒”的照射为例子，我们可以继续引发学生的想象， 例如有的学生想到了“流星”，有的想到了“飞机拉线”，还有的学生想到了 “打水漂”等等，这使我感叹不已，赞叹不绝，是啊,我们都生活在的空间中，学 生列举的这些都是他们身边鲜活的例子，都是“射线”的实物模型，再熟悉不过 了，我们还需去挖空心思想吗？我们需要指引他们去挖空心思，需要“抛砖”(不 是去砸人，是“引玉”)，所以几何直观教学，就是要培养学生对几何图像的直观 认识，学会“定形”便是掌握这种能力的一个重要突破。 二 、几何直观教学要“定性” 几何直观教学，最终就是要培养学生，对数学问题归纳而成为“定性”实 物问题，概括出它的实物性质，仅以九年级上册第三章的平行四边形为例， 我们很容易想到平行四边形的变形、不稳定性，根据平行四边形的这些性质，激 发学生的空间观念，概括平行四边形的实物模型，很快有人想到了校门口的“自 动电门”，有的想到了“升降机”，还有的甚至想到了汽车的“防撞器”，我感 觉，学生对于“性”定的很准，而不是仅仅停留于“形”的问题，这就需要我们 积极引导和培养空间概括能力，定性分析，这是学生几何图形观念的核心部分。 三、几何直观教学要“定型” 根据课程标准“通过具体实物认识图形”的要求，几何直观教学，要贴近 生活，要学会创新，这才是发展的动力和源泉，没有创新，就谈不上发展，就 “不能用”，充其量是模仿。现以九年级下册8.3 圆柱圆锥的侧面积为例， 我拿了一个易拉罐的实物模型（圆柱）,“它的侧面是一个什么图形？”，学生答 到“矩形”，我接着问“真的吗？谁展示给我们看？”下面的小组议论纷纷 （“没有剪刀，咋剪开啊？”“有也剪不开啊，这是铁的”“”）,我提示 “我们做过立方体的模型啊,把立方体展开了”，一会后，很多小组想出了办法， 我选择了一个，那个同学，上来后用一张纸把易拉罐围了一周，多余的去掉，然 后展示给大家，又把纸沿一边展开，再次展示给大家，虽然没说一句话，但掌声 一片，“定型”是对问题的升华和深化，是对数学问题的再认识，是借助模型对 数学问题的定型，使之便于学习。 雨后，美丽的彩虹出现在天空，学生们大声喊：“老师，看我在天空画的 弓形，漂亮吗？”“漂亮啊，你们画的？”“嗯”，旁边的男生，不经意的把石 子投在了校园的鱼塘中“老师，快看啊，我在水中画的同心圆，漂亮吗？”“漂 亮啊，也是你们画的？”“嗯”，看着水中的天光云影，是啊，是他们画的呀。 “闭门推开窗前月，投石击破水中天”，其实几何直观教学，就在他们身边，嘴 角，心底。 几何直观帮大忙 山东潍坊滨海经济开发区央子街道中心学校 李灵敏 省课程专家王军艳推荐：李老师通过教学片断阐述了几何直观在不同知识领域中 的运用。让我们充分感受到几何直观不仅具有发现功能，更能启迪思路，是理解数 学的有效渠道。值得交流。 指导教师徐首军推荐：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助 于探索解决复杂问题的思路，预测结果，李老 师的几何直观帮大忙值得大家借鉴！ 几何直观是新修订的课程标准中的十个核心词之一。课程标准中说：几何直 观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观帮助学生直观的 理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要的作用。 在教学过程中，几何直观可帮了我们大忙： 1有了几何直观，函数不再是老大难。 - 19 - 函数公认为是初中学段数学的难点，学生们也反应函数不好学。我认为函数 之所以不好学在于它的抽象性，给出函数关系式让我们摸不着头脑，到底变量 x 和 y 表示的一种怎样的关系？所以有了函数图像就认识深刻多了，不再有那种 “只闻其声不见其人”的感觉，我们真的见到函数是长什么样，例如一次函数就 是条直线的样子，反比例函数就是双曲线的样子，二次函数就是抛物线的样子呀。 而且，借助于图像各种函数的性质我们都能轻而易举的得到。 2运用几何直观，方程中的行程问题容易多了。 我记得我上学的时候遇到行程问题老师就会画线段的简单示意图将文字表述 的原题，用它淋漓尽致的表示出来，那个时候只觉的这样理解起来容易多了，形 象多了，因此自从会画简单示意图后，行程类的方程应用题对我来说都变得 so easy。那个时候不懂到底为什么可以这样表示，只是觉得挺好用，能轻松帮我解 决问题。随着学习的深入，上了大学我知道这是数形结合，这几天学了课程标准 后我知道更确切应该叫几何直观。以后我会更加详细的传授给我的学生，让他们 受益。 3运用几何直观，三角形内角和是 180 度绝对是真理。 在今年春天非常荣幸的听了潍坊市课堂大赛的几个老师讲了三角形内角 和定理这一节课。虽然说是同课异构，可是都用到了三角形这个道具，而且有 些三角形还做的五花八门，老师们和同学们结合实物三角形，通过剪、拼、 凑等办法，验证了内角和定理，方法多多。在她们的课堂上每个同学都对三角形 有了更深一层的认识，并且还能够拓展得到多边形内角和定理。 4运用结合直观，圆的问题可以“圆满解决”。 小学开始初步见识圆，初中对圆做进一步的研究。圆的内容因为与其他图形 部分联系不大，而一直被视为难点，可是有了几何直观，圆的问题可以“圆满解 决”了。例如，通过折叠发现圆的对称性，两次折叠可以发现垂径定理；通过旋 转圆再结合圆的中心对称性，我们轻松的理解了圆周角弦弧定理；通过展示观察 日出和日落，理解了圆与直线的位置关系；同桌一起做大小圆各一个，合作探究 轻松解决了圆与圆的位置关系等等。 这些仅仅是几何直观在初中学段数学应用中的一角，几何直观的好处是使问 题简单，明了，那样我们的教学也可以轻松，孩子们也会把要我学变成我要学， 达到乐学的效果。几何直观同时教给我们看世界的方式，处理和解决问题方法。 美丽的“数学彩虹”“几何直观” 济南七贤中学 石红菊 省课程专家郑立平推荐：几何直观，就是借助于见到的或想到的几何图形的形象关 系产生对数量关系的直接感知，它是数学新课标的核心理念之一，不仅在“ 图形与 几何”的学习 中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学 习过程中。在数学 教学中，教师应该选择适当的教学内容，培养学生几何直观的能力。石老 师在平 行四边形的判别中，通过设计丰富多彩的活动， 让学生充分经历了观察、猜想、折 叠、展示、争论等知识形成的过程，既符合学生的 认 知规律，又达成了最近发展区 的升华。正如有专家说，知识是什么，是思考的 结果、经验的结果。确实，作为一个 数学教师，我们必须明白：仅仅结果的教育是不能教智慧的，智慧往往表现在过程 中，有关过程的东西只有通过过程来教。 这篇文章无疑带给我们很多启发和思考。 指导教师吴志城推荐：石老师的设计相当精美，图文并茂，并看到了您的实践作法， 给学生一个美妙的数学世界，好遗憾啊， 刚看到您的精品，很吸引我和大家，借鉴 学习了。 晶莹的雨丝，承载着浪漫，轻轻拂过。暮雨,如丝如烟，飘于满天彩虹的山峦。 在这多梦的季节轻舞缠柔。 “赤 橙 黄 绿 青 蓝 紫 ， 谁 持 彩 练 当 空 舞 。 雨 后 复 斜 阳 ， 关 山 阵 阵 苍 毛 泽 东 曾 于 1933 年 夏 所 作 菩 萨 蛮 大 柏 地 一 词 描 绘 了 彩 虹 的 色 彩 。 我们知道，颜色可以由七个基色组成：红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”，由 不同成分的七个基色组成一种颜色，这样，“由七基色组成颜色”就是理解“七 维空间”的“可以看到的源”，“红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”七个数就可以 决定一个颜色。但是，我们看不到“七维空间”，当然，在颜色中，不能取负值， 颜色空间不是七维空间，它仅仅是帮助我们联想的“实物”和基础。 在数学中，需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问 题，这就是几何直观或几何直观能力。有些数学研究的对象是可以“看到的”， - 21 - 可以“触摸的”，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这 是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无根之木、无源之 水，它的“根和源”一定是具体的。 几何直观利用图形描述分析数学问题，将数学问题转化成直观的图，能具体 生动的理解问题，符合中学生思维特点。直观是否只停留在直观、具体上？如何 沟通几何直观与数学本质的联系？几何直观在研究、学习数学中是非常重要的， 它也可以看作最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断 提升这种能力。 一、几何直观之我见 1几何直观含义： 一是几何，在这里几何是指图形. 空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、 主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法、 研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处。 几何直观就是在数学几何图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来 的最大好处。 （1）图形可以帮助我们发现、描述研究的问题； （2）可以帮助我们寻求解决问题的思路； （3）可以帮助我们理解和记忆得到的结果。 几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。 二是直观，在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。 这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要 的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观 就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。 2几何直观的重要性 （1）与数学的内容紧密相联数形结合，生动形象 很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几 何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”， 只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有 这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运 用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。 （2）几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化。 让图形“动起来”，在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这 样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面对几何直观能力也是一种提 升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。 （3）几何直观与“逻辑”、“推理”密不可分合情推理，发散思维 几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形 思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直 观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论 和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。 二、几何直观的培养 1.培养学生空间观念 （1）将空间知识和现实生活联系起来，创设一定的数学生活情境引导学生 感知、理解实物,引导学生在摸一摸、量一量、议一议的过程中探索图形的特征, 使学生在头脑中建立一个个的模型。 （2）教会学生识图，培养图感，不时的让学生画图，在教学中多小结基本 图形，如平行线间加角平分线得等腰三角形。初一学生尤其要这样做。 - 23 - （3）以被动听讲和练习为主的学习方式是难以形成空间观念，培养空间观 念需要大量的实践活动。 2. 培养图感。 （1）使学生逐步养成画图习惯 在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非 常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解 题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将 相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直 观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是 在形象思维的基础上产生的。 （2）重视变换让图形动起来 在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、 圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是 “不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又 往往是运用这些“对称图形”为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是 指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对 称图形，可以把它看