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矩阵论课程课外报告 排污问题的矩阵方法求解 姓 名： 李发传 学 号： 20121213081 学 院： 通信工程学院 矩阵论报告排污问题 20121213081-李发传-2012 级通信 1 班 1 排污问题的矩阵方法求解 李发传 （通信工程学院 20121213081） 摘要：本文采用矩阵函数在微分方程组中的应用来解决问题描述中所提到 的排污问题。通过分析得出结论：第三桶的污水排的最快，其次是第二桶，最 慢的是第一桶，它们都以指数的方式衰减。 1 问题描述 考虑体积均为 V 加仑的三个装满脏水的桶刚开始在编号为 i 的桶里面含有 污染物 ci磅。为了排除污染物，所有的水龙头同时打开，使得新鲜水以 r 加仑/ 秒得速度流进 3 号桶顶部，同时在它的底部的龙头也以 r 加仑/ 秒得速度流进 2 号桶顶部，而 2 号桶的底部的龙头同时也以 r 加仑 /秒得速度流进 1 号桶顶部， 最后 1 号桶的底部以 r 加仑/秒的速度把水排向其他地方。当水龙头开后，在任 何有限时间 t0 时，每个箱子中含污物有多少磅？直观上可由下图 1 表示： 图 1 排污示意图 2 问题分析 我们设第 i 桶在 t 时刻含有污染物为 ,则在 t+ t 时刻含有污物为 i 桶本 有的加上第 i+1 桶流进的然后减去 i 桶流到 i-1 桶的污物，将其表达成如式 （1）： （1） 把方程（1）化简并两边取极限得式（2）： （2） 即 （3） 根据题目条件及（3）式分别写出各桶在 t 时刻所含的污染物： （4） 将（4）式写成矩阵形式有： （5） 式中：A= ，X= 其初始条件为 X(0)= 由矩阵论知识知道关于（5）式的一阶线性常系数微分方程组有且有惟一解： （6） 现在求 A 的特征值 = 容易验证 ，所以 A 的最小多项式为： 可设 （7） 由此可得线性方程组： 矩阵论报告排污问题 20121213081-李发传-2012 级通信 1 班 3 解此方程组得： （8） 将式（8）代入式（7）得： （9） 将式（9）代入式（6）中得： X= （10） 将式（10）解得： （11） 由此求得在任意 t0 时候各桶所含污染物的含量。 3 结论 由式（11）可得出如下结论： （1） 各桶污染物含量随时间呈指数衰减，衰减的速度取决于各桶初始污 物含量 和-r/v
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