2012初中数学远程研修优秀作业4

第三期 2012 年 7 月 30 日（星期一） 总 编：王尚志 编 委：刘青岩 吕学江 褚爱华 云 鹏 陈 杰 姜仲平 谢志平 汤华财 郑立平 刘金广 刘同军 刘建宇 刘 江 王军艳 张延芳 主 编：吕学江 褚爱华 陈 杰 刘同军 目录 专家引领：整体把握初中数学课程大学与高中数学 整体把握初中数学课程 数与代数 专题解读：数与代数内容分析与教学建议 热点聚焦：学员优秀作业展示 智慧分享：获得“数学活动经验”有标准吗？ 数学基本活动经验的内容、层次和获取过程 研修感言 每日之星 优秀班级简报链接 团队心声 作业公告：模块三作业 温馨提示：关于开展在线研讨的通知 专家引领 整体把握初中数学课程大学与高中数学 首都师范大学 王尚志教授 首都师范大学 胡凤娟博士 在这次课程改革中，整体把握数学课程是数学学科特别强调的重点，整体把握义 务教育阶段的数学，整体把握义务教育数学课程理念、目标、内容、实施建议， 这是每一位老师应该认真完成的“基本功” ，越早越好。我们应该把一个比较完整数学 课程交给学生。我们在讲座中将重点讨论初中数学课程为什么分为四大内容领域？以 及数与代数的基本脉络，图形与几何的基本脉络，统计概率基本脉络，综合与实践的 基本脉络。 山东的初中老师大部分都达到专科或本科学历，有必要对大学和高中数学课程有 一个初步了解。 纵观大学数学系的课程，我们可以大致将其分为五类，具体如下：函数类、 代 数类、几何类、统计概率类、应用类。 函数类课程有：数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛 函分析等，这些课程的研究对象都是函数，我们将其归为函数类课程； 代数类课程有：高等代数、抽象代数、初等数论、代数数论、解析数论等，这些 都是研究代数的课程，也称为运算类课程； 几何类课程有：解析几何、微分几何、射影几何、拓扑学等，这些课程研究的对 象都是图形及其性质，我们将其归为几何类课程； 统计概率类课程：概率论、数理统计、统计分析等，显而易见与前面的都不相同， 研究生活中的随机现象，数据处理，并进行判断，我们将其归为概率统计类课程； 应用类课程：运筹学、最优化理论、生物数学、金融数学、经济数学、数学建模、 数学试验等等，这些课程都是研究数学应用或应用数学，即数学在实际生活中应用， 我们将其归为应用类课程。 从上面的分析，有理由说：在数学中， “函数” ， “代数运算”， “图形几何”， “统计概率 数据和随机现象” ， “应用”，它们是最重要的，不仅是它们自身，而且是 - 3 - 它们的综合，例如，泛函分析、代数几何、微分拓扑、随机微分方程等等，都是综合 地运用函数-代数- 几何等解决问题的课程。大学数学的课程代表了数学发展的趋势和 方向，数学课程设置时要考虑的一个重要因素就是数学的发展。 高中数学课程是以六条主线展开，即：函数、运算、几何、统计概率、应用和算 法。这里我们以函数为例进行较为详细的介绍，其他主线请参考高中的相关书籍。 在高中阶段的函数的学习主要回答以下四个问题：基本初等函数有哪些？基 本初等函数有哪些重要的性质？研究基本初等函数的方法有哪些？基本初等函数 的应用有哪些？简单幂函数（特别是整数幂函数） 、指数函数、对数函数、三角函数 是基本函数，又称为基本初等函数。单调性、周期性、对称性是基本的性质，还有函 数的定义域、值域、最值等性质是函数的重要性质。研究函数的基本方法一般有两种， 一种通过代数运算研究函数，另一种方法微积分方法用导数和积分研究函数。函 数应用主要反映在两个方面：一方面，在研究数学问题的应用；另一方面，用函数思 想解决其他学科问题，如物理、化学、生物中的问题；更值得关注的是用函数思想解 决简单的实际问题。 了解了大学、高中的课程内容结构之后，对初中内容领域的划分就不难理解了。 在初中阶段，刚刚开始接触函数，没有太多展开，把函数与运算合为一体，成为数与 代数；在初中与几何主线相对应的是“图形与几何 ”；统计概率主线不变；与应用主线 相一致的内容是“综合与实践” 。 实际上，上述分类只是帮助大家有一个整体的认识，这些分类、领域之间并不是 割裂开的，是相互联系，相互影响的。 “数与代数”的学习是学习其他领域的基础；“图 形与几何”的学习有助于直观认识和理解其他领域； “统计概率”的学习离不开“数与代 数”、 “图形与几何” 的知识；“综合与实践”的学习更是建立在其他三个领域之上，是对 这三个领域内容的综合与实践。 整体把握初中数学课程 数与代数 首都师范大学 王尚志教授 北京大学附属中学 初中数学部主任 鲍静怡 对初中“数与代数 ”组成的主要 “脉络”，有很多种看法，在这里我们提供一种脉络， 供老师参考。数学与代数由两个基本脉络组成：数、字母与运算；量、关系与模型。 数与代数的基本结构可以如下图表示： 数与代数 数、字母与运 算 运算对象 运算背景 运算规则 运算应用 精确计算和近似计算 量、关系与模 型 从算术到代数 从常量到变量 常量模型：方程、不等式 变量模型：函 数 模型的分类、识别和确定简单的数学建 模 一、数、字母与运算 第一个角度：运算的对象。在初中主要的运算对象有两个：一个是数，另外一个 是字母。通过对数和字母的运算能产生一系列公式。字母是单项式，单项式的和就是 多项式，多项式相除就产生了分式，再加上开方、平方等运算，就产生了代数式，所 以所有的数与代数的概念，用不严格的话来说都是算出来的。 第二个角度：运算的背景。要知道为什么进行加、减、乘、除，只有不断的理解 它们的含义，才有可能灵活的运用这些运算来帮助我们解决问题。 第三个角度：运算的法则。在初中阶段学习了一系列的运算法则，比如说结合律、 交换律、分配律；还有括号先运算，先乘除后加减，等式的运算性质。我们希望不仅 要教给学生这些运算的法则，而且要帮助学生去体会，我们为什么要制定这些法则。 希望老师们能够理解运算法则的作用是要保证运算结果的唯一性。 第四个角度：运算的应用。就是我们学会了这么多的运算，到底有什么用，在哪 儿能发挥他的作用，我想这件事情也是非常重要的。 第五个角度：精确计算和近似计算。是我们在运算中精确的运算，也有近似的运 - 5 - 算，小学叫估算，到初中我们引入了近似计算，或者逼近的概念，那么这一些对于运 算本身来说都是重要的，所以我们希望通过对于数、字母和运算的认识，我们知道所 谓计算能力的提升不仅仅是算的快，而是包含了我们对于整个数与代数的认识。 二、量、关系与模型 “关系”是初中数学课程的一个焦点问题，包括等量的关系、不等量关系、变量间 的关系等。模型、方程是关系的固化，对关系的理解我们从以下四个角度展开，这里 将上述框图中的常量模型和变量模型放在一起讨论： 第一个角度：从算术到代数。在初中要帮助学生完成从算术到代数的过渡。首先 要清楚算术和代数的差异，算术是一个一个的解决问题，是通过算具体的数解决问题； 代数是一类一类的解决问题，是通过算字母或代数式解决问题。在算术的学习过程中， 如何渗透代数的思想，如何帮助学生顺利的学好代数是初中和小学教师都要关注的一 个问题。 第二个角度：从常量到变量。希望帮助孩子初步的理解常量的模型，常量的模型 最重要的是方程和不等式，方程在初中阶段主要帮助孩子理解的是一元一次方程，一 元二次方程和二元一次方程组，这在整个方程理论中是最最重要的基础。 第三个角度：常量模型和变量模型。所谓常量模型主要是指方程、不等式。所谓 变量的模型，主要是指函数的模型。那么在初中阶段，不仅要帮助学生建立起识别常 量和变量，还要帮学生知道变量与变量间的依赖关系，一个量的变化，可能会引起另 一个量的变化，这是函数最根本也是最重要的一个描述，函数干什么的，函数是研究 变化，而变量是支撑变化的基本概念。 第四个角度：模型的分类、识别和确定简单的数学建模。要帮助孩子初步的 学会对于模型的分类、识别、确定，在数学建模过程中，体现了我们的抽象过程、推 理思想和模型思想，这些应该支撑起整个数与代数的内容，所以希望老师可以用自己 的语言、自己的思考，构建起一个自己的对于数与代数的整体认识，有一个整体的理 解，而不是把知识变成一堆知识点，一个知识点一个知识点的教，那样只能给学生支 离破碎的、不完整的数学，缺乏体系。 专题解读 专题三 数与代数内容分析与教学建议 省课程专家 姜仲平 刘建宇 数与代数部分是义务教育阶段数学课程的重要内容。其学习内容的主线是：从数 及数的运算到代数式及其运算，再到方程和解方程、函数，体现了表示方法的抽 象和运算的逐步抽象。本质上从两个角度理解：一是从数的扩充角度，从常量到变量； 二是从关系的角度，从数量关系的等量关系到不等关系、变化关系。 本模块将和大家一起学习以下三个话题： 话题一 代数课程领域的核心概念及其教学 课程的核心概念是一类课程内容的核心或聚焦点，数学课程的核心概念本质上体 现的是数学的基本思想，即关于数学抽象、数学推理和数学模型的思想，它们是数学 课程、特别是数学课堂教学的主要目标点。义务教育数学课程标准 （2011 版） （以 下简称标准 ）在课程内容栏目中与初中代数课程密切相关的主要包括：符号意识、 运算能力、推理能力、模型思想。 符号意识和运算能力与数学抽象、数学推理联系较为密切，推理能力与数学推理 直接相连，而模型思想就反映了数学模型的思想。 首先谈符号意识。数学符号包括数字、字母、图形、关系式等，数学符号最本质 的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，数源于对数量本质（多与少）的抽象，数 的运算也是对具体操作步骤的抽象；进一步，代数的出现使得字母可以像数那样 进行运算，而且通过符号运算得到的结果具有一般性。符号意识就是学生在认识、运 用数学符号方面的主动性反应。 所以教学过程中培养学生符号意识的重心就应当是让学生能够理解并且运用符号 表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有 一般性；理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 其次谈运算能力。运算包括精确计算和估算。运算能力主要是指能够根据法则和 运算律正确地进行运算的能力，它是运算技能与逻辑思维等的有机整合。 - 7 - 运算蕴含在运用数学概念、法则、公式解决问题的过程中。但需要明确的是，运 算能力的形成不能一蹴而就，它的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽 象，有层次地进行。这个发展要表现出适度性和层次性。 再谈推理能力。数学推理是从一些数学命题推出另一个数学命题的思维形式。它 包括合情推理和演绎推理两类： 合情推理：特殊特殊 特殊一般 或然性推理 演绎推理：一般特殊 必然性推理 合情推理获得猜想，发现结论 演绎推理验证猜想，证明结论 可以让学生感悟，有些问题是可以通过具体问题“概括”出结论，然后通过一般 性证明来验证自己所发现结论的，这就是数学推理过程，或者说，数学推理能力就表 现在这样的思维过程之中。 最后谈谈模型思想。数学模型，就是采用形式化的数学语言，抽象地、概括地表 征研究对象的主要数学特征和关系的一种数学结构。数学建模就是通过建立数学模型 的方法来求得问题解决的数学活动过程。模型思想的本质体现了数学与外部世界的联 系，是有效应用数学解决外部问题的基本途径。 模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟，使学生经历“问题情 境建立模型求解验证”的数学活动过程。 话题二 数与代数内容结构分析及其教学 初中代数的主要研究对象是：符号（数、字母等） ，运算（四则 运算、乘方、开方） ，数量关系（等量、不等、变化规律） ，模型（方程、不等式、函 数） 。 数量关系是核心，符号和运算是刻画数量关系的重要语言，方程、不等式与函 数是刻画数量关系的数学模型。 （一）数与式 初中阶段有关数的教学内容主要是完成两次数系的扩充（第一次数系扩充：正数、 零有理数；第二次数系扩充：有理数实数 ） 。 完成一个数系的扩充，需要做的事情包括：引入一个新的对象，建立相关概念； 定义相应的运算法则、明确运算律。所以，学生的学习过程就应是：引入负数（无理 数） 、定义有理数（实数）的运算、明确运算律，并且保证新的运算与先前的运算不 矛盾。 数的学习关键是“表示法”和“运算” 。其中，表示法比较新相对小学而言， 多了方向的要素，学生可能开始不习惯，这里，借助数轴可以对教学有所帮助；其次， 运算则更多地体现为相似从运算法则到运算律。所以可以采用类比以往运算的方 式，让学生从实例中归纳出运算律。这样不仅可以加深学生对知识的理解，还可以发 展他们的归纳与类比能力。数的运算：类比以往的运算，通过实例归纳出运算律。需 要注意的是，最简二次根式的引入主要是明确相关运算的要求算到哪一步为准， 而不希望引入复杂的根式运算。 与数相类似，字母符号的教学内容主要是字母表示数和代数运算，代数运算就是 加、减、乘、除、乘方和开方等。所以，通常将代数式按照对字母进行运算的种类进 行分类，从而形成如下代数式的体系结构： 整 式有 理 式代 数 式 分 式二 次 根 式 由此可见，代数式的教学过程中，字母表示数是基础，运算是核心。应当在学习 加、减、乘、除和乘方、开方等运算过程中，深化对字母表示数含义的理解。对代数 式运算的学习而言，加、减、乘、除和乘方、开方是根本；代数式化简与因式分解是 运算目标（本质上属于对代数运算的应用） ；“求代数式的值”则是沟通数与式的桥 梁。 代数就是“字母代表数” 。它的作用是可以用一个抽象的字母表 示任何具体的数。从历史上看，代数产生的重要标志是“字母（特别是表示未知数的 字母）可以加入到运算中来，而不仅仅是数了” 。它是实现我们前面提到的“符号意 识”的基本保证。进一步，由字母和运算符号连接起来的代数式就成为了学习对象。 学习这些内容能帮助学生建立数感与符号意识，提升运算能力。为进一步学习方 程、函数等后续学习打下基础。 字母表示数不仅仅是学习代数式的基础，更是整个代数的基础。 所以，应将它贯穿于学习数与代数的始终。在实际教学中可从以下方面做些努力： 1.关注学生已有的体验与经验，重视中小衔接； 2.重视借助现实情境和简单问题中数量关系学习用字母表示数； 3.运用求代数式的值促进对字母表示数的理解。 关于代数式运算的难易程度的把握要注意： - 9 - 1.多项式相乘，仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘； 2.乘法公式，只要求两组公式：(a+b)( a- b) = a2- b2 和(ab) 2 = a 22ab + b 2；因此， 利用公式法进行因式分解也同样限于这两组公式，而且限定直接利用公式不超过二次。 教学与考试中，要严格恪守此项规定； 3.因式分解，提取公因式法和公式法是实施因式分解的基本方法，是通法；十字 相乘法固然也是完成因式分解的一种方法，但不是通法，教学中可以介绍给学生，不 宜要求过高，训练过多，也不宜过于强调技巧； 4. 二次根式，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运 算，如 3ab， 2ba等，更不要求对根号下的字母进行讨论。 （二）方程与不等式 方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型。在初中阶段的学习对象包括：方 程与方程组的概念，表示方法；一元一次方程，二元一次方程组，三元一次方程组 （选） ，一元二次方程；不等式与不等式组的概念，表示方法；一元一次不等式，一 元一次不等式组。 方程主要内容包括：按照具体的等量关系建立方程或方程组，求解方程或方程组， 应用相关知识和方法解决问题。 不等式主要内容包括：按照具体的不等量关系建立不等式或不等式组，不等式或 不等式组，应用相关知识和方法解决问题。 方程的基本结构是： 不等式的基本结构是： 不等式（组）主要是一元一次不等式、一元一次不等式（组） 。 这部分内容主要变化包括： 1. 新增选学：能解简单的三元一次方程组； 2. 新增：会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等； 3. 新增选学：了解一元二次方程的根与系数的关系； 4. 删去“一元一次不等式组的应用” 。 其基本含义是：通过研究解简单的三元一次方程组，让学生深刻体会化归的数学 思想方法；学习“用判别式判别方程根的情况” ，可以使学生加深理解根的丰富内涵， 为后续沟通方程与函数做铺垫；而“根与系数的关系” ，揭示了一元二次方程根与系 数的内在联系，有利于学生深刻体会确定方程的要素。需要说明的是：选学是指“教 材必须编，教师可以教、可以不教，中考不允许考” 。它们仅仅服务于那些希望了解 更多数学的学生；删去“一元一次不等式组的应用”则是从难度上考虑，而且高中将 要学习线性规划，这两个内容容易重复。 由于“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，相辅相成，共同形成对 数量关系的完整的认识。所以相对方程（组）来说，不等式（组）的学习要求有明显 的“类似”感觉。这样的学习过程也突出了认识过程的“移迁”特点，既有助学生认 识知识、也利于构建知识网络；还对体会数学思维的特点，提高独立思考的水平和能 力有帮助。 需补充一点， 标准上要求：经历估计方程解的过程。估算是利用方程解决实际 问题的过程中重要的方法和策略。一方面，大量的实际问题只要求估算其结果，说明 估算具有重要的使用价值；另一方面，在实际生活中，我们所碰到的方程中绝大多数 无法求得精确解。而我们只要借助计算器等计算工具也可以估计它的解，从而达到解 决问题的目的。所以，估计方程的解是一种方法，很有实用价值。而且，估计方程解 的过程，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代入数值进行计算也 是求方程解的有效途径。需要大家予以足够的重视，贯穿于学习方程与方程组的全过 程。 最后，谈谈研究解决实际问题。它既是学习方程、不等式的出发点，又是学习方 程、不等式的落脚点。所以需要我们投入足够的时间和精力，务求有所突破，确有实 效。在教学中要注意以下几个问题： 1.问题背景要尽可能贴近学生生活的、有现实意义的、富有挑战性的，从而激发 - 11 - 学生学习的兴趣； 2.开展形式多样的数学活动，给学生足够的思考时间，引导和组 织学生在独立 思考的基础上合作交流，让学生不断获取解决问题的经验，提升分析解决问题的能力； 3.应用题大多难在如何从实际问题中抽象出数学问题，构建合适的数学模型。教 学中要在学生充分思考交流的基础上，总结出分析解决问题的常用方法和策略，如抓 住问题中的关键语句、画示意图、列表格等。 （三）函数 函数是研究运动变化的重要数学模型。函数的学习对象包括： 常量和变量；函 数的概念和表示法；一次函数；反比例函数；二次函数。 主要学习内容包括：函数的图像与性质；按照给定的变量变化规律建立函数关系， 分析具体的函数关系所具有的特定性质；应用相关知识和方法解决问题。 在标准中，函数的出现和定位有一些独特之处：一方面，在小学阶段， 标 准就提出了“探索规律”的学习任务，这实际上就是函数学习的初期；另一方面， 初中阶段的数学课程中，函数的定义也仅仅是采用了较为直观的“变量说”：一个变 量的变化，引起另一个变量的变化，而没有采用抽象的“映射说” ；同时，函数的三 要素、函数的单调性，奇偶性等基本特性也没有系统提及；而只是要求结合具体的函 数，有效地渗透，逐步揭示函数的直观、本质特征联系和变化；但同时， 标准 也突出了将函数作为初中代数内容主线的观点。所以，函数学习在初中阶段并不是一 个“全新”的内容，需要关注其与小学阶段的延续性；同时，初中阶段的学习也不是 理论性的，还是以直观研究为主；但需要介绍函数与方程、不等式等内容的联系。 从教学的角度看，应当在帮助学生建立函数概念的过程中：一方面，尽可能地选 取现实生活情境、其他学科案例、小学数学中的相关实例作为学习素材，应当采用尽 早渗透的方式，让学生在不断接触的 过程中逐渐消化吸收，感悟函数概念的本质，而不是“毕其功于一役” ，那样多 半只是流于形式，达不到感受本质特征的目的。另一方面，借助图像分析的方法，是 帮助学生建立函数概念过程中必须要考虑的。 函数与已经学习了的一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等知识之 间的联系：当函数值为一个确定的值时，求解具体的自变量值就使得这个一次函数成 为了一元一次方程；当函数值为一个范围时，求解具体的自变量值就使得这个一次函 数成为了一元一次不等式；而二元一次方程可以视为一次函数的另一种理解角度。进 一步，一元一次方程、二元一次方程（组）和一元一次不等式的解或解集与一次函数 图象上的点有着紧密的联系。反比例函数、二次函数的教学也有类似一些特殊需要关 注的。 最后再谈谈标准对于二次函数提出配方法的要求，它是基本方法，具有较为 普遍的适用价值，既具有基本技能的特征，又具有基本方法的特征。而待定系数法、 给定不共线三点的坐标确定一个二次函数都是选学内容，但对于提升学生数学能力有 着重要的作用。 当然，除此以外，函数应用的教学，仍然是一大重心。 话题三 模型思想及其教学 模型思想是首次列入标准的一个核心概念，模型思想的内涵牵涉到三个对象： 1数学模型：采用形式化的数学语言，抽象地、概括地表征研究对象的主要数 学特征和关系的一种数学结构； 2数学建模：通过建立数学模型的方法来求得问题解决的数学活动过程； 3模型思想：模型思想本质上就是以数学的眼光看待外部世界、应用数学解决 外部世界问题的思想。它强调了数学与外部世界的联系。 数学模型有两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后 所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数 学操作的结构。在初中代数内容里，方程、不等式、函数都是的重要数学模型。 数学建模的过程本质上就是“数学化”的过程。 模型思想体现了应用数学解决问题的意识、想法。标准中多处提到模型思想： 1.经历数与代数的抽象、运算与建模过程 （数与代数总目标） ； 2.通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想； 体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（代数学段目标） ； 3.结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立 模型、解决问题的过程。 （“综合与实践”内容标准） 从数学活动的角度看，帮助学生初步形成模型思想的核心步骤是“数学建模”活 动。而这一活动过程进可以简化为以下三个环节： - 13 - 1.从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；（即发现和提出问题是数学建模的起 点） 2.用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数 量关系和变化规律；（即学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活 动，完成模式构建，得到模型）这是建模最重要的一个环节； 3.求解模型，获得结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。 在帮助学生形成模型思想的过程中，应当注意： 1. 模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟； 2. 使学生经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程； 3. 采用多种学习方式实施“数学建模”活动。 要使学生真正对模型思想有所感悟，需要经历一个长期的过程，在这一过程中， 学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方 法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教学过程中要引导学生运用函数、不 等式（组） 、方程“组” 、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。 数学建模不同于单纯的数学解题，它是一个综合性的过程。这一过程具有问题性、 活动性、过程性、搜索性等特点，其学习方式不能单一化（特别是简单地讲授） ，而 应当多样化。比如下面这些方法： 1. 小课题学习方式：让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成 以后最后提交课题研究报告； 2. 协作式学习方式：在数学建模中以小组为单位在组内进行合理分工，协同作 战，培养学生的团队协作能力； 3. 开放式学习方式：如打破课内课外界限，走入社会，进行数学调查；充分利 用网络资源，收集建模有用信息；鼓励对统一问题的不同建模方式等等； 4. 信息技术环境中的学习方式：充分利用计算机的计算功能、图形实现功能、 特有软件包的应用功能等，寻求建模途径，提高数学建模的有效性。 在数学教学过程中有效地体现模型思想可以使学生在多方面得到发展，包括知识、 技能，思想、方法，也有经验的积累，甚至情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等） 方面也会得到发展。 热 点聚焦 作业分享之一 面对新课标，你准备好了吗？ 有感于教学中的“ 双基” 变“四基” 济南市长清 第三中学 郭莉 省课程专家 云鹏推荐：由“双基” 到“四基”的认识到位，看得出郭老师是认真学习后的有 感而发。值得大家学习。 指导教师 迟麦英推荐：郭老师面对新课标，你准备好了吗？有感于教学中“ 双基”变 “四基”中，道出了自己心中的收获与困惑，可贵的是设想了解决的办法，勇于实践，不 断进。 记忆中，自从上班开始，从教十余年，每次开会，上课，领导都会特别强调：注 重学生的双基-也就是基础知识和知识技能。那时的我们也总是严格按照教材和 大纲的要求这样去要求学生，就是想让学生掌握必要的基础知识，提高他们的知识技 能。 上午细心聆听王尚志教授的讲座，模块二共有六个专题，每一讲都有不同的感受。 这次的讲座从不同的角度，和不同的案例来阐述 2011 版课标，让我们在一线的 教师能够根据理论从教学实践来理解新课标，真的是很贴切！王教授在讲座里把新课 标的精髓一针见血的指出：原课标的双基、双能，提升为四基四能。 其实现在看来，目前的我们，对于这个问题，正处于初学阶段。现在课标中的四 基指的是：基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。也就是我们在教学 - 15 - 中要让学生学会知识、形成技能，更要让学生学会思想方法、学会做人、学会了对学 科知识的爱。 我们可以看出，后来增加的双基比原来的双基更为重要，这也是我们平时所说的 做人比做学问更重要。基本的思想方法和基本的活动经验都是看不见的，原来的基础 知识和知识技能是看得见的。可试想一想如果没有基本的思想方法，我们给孩子们的 基本的知识与技能只能应付考试，也就是仍脱离不了应试教育。 在讲座中，王教授指出：2011 版 课标在继承我国数学教育注重“双基” 传统 的同时，提出新的更符合学生特点的标准，突出了培养学生创新精神和实践能力，提 出了使学生理解和掌握“ 基本的 数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。在强 调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的新要求。 课程目标对教育的标准 又一次体现了从学生出发的这一人文理念。 从其中的案例我们可以发现，王教授一直在告诉我们：教育要从孩子出发，要帮 助学生在数学学习中感悟数学思想，积累数学活动经验。不仅要求教师在课堂上要给 学 生静心再读、再品、再思考的空间，更要求教师与学生大家对话、交流、探讨， 甚至反复研读讨论。在这个问题上，嘉宾老师顾沛也提出了我心中亦存在的困惑：让 学生放开，时间不够怎么办？是呀！每一节课都有一定的学习任务，每学期的时间一 定，完不成教学任务不行啊！于是王教授又提出：整体把握教材，该放的放，该 收 的收。看到这里，我的感想很多，当时的想法就是，回来立刻看本学期的教材，希望 自己根据新的课标试一试。 在教学中，我们也是越来越注重培养学生的数学思想方法。数学思想方法是数学 学习的灵魂，它 是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟 是在学生数学活动中积累的。我觉得，如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想，积 累数学活动经 验，是需要我们数学教师潜心思考与研究的。我们要想方设法帮助学 生积极参与数学学习，重视数学思想的渗透和数学活动经验积累。 我觉得课标里“ 双基” 变“四基”以后，对我们老师的要求会更高，整个课程改革的 推进过程，对教师各方面的要求都会很高，我们教师需要不断学习、不断更新才会有 创新和发展，工作中教师要积极交流，不断的探索，在合作中提升和发展。 作为数学教师的我们，在新课标的要求下需要与时俱进，积极投身新课程改革， 。这就要求我们老师必须为学生的学习和个人发展提供最基本的数学基础和发展方向， 促进他们的健康成长，使人人获得更好的数学素养，不同的人在数学上得到不同的 发展。数学要发展，就需要根据时代的需要，将基础知识、基本技能发展为，基础 知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 试问，面对新的课标要求，我们准备好了吗？而这次研修学习，不就是我们充电， 做准备的最好时机吗？ 积累“数学活动经验”的探索和尝试（节选） 荣成市第二实验中学 董崇华 省课程专家刘江推荐：董老师结合教学案例，阐述了学生获得数学活动经验的四条途径： 在“做数学”的过程中，在“数学探究” 中，在 “数学化” 的过程中，在“课题学习” 中。观点鲜 明，思路清晰，论据充分，分析合理，给我们以有益的启示，值得借鉴与学习。 指导教师 孙志红推荐：新课标要求数学教学在继续保证“双基” 的基础上，还必须启发学 生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验。董校长对此有深刻的认识，通 过几 个教学案例可以看到她独特的活动设计，文章值得阅览，做法值得学习。 1. 在“做数学”的过程中获得数学活动经验 “做数学”的形式多样，如动手做、数学实验等。要通过“做数学”的形式，使学生 动脑、动手、动口，充分利用多种感官协同活动，多渠道、有效地获得数学活动经验。 如， “掷硬币的方法公平吗？” 教学中，设计如下的数学实验活动： 同桌两人做 20 次掷硬币的游戏汇总各组实验数据；累计全班试验结果，分别计算试验累计 到 80 次，120 次，时，正面朝上的频率，完成折线统计图。观察所作统计图，你发 现了什么规律？ 以上实验活动渗透了数据统计的基本方法，学生在活动中，初步建立了随机的概 念，获得了数据统计的基本方法，这就将数学活动经验提升为一种数学的策略性经验 （） 。上述经验的获得对于学生后续知识的学习，以及提高学生的数学素养都是十 分重要的。 2. 在“数学探究”中获得数学活动经验 学生积累丰富的数学活动经验，需要和探究性学习联系在一起。 - 17 - 例如：画出函数 图象。在图象上描出点 A（4，-2） ，找出点 A 关于原点xy8 的对称点 A，点 A在这个图象上吗？画出函数图象上的任意一点 B(a，b)，找出点 B 关于原点 O 的对称点 B，点 B在这个图象上吗？如果将反比例函数的图象绕原点 旋转 180，你有什么发现？ 学生解答这道习题是没有困难的，通过观察、旋转、特殊点验证即可获得结论。 在此基础上，将这个问题作为数学活动的素材，让学生在探究的过程中获得丰富的数 学活动经验。给学生提供探索的时间和空间：要求学生用多种方法探索反比例函数 图象的中心对称性；经验的获取：学生可以通过旋转的方法验证其对称性，也可以 用代数的方法证明，还可以通过全等三角形的几何方法验证；经验的迁移：在此基 础上，学生自然会联想到能否用相应的思想方法研究双曲线的轴对称性；策略的积 累：要说明曲线具有某种性质，可以将一般问题特殊化，只要说明曲线上任意一点具 有某种性质即可。教师要注意引导学生体会蕴含在知识经验中的策略经验，实现“既 长知识，又长智慧”的教学目标，把知识经验提升为策略经验。 3. 在“数学化”的过程中获得数学活动经验 数学来源于生活。将数学知识与它的现实背景紧密联系起来，让学生经历将现实问 题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，在“ 数学化” 的过程中学习，就能使学生 更好地获得体现数学本质的活动经验。 例如 轴对称的应用输气管最短问题 我对本节的数学活动进行了如下设计： 活动一：感受“ 在直线上寻求一点，使这一点到两个定点距离之和最短” 的数学本 质。 1. 如图 1，从 A 城到 B 城有两条路线： （1）AB ；(2)ACB，你选择哪一条路线？ 为什么？ 2.如图 2，在燃气管道 l 上建造一个泵站 P， 分别向两镇 A，B 供气（两镇在管道异侧） ， 要使到 A，B 两镇的输气管长度之和最小， 你能确定泵站 P 的位置吗？说说你的理由。 活动二: 理解“ 在直线上寻求一点，使这一点到两个定点距离之和最短” 的解决策略。 A B C 图 1 A Bl 图 2 A B l 图 3 如图 3，在燃气管道 l 上建造一个泵站 P，分别向 两镇 A，B 供气（两镇在管道同侧） ，要使到 A，B 两镇 的输气管长度之和最小，你还能确定泵站 P 的位置吗？ 此活动设计，在问题驱动下，在学生独立思考下， 在学生互动、老师引导下，实现了新知转化为旧知的过程， 悟出了“在直线上寻求一点，使这一点到两个定点距离之和最短” 的数学本质，理解并 掌握了“在直线上寻求一点，使这一点到两个定点距离之和最短” 的解题策略，这种建 立在理解数学本质基础上的知识与技能是永远不会淡忘的。 4在“课题学习”中获得数学活动经验 教师在课题学习活动的组织与安排、信息的搜集与整理、成果的展示与交流方面， 为学生获得数学活动经验提供了充足的时间和空间。在课题学习中学生通过收集、整 理资料以及合作交流研究成果，实现了个人与他人经验的整合，使具有差异性的个人 经验成为丰富的学习资源。学生在课题学习中获得的研究问题的方法、在交流过程中 的思维碰撞、寻求问题解决的策略等，都将对他们以后的学习和生活产生重要的影响。 （案例略） 作业分享之二 2=1？课程目标四个方面的统筹兼顾 山东大学附属中学 董会丽 省课程专家 陈杰推荐：一个课堂教学的“意外” ，让我们看到了教师教育教学的艺术与智 慧，看到了学生生命活力的展现，看到了如何 围绕一个问题的探索、分析达成多 维教学 目标。这个案例值得我们学习、借 鉴。 指导教师李祖才推荐：董老师对新课程的理解及实践运用到位，体现了一位名师高超的 教学艺术水平，在教学实践中，结合教材，不断探索新的教与学方式，值得大家学习借 - 19 - 鉴。 指导教师 王兴武推荐：昨天错过了一个精彩，名额限制住啦！这属于“ 意外”，今天再次 推荐一下。 自从实行“质疑式教学 ”后，几乎每节课都会有让我始料不及的问题，两年前，学 习等式的基本性质（七年级上册）一节时，上课铃刚响，数学才子小宋同学一改上课 常规，跑到讲台上，跟我说：“老师，您上课前先允许我让同学们见证一个奇迹吧！” “奇迹？好！ ”同学们齐喊。 “质疑式教学 ”对板演的问题是有规定的：个人提出-小组交流教师审查，他今 天不按常规出牌啊，再看看他兴高采烈的样子，我点点头，虽然带着疑惑。 他刷刷地在黑板上写着，我和同学们一样，瞪大眼睛看着，我越看越乐： “老师、同学们， 奇迹的根源在哪里？” 这小家伙，我都要崇拜他了。他的“奇迹” 是本节课的难点，也是每一届学生用因 式分解法解一元二次方程丢根的根源所在，教书十几年，从没想到用这个方法解决， 我，心里美死了，又暗暗庆幸自己上课初没有因为它的非常规出牌而扼杀他的创造力， 但有学生没学的知识-整式乘法与因式分解。 质疑式教学，鼓励学生善于发现并提出问题，并尽量解决问题，他一旦问题解决 了，这个问题就交给他引导全班同学解决。 他毕业已两年了，但他当时和同学们对话的情景至今历历在目。 “假设中的 a、b 等不等于 0？” 他一愣，“等于 0 不可以吗？ ” “不可以，根据等式的基本性质，两边不能同除以 0，而你在 2b=b 两边同除以 0 了。” “那好，设 a=b0，奇迹的根源在哪里？” “？” 同学们瞪大眼睛，一步步搜寻着，动手演算着，小宋同学得意地巡视着，好多小 手相继举了起来。 “问题出在第（ 4）步，还是两边同除以 0 造成的。” “这个奇迹告诉我们应注意什么问题？” “等式两边不能同除以 0！ ”很大的声音。 小宋心满意足地回到自己的座位上。 我，不太过瘾，继续发挥“奇迹” 的作用： “你们在关注假设中的 a、 b 是否等于 0 时，用到了什么数学思想？ ” “分类讨论！ ” “解决这个问题用到了什么知识？” “等式的基本性质！ ”（跟踪他们的学习，初三解像型的方程，只有一两个学生丢 根-1。） “你们怎么知道问题不是出在第（3）步上？”-整式的乘法、因式分解当时还都 没学。 “我是倒着找原因的 。” -执果索因 “我代了个数算算，第（ 3）步正确。” -合情推理 “我用分配律推导，第（ 3）步和第（2）步结果一样。” -演绎推理 “你们在解决这个问题的过程中，还有什么感受？” “我想问问小宋同学，你发现这个问题的？” -向同伴学习 “预习等式的基本性质时，两边可以加上、减去 0，也乘以 0，但不能除以 0，因 为 0 不能作除数；我随手在演草纸上写下 32，两边都乘以 0，得到 00，太奇怪了， 我就上网查数学陷阱。” “老师，我觉着数学很有用，能帮助我们揭示伪科学的东西。” -乖乖，科学态 度都初步具备了。 - 21 - 大半节课过去了，我预设的引入还没开始呢，只是我非常清楚，不会再用自己的 设计啰嗦一个字了。 确立精准学习目标 优化课堂教学环节 东营市育才学校 高燕 省课程专家 谢志平推荐：从课程目标的四个方面来看本节课：知识技能要求会从实际问 题中抽象出数学模型，解决实际问题；数学思考要求通过观察、实践、 讨论等活动，积累 利用一元一次不 等式解决实际问题的经验；问题解决要求在积极参与数学学习活动的 过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值；情感态度要求形成实事求是的态度和独 立思考的习惯。高老师的教学设计基本体现了这四个方面。 指导教师姜妮娜推荐：一位热爱教学，关注教学，经常积累自己课堂点滴的教师，才会 不断在课堂上得到精彩。本节课在教学环节的设计上要充分体现课程目标但也要以学 生的自主学习为主线，并随时根据课堂实际授课情况，及时调整教师的精心预设， 还学 生学习的主动权，建构“先学、展示、反馈”的课堂流程，只有这样，才能把课堂教学环节 的优化真正地落实到课堂上，才能打造真实的高效课堂。 指导教师 董向东推荐：小组合作学习是新课程所倡导的一种新的学习方式，在促进学生 间的情感交流、互帮互学、共同提高，发挥学生学习的主动性方面起着积极的作用。高 老师用一元一次不等式的一个教学片断，生动形象的给我们展示了如何确立精确目标， 优化课堂教学环节，非常值得我们学习。 课程标准提出的知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度是一个密切联 系、相互交融的有机整体。课堂教学必须有一个高效可行的、针对性强、易检测的具 体的教学目标，否则就谈不上教学目标的圆满达成。而教学目标的实现又依赖于精准 的确立学习目标。精准的学习目标的确立，就如同一盏明灯，照亮着教师高效点拨引 导和学生合作探究学习的路，这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志， 它对学生的全面、持续、和谐发展，有着重要的意义。 在教学用一元一次不等式解决实际问题时，遇到了这样的一个问题：足球比赛 的计分规则为胜一场得 3 分，平一场得一分，负一场得 0 分，一个队进行了 14 场比 赛，得分不少于 20 分，那么该队至少胜了几场？因为关于比赛规则问题在学习二元 一次方程组中学生有所接触，所以我交给小组讨论合作交流完成。并要求如果讨论完 毕请将你组的思考过程写到黑板上并予以讲解。 经过几分钟的交流讨论，七组的万宝成率先冲到了黑板上，这是一个成绩虽然 不大突出但课上发言却特别积极踊跃的同学，他的回答总能给我许多惊喜。不是因为 他的 回答准确，相反他的回答一般都会偏离于正确答案，但他的答案却能反映出他 最具原生态的思考方式，他的回答能告诉我在学生解决数学问题时，是什么造成了他 们 的思维障碍，作为教师应该在哪方面为学生进行补偿性的讲解。同样，这次也不 例外，他冲到黑板上以后，唰唰唰几下就写出了这个题的解答过程。解设：该队胜了 x 场；平了 y 场；负了（14- x-y）场根据题意，得到不等式组 x+y+(14-x-y)=14 （1） 3x+y20 （2） 然后，就特别得意的回到了座位上。底下的同学有随声附和的，“嗯，对！” （看 来他是有一部分的同盟军的）可一会儿，质疑声就起来了。“老师，他的（1）式不对” ，这时万宝成噌的一下就站起来了“大声嚷道，哪不对了，我是按照题目的叙述直接 列出来的，不就是胜负平共进行了 14 场比赛吗？” ，有一个学生站起来说“ 可你的 （1）式化化就没了，两边就只剩 14 了呀？”这时万宝成看了看黑板，又摸了摸头， 嘿嘿乐了“就是啊，怎么化化就没了呢” 到这了，我出马了，我接着万宝成的话说 “同 学们，咱们一块想想，为什么（1）式会化化就没了呢？”，孩子们七嘴八舌的议论起 来，最后赵雨声站起来说“胜负平共进行 14 场比赛已经作为设时的数量关系，就不能 再做为列方程时的数量关系了”听到此，孩子们由衷的为他响起起了掌声。 七组的答案通不过了，一组又站了起来，张立康迅速的写出了他们组的答案。 解设：该队胜了 x 场；平了 y 场；根据题意得到不等式 3x+（14- x-y）+y20 解，得 x3.5 所以，至少要胜 4 场 - 23 - 同学们竟然都在下面随声附和“对” ，我有点惊讶，难道就因为张立康是班里 数学成绩最好的，孩子们就如此盲从吗？我拖长了声音“真得对吗？” 孩子们在下面安 静了，默默地看着黑板上的解答过程，竟然没有人出声。还是张立康反应的快，“我 知道错哪了，负了（14-x- y）场，应该得 0 分。原来的式子应该改为 3x+y20” 同学 们在下面发出了“ 噢” 的声音。我有片刻的恍惚， “是学生的权威主义作怪还是对 0 的 意义理解不够深刻？” 本题到了 3x+y20 这 一步，学生的思维又陷入了僵局。因为这一章学的是用一 元一次不等式组解决实际问题。遇到了这样的一个问题，学生习惯于列出不等式组解 出解集再取符合条件的 整数来解决，可这道题似乎有点难？问题似乎陷入了僵局。 很难列出另一个不等式。我很想亲自讲了，因为这道题经花费了超出我预期的时间， 这时丰永娟又站了起 来。她说“老师，我觉着应该至少胜三场，” 同学们立刻提出问 题“为什么呀 ”，丰永娟摸了摸头 “我说不出来，但我就是觉着至少应该胜三场”我慢慢 的引导她 “怎么想的呢，把你最初的想法法跟大家说说” 他又摸了摸头好像在捋刚才 的思路然后说道“ 你看吧，这个队如果胜 3 场就能得 9 分了，那他再踢平 11 场不就行 了吗”又由学生提出疑问 “那 2 场甚至 1 场岂不是更少？ ”到这了问题的瓶颈已经突破 了，我又把整个问题交给了小组，由小组讨论解决，不一会 2 组就给出了解答过程。 并且将问题迁移到以前遇到过的另一个题上。“小明有 10 元钱，去文具店买笔芯和笔 记本，一支笔芯枚至 1 元，笔记本每本 3 元，小名决定把 10 元钱都花光，并且笔记 本和笔芯至少买一个，他有几种购买方案？” 至此问题顺利解决了。但也留给了我深深的思考，在教学环节的设计上要充分 体现课程目标但