2013年1月西城区期末高三数学(理科含答案)

北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科）2013.1 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项 1已知集合 ， ，则 （ ）|01AxR|(21)0BxxRAB （A） （B） （C ） （D）(0,)2(,),(,1)(0,) 2在复平面内，复数 的对应点位于（ ）5i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3在极坐标系中，已知点 ，则过点 且平行于极轴的直线的方程是（ ）(2,)6PP （A） （B） sin1sin3 （C） （D）coco 4执行如图所示的程序框图若输出 ， 则框图中15S 处可以填入（ ） （A） （B）2k3k （C） （D）45 5已知函数 ，其中 为常数那么“ ”是“ 为奇函数”的（ ()cosfxbxb0b()fx ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6已知 是正数，且满足 那么 的取值范围是（ ）,ab24ab2ab （A） （B） （C） （D）416(,)5(,16)5(1,6)16(,4)5 7某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的 长度中，最大的是（ ） （A） 25 （B） 6 （C） 7 （D） 42 8将正整数 随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的1,35,6 概率是（ ） （A） （B） （C） （D ）2412263 2 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 已知向量 ， ， .若向量 与向量 共线，则实数 (1,3)a(2,1)b(3,2)cckabk _ 10如图， 中， ， ，RtABC90AC 以 为直径的圆交 于点 ，则4BD ； _D 11设等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 若 ，nannS1a ， ，则 _ 3463kS 12已知椭圆 的两个焦点是 ， ，点 在该椭圆上若 ， 21xy1F2P12|PF 则 的面积是_ 12PF 13已知函数 ，其中 当 时， 的值域是_；()sin)6fx,6xa3()fx 若 的值域是 ，则 的取值范围是_ ,12a 14已知函数 的定义域为 若 常数 ，对 ，有 ，则()fxR0cxR()()fxcf 称函数 具有性质 给定下列三个函数：P ； ； ()2xf()sinfx3()f 其中，具有性质 的函数的序号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分）在 中，已知 ABC3sin21cosB （）求角 的值； B （）若 ， ，求 的面积 2C4 16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 中，底面 为正方形， ，ABCDPABPDA 平面 ，PAD 为棱 的中点E （）求证： / 平面 ；BE （）求证：平面 平面 ； PABCD （）求二面角 的余弦值 17 （本小题满分 13 分）生产 A，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 为正品，小于 为次品现随机抽取这两种元件各 件进行检测，检测结果统计如下：828210 测试指标 70,6)7,82),8),94),10 元件 A 14328 元件 B 06 （）试分别估计元件 A，元件 B 为正品的概率； （）生产一件元件 A，若是正品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件元件 B，若 是正品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元 .在（）的前提下， 2013 年 1 月西城期末数学（理科） 第 3 页 共 8 页 （）记 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量 的分布列和X X 数学期望； （）求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率 18 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 2()xfbR （）求 的单调区间；)(xf （）设 若 ，使 ，求 的取值范围0b13,4()1fx 19 （本小题满分 14 分）如图，已知抛物线 的焦点为 过点 的直线交抛物24yF(2,0)P 线于 ，1(,)Axy 两点，直线 ， 分别与抛物线交于点 ， 2BAFBMN （）求 的值；12y （）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .证明： 为定MN1k2k12 值 20 （本小题满分 13 分）如图，设 是由 个实数组成的 行 列的数表，其中Annija 表示位于第 行第 列的实数，且 .记 为所有这样的数(,12,3)ijn ij1,ija(,)S 表构成的集合 对于 ，记 为 的第 行各数之积， 为 的第 列各数之积令(,AS()iri()jcAj 11()nnijlrc （）请写出一个 ，使得 ；(4,)AS()0lA （）是否存在 ，使得 ？说明理由；9 （）给定正整数 ，对于所有的 ，求 的取值集合n(,)Sn()l 4 北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1D； 2B； 3A； 4C ； 5C ； 6B ； 7C ； 8B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ， ； 11 ； 11626 12 ； 13 ， ； 142, 注：10、13 题第一问 2 分，第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准 给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解法一：因为 ，3sin21cosB 所以 3 分22ci 因为 ， 所以 ， 0s0 从而 ， 5 分tan3B 所以 6 分3B 解法二： 依题意得 ，sin2cos1B 所以 ，2sin()16 即 3 分B 因为 ， 所以 ，01326B 所以 5 分526 所以 6 分3B （）解法一：因为 ， ， 4A3B 根据正弦定理得 ， 7 分siniC 所以 8 分6 因为 ， 9 分512AB 所以 ， 11 分62sinisin()4C 所以 的面积 13 分AB13si2SACB 解法二：因为 ， ， 43 根据正弦定理得 ， 7 分sini 所以 8 分6BCA 2013 年 1 月西城期末数学（理科） 第 5 页 共 8 页 yz OEP CBADx yz NMOEP CBADx 根据余弦定理得 ， 9 分22cosACBABC 化简为 ，解得 11 分2013 所以 的面积 13 分1sin2S 16 （本小题满分 14 分） （）证明：连接 与 相交于点 ，连结 BDACO 因为四边形 为正方形，所以 为 中点B 因为 为棱 中点 EP 所以 3 分/ 因为 平面 ， 平面 ， BACEOC 所以直线 /平面 4 分 （）证明：因为 平面 ，所以 5 分PDP 因为四边形 为正方形，所以 ， 所以 平面 7 分 CA 所以平面 平面 8 分 BC （）解法一：在平面 内过 作直线 PDzAD 因为平面 平面 ，所以 平面 BC 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9 分,zA xyz 设 ，则 4B(0,)(4,0)(,)(0,4)(2,)(1,0)APE 所以 ， 1,3E,C 设平面 的法向量为 ，则有EAC=()x,yzn0,.EACn 所以 取 ，得 11 分 04,3yxz1(,3) 易知平面 的法向量为 12 分 ABCD,0v 所以 13 分|31|cos,|nv 由图可知二面角 的平面角是钝角， E 所以二面角 的余弦值为 14 分BAC13 解法二：取 中点 ， 中点 ，连结 ， DMNN 因为 为正方形，所以 / 由（）可得 平面 NPA 因为 ，所以 PA 由 两两垂直，建立如图所示, 的空间直角坐标系 9 分xyzM 设 ，则 4AB(2,0)(,4)(2,0)(,)(0,2)(1,)BCPE 所以 ， 1,3E,A 设平面 的法向量为 ，则有C=()x,yzn,0.EAn 所以 取 ，得 11 分 04,3yxz1)3,( 6 易知平面 的法向量为 12 分 ABCDv)1,0( 所以 13 分|3|cos,|nv 由图可知二面角 的平面角是钝角， E 所以二面角 的余弦值为 14 分BAC1 17 （本小题满分 13 分） （）解：元件 A 为正品的概率约为 1 分40328415 元件 B 为正品的概率约为 2 分96 （）解：（）随机变量 的所有取值为 3 分X0,43,1 ； ；43(90)5PX(5)20P ； 7 分14 所以，随机变量 的分布列为:X90453015P322 8 分 9 分1904530(5)60EX （）设生产的 5 件元件 B 中正品有 n件，则次品有 件.5n 依题意，得 ， 解得 501()40n196n 所以 ，或 11 分4 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 ，A 则 13 分45318()C()2PA 18.（本小题满分 13 分） （）解： 当 时， 0b1()fx 故 的单调减区间为 ， ；无单调增区间 1 分()fx,0(,) 当 时， 3 分0b 2()bxf 令 ，得 ， ()fx12 和 的情况如下：(,)b(,)bb(,)fx 00( 故 的单调减区间为 ， ；单调增区间为 )f(,)b(,)(,)b 5 分 当 时， 的定义域为 0b()fx|DxR 因为 在 上恒成立， 2()0)f 2013 年 1 月西城期末数学（理科） 第 7 页 共 8 页 故 的单调减区间为 ， ， ；无单调增区间()fx(,)b(,)b(,) 7 分 （）解：因为 ， ，0b13,4 所以 等价于 ，其中 9 分()fx2bx13,4x 设 ， 在区间 上的最大值为 11 分2g()g,()2g 则“ ，使得 ”等价于 13,4x2xb 所以， 的取值范围是 13 分b1(0,4 19 （本小题满分 14 分） （）解：依题意，设直线 的方程为 1 分AB2xmy 将其代入 ，消去 ，整理得 4 分24yx480 从而 5 分128 （）证明：设 ， 3(,)Mxy4(,)Nxy 则 7 分 213434112 122 234yk yxy 设直线 的方程为 ，将其代入 ，消去 ，AMnyx 整理得 9 分240yn 所以 10 分13 同理可得 11 分24y 故 13 分11212344ky 由（）得 ，为定值 14 分12k 20 （本小题满分 13 分） （）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 11 3 分 （）解：不存在 ，使得 4 分(9,)AS()0lA 证明如下： 假设存在 ，使得 (,)()l 因为 ， ，)1ir1,jc9,1)ij 所以 ， ， ， ， ， ， ， 这 个数中有 个 ，(A2 9()rAc2(A 9(c1891 个 91 令 129129()()()()Mr 一方面，由于这 个数中有 个 ， 个 ，从而 891M 另一方面， 表示数表中所有元素之积（记这 个实数之积为 ） ；129()()rAr 8m 也表示 ， 从而 129()cAc m2 8 、相矛盾，从而不存在 ，使得 8 分(9,)AS()0lA （）解：记这 个实数之积为 2np 一方面，从“行”的角度看，有 ；12()()nrr 另一方面，从“列”的角度看，有 cAcA 从而有 10 分1212()()()()n nrArc 注意到 ， ,i,j1,)ijn 下面考虑 ， ， ， ， ， ， ， 中 的个数：1()r2A ()nrcA2( (cA1 由知，上述 个实数中，