2015-2016学年陕西省西安市莲湖区五校联考九年级上期中数学试卷.doc

2015-2016 学年陕西省西安市莲湖区五校联考九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，计 30 分每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1一元二次方程 x22x=0 的根是( ) Ax 1=0，x 2=2 B x1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 2下列事件中，是必然事件的是( ) A打开电视机，正在播放新闻 B父亲年龄比儿子年龄大 C通过长期努力学习，你会成为数学家 D下雨天，每个人都打着雨伞 3如图，矩形的两条对角线的一个交角为 60，两条对角线的长度的和为 20cm，则这个 矩形的一条较短边的长度为( ) A10cm B 8cm C6cm D5cm 4如果 x：（x+y）=3 ：5，那么 x：y=( ) A B C D 5下列命题正确的是( ) A一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B对角线相等的四边形一定是矩形 C两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 6如图，下列条件不能判定ABC 与 ADE 相似的是( ) A B B=ADE C DC=AED 7若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是( ) Ak B k Ck 且 k1 Dk 且 k1 8如图，身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去当 走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3 米，CA=1 米，则树的 高度为( ) A4.5 米 B 6 米 C3 米 D4 米 9某校幵展“文明小卫士” 活动，从学生会“ 督查部”的 3 名学生（2 男 1 女）中随机选两名 进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( ) A B C D 10如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的 一个动点，则 PE+PB 的最小值为( ) A1 B C2 D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11已知 a=4，b=9，c 是 a，b 的比例中项，则 c=_ 12一个口袋中装有 4 个白色球，1 个红色球，7 个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出 1 个球 是白色球的概率是_ 13菱形 ABCD 的一条对角线长为 6cm，边 AB 的长是方程 x27x+12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的面积为_cm 2 14把方程 x2+6x+3=0 变形为（x+h） 2=k 的形式，其中 h，k 为常数，则 k=_ 15现有四张分别标有 1，2，2，3 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀， 从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标 数字不同的概率是_ 16如图，在直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标为 A（1，1） ，B （2，3） ， C（0，3） 现以坐标原点为位似中心，作 ABC，使ABC与ABC 的位似比为 则 点 A 的对应点 A的坐标为_ 三、解答题（共 8 小题，计 72 分） 17解方程： （1）x（x2） =x2； （2） （x+8） （x+1）=12 18如图，DE BC，EFCG， AD：AB=1：3，AE=3 （1）求 EC 的值； （2）求证：ADAG=AFAB 19如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置， 设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，求树高 AB 20如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 = （1）求证：ACD CBD； （2）求ACB 的大小 21如图，在ABCD 中，ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F，连接 BD （1）求证：ABECDF； （2）若 AB=DB，求证：四边形 DFBE 是矩形 22如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地若耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为多少米？ 23小明和小刚做游戏，用一个不透明袋子，里面装有形状、大小完全相同的 2 个红球和 2 个白球，并充分搅匀，让小刚从中摸出一个球不放回，再去摸第二个球，如果两次摸出 的球颜色相同小刚赢，反之小明赢你认为这种游戏是否公平？请你借助树状图或列表的 方法，运用概率的知识予以说明 24如图，已知 AC，EC 分别为正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的对角线，点 E 在 ABC 内，连接 BF， CAE+CBE=90 （1）求证：CAECBF； （2）若 BE=1， AE=2，求 CE 的长 2015-2016 学年陕西省西安市莲湖区五校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，计 30 分每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1一元二次方程 x22x=0 的根是( ) Ax 1=0，x 2=2 B x1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x 22x=0， x（x2） =0， x=0，x 2=0， x1=0，x 2=2， 故选 D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一 元一次方程，难度适中 2下列事件中，是必然事件的是( ) A打开电视机，正在播放新闻 B父亲年龄比儿子年龄大 C通过长期努力学习，你会成为数学家 D下雨天，每个人都打着雨伞 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A、C、D 选项都是不确定事件； B、是必然事件 故选 B 【点评】关键是理解必然事件是一定发生的事件； 解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题， 提高自身的数学素养 3如图，矩形的两条对角线的一个交角为 60，两条对角线的长度的和为 20cm，则这个 矩形的一条较短边的长度为( ) A10cm B 8cm C6cm D5cm 【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质 【专题】计算题 【分析】根据矩形的性质求出 OA=OB，AC=BD，求出 AC 的长，求出 OA 和 OB 的长， 推出等边三角形 OAB，求出 AB=OA，代入求出即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD， OA=OB， AC+BD=20， AC=BD=10cm， OA=OB=5cm， OA=OB，AOB=60 ， OAB 是等边三角形， AB=OA=5cm， 故选 D 【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出 等边三角形 OAB 和求出 OA 的长，题目比较典型，是一道比较好的题目 4如果 x：（x+y）=3 ：5，那么 x：y=( ) A B C D 【考点】比例的性质 【分析】首先根据 x：（x+y）=3：5 可得 5x=3x+3y，整理可得 2x=3y，进而得到 x：y=3：2 【解答】解：x：（x+y ）=3：5， 5x=3x+3y， 2x=3y， x： y=3：2= ， 故选：D 【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积 5下列命题正确的是( ) A一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B对角线相等的四边形一定是矩形 C两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理 【专题】计算题 【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯 形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形； B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改 为对角线相等的平行四边形为矩形； C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC 与 BD 垂直， 但是显然 ABCD 不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图 所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等， 得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形 【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形， 故本选项为假命题； B、对角线相等的四边形不一定是矩形， 例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形， 故本选项为假命题； C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 如图所示：ACBD ，但四边形 ABCD 不是菱形，本选项为假命题； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 已知：四边形 ABCD，AC=BD ，AC BD，OA=OC，OB=OD， 求证：四边形 ABCD 为正方形， 证明：OA=OC，OB=OD ， 四边形为平行四边形，又 AC=BD， 四边形 ABCD 为矩形， ACBD， 四边形 ABCD 为正方形，则本选项为真命题， 故选 D 【点评】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定， 判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的 证明熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键 6如图，下列条件不能判定ABC 与 ADE 相似的是( ) A B B=ADE C DC=AED 【考点】相似三角形的判定 【专题】常规题型 【分析】本题中已知A 是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断 【解答】解：由图得：A=A 当 B=ADE 或 C=AED 或 AE：AC=AD：AB 时，ABC 与 ADE 相似； 也可 AE：AD=AC：AB C 选项中角 A 不是成比例的两边的夹角 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定： 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似 7若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是( ) Ak B k Ck 且 k1 Dk 且 k1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据判别式的意义得到=2 24（k1）（2）0，然后解不等式即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根， =224（k1） （2）0， 解得 k ；且 k10，即 k1 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 8如图，身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去当 走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3 米，CA=1 米，则树的 高度为( ) A4.5 米 B 6 米 C3 米 D4 米 【考点】相似三角形的应用 【专题】应用题 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答 【解答】解：如图： CDBE， ACDABE， AC：AB=CD ：BE， 1： 4=1.5：BE， BE=6m 故选 B 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方 程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想 9某校幵展“文明小卫士” 活动，从学生会“ 督查部”的 3 名学生（2 男 1 女）中随机选两名 进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( ) A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名 男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有 2 种情况， 恰好选中两名男学生的概率是： = 故选 A 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 10如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的 一个动点，则 PE+PB 的最小值为( ) A1 B C2 D 【考点】菱形的性质 【专题】动点型 【分析】由菱形的性质，找出 B 点关于 AC 的对称点 D，连接 DE，则 DE 就是 PE+PB 的 最小值，再由勾股定理可求出 DE 【解答】解：连接 DE、BD， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B、D 关于 AC 对称，连接 PB则 PD=PB， PE+PB=PE+PD=DE， 即 DE 就是 PE+PB 的最小值， BAD=60，AD=AB ， ABD 是等边三角形， AE=BE， DEAB（等腰三角形三线合一的性质） ， 在 RtADE 中，DE= 故选：B 【点评】此题是有关最短路线问题，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11已知 a=4，b=9，c 是 a，b 的比例中项，则 c=6 【考点】比例线段；比例的性质 【专题】计算题 【分析】根据比例中项的概念，得 c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到 c 的值 【解答】解：c 是 a，b 的比例中项， c2=ab， 又 a=4，b=9 ， c2=ab=36， 解得 c=6 【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项根据比例 的基本性质进行计算 12一个口袋中装有 4 个白色球，1 个红色球，7 个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出 1 个球 是白色球的概率是 【考点】概率公式 【分析】从袋中任取一球有 4+1+7=12 种可能，其中摸出白球有四种可能，利用概率公式 进行求解 【解答】解：随机从袋中摸出 1 个球是白色球的概率是 【点评】如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结 果，那么事件 A 的概率 P（A）= 13菱形 ABCD 的一条对角线长为 6cm，边 AB 的长是方程 x27x+12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的面积为 cm2 【考点】菱形的性质；三角形三边关系；勾股定理 【专题】计算题 【分析】根据题意，先求出方程的解，根据三角形的三边关系确定出菱形的边长，再求面 积 【解答】解：边 AB 的长是方程 x27x+12=0 的一个根， x27x+12=0， （x3） （ x4）=0， 解得 x1=3，x 2=4， 当 x1=3 时，3+3=6，根据三角形的三边关系可知不合题意，所以舍去； 当 x2=4 时，4+46，所以菱形的边长为 4cm 菱形的对角线互相垂直构成直角三角形， 利用勾股定理可求另一条对角线的一半长为 = cm， S 菱形 ABCD= =6 cm 故答案为 6 cm 【点评】本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，解这类题的关键是要利用菱形的特性： 菱形的对角线互相垂直构成直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系 14把方程 x2+6x+3=0 变形为（x+h） 2=k 的形式，其中 h，k 为常数，则 k=6 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再通过比 较得到 k 的值 【解答】解：移项，得 x2+6x=3， 配方，得 x2+6x+9=3+9， 所以， （x+3） 2=6 故答案是：6 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用 配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 15现有四张分别标有 1，2，2，3 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀， 从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标 数字不同的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字不同的情 况，再利用概率公式求解即可 【解答】解：列表得： 1 2 2 3 1 11 12 12 13 2 21 22 22 23 2 21 22 22 23 3 31 32 32 33 共有 16 种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有 10 种， 两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 = 故答案为： 【点评】考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 16如图，在直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标为 A（1，1） ，B （2，3） ， C（0，3） 现以坐标原点为位似中心，作 ABC，使ABC与ABC 的位似比为 则 点 A 的对应点 A的坐标为（ ， ）或（ ， ） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】位似是特殊的相似，若两个图形ABC 和 ABC以原点为位似中心，相似比是 k，ABC 上一点的坐标是（x，y） ，则在 ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或 （kx ， ky） 【解答】解：在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（ kx，ky） A的坐标为：（ ， ）或（ ， ） 故答案为：（ ， ）或（ ， ） 【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两 个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键 三、解答题（共 8 小题，计 72 分） 17解方程： （1）x（x2） =x2； （2） （x+8） （x+1）=12 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）直接提取公因式（x2） ，可得到（x 2） （x1）=0，再解两个一元一次方程即 可； （2）先去括号，然后利用因式分解法解方程即可 【解答】解：（1）x（x 2）=x2， （ x2） （x1）=0， x2=0 或 x1=0， x1=2，x 2=1； （2）（x+8） （x+1 ）= 12， x2+9x+20=0， （ x+4） （x+5 ）=0 ， x1=4，x 2=5 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是要掌握因 式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分 解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个 一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 18如图，DE BC，EFCG， AD：AB=1：3，AE=3 （1）求 EC 的值； （2）求证：ADAG=AFAB 【考点】平行线分线段成比例 【分析】 （1）由平行可得 = ，可求得 AC，且 EC=ACAE，可求得 EC； （2）由平行可知 = = ，可得出结论 【解答】 （1）解： DEBC， = ， 又 = ，AE=3， = ， 解得 AC=9， EC=ACAE=93=6； （2）证明： DEBC，EF CG， = = ， ADAG=AFAB 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比 例是解题的关键 19如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置， 设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，求树高 AB 【考点】相似三角形的应用 【专题】几何图形问题 【分析】先判定DEF 和DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC 的 长，再加上 AC 即可得解 【解答】解：在DEF 和DBC 中， ， DEFDBC， = ， 即 = ， 解得 BC=4， AC=1.5m， AB=AC+BC=1.5+4=5.5m， 即树高 5.5m 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比 较简单，判定出DEF 和DBC 相似是解题的关键 20如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 = （1）求证：ACD CBD； （2）求ACB 的大小 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACDCBD； （2）由（1）知ACD CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A= BCD，然 后由A+ACD=90，可得：BCD+ ACD=90，即ACB=90 【解答】 （1）证明：CD 是边 AB 上的高， ADC=CDB=90， = ACDCBD； （2）解：ACDCBD， A=BCD， 在ACD 中，ADC=90， A+ACD=90， BCD+ACD=90， 即ACB=90 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定 理与性质定理 21如图，在ABCD 中，ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F，连接 BD （1）求证：ABECDF； （2）若 AB=DB，求证：四边形 DFBE 是矩形 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】证明题 【分析】 （1）根据平行四边形性质得出 AB=CD， A=C求出ABD= CDB推出 ABE=CDF，根据 ASA 推出全等即可； （2）根据全等得出 AE=CF，根据平行四边形性质得出 ADBC，AD=BC，推出 DEBF，DE=BF，得出四边形 DFBE 是平行四边形，根据等腰三角形性质得出 DEB=90， 根据矩形的判定推出即可 【解答】证明：（1）在ABCD 中，AB=CD，A= C ABCD， ABD=CDB BE 平分ABD，DF 平分 CDB， ABE= ABD， CDF= CDB ABE=CDF 在 ABE 和 CDF 中， ABECDF（ASA） （2）ABECDF， AE=CF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC， DEBF，DE=BF， 四边形 DFBE 是平行四边形， AB=DB，BE 平分ABD， BEAD，即DEB=90 平行四边形 DFBE 是矩形 【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形 的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能 力 22如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地若耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为多少米？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设路宽为 x，则道路面积为 30x+20xx2，所以所需耕地面积 551=2030（30x+20x x2） ，解方程即可 【解答】解：设修建的路宽为 x 米 则列方程为 2030（30x+20xx 2）=551， 解得 x1=49（舍去） ，x 2=1 答：修建的道路宽为 1 米 【点评】本题涉及一元二次方程的应用，难度中