山西省太原市2017届高三模拟考试数学文科试题（一）含答案

山西省太原市 2017 届高三模拟考试（一） 数学 （文） 试题 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 1A x y lg x ， 2B ，则 （ ） A 2,0 B 0,2 C. 1,2 D 2,2 （ ） A 12i B 12i C. 12i D 12i 3在等差数列 1 3 5 8 1 02 3 3 6a a a a a ，则6（ ） A 8 B 6 D 3 4已知 1 , , , 1a c o s a b s in a，若 ，则 （ ） A 12B 1 C. 32D 1 图像大致为 （ ） A B C. D 6. 已知圆 22:1C x y,直线 :2l y k x,在 1,1 上随机选取一个数 k ,则事件 “ 直线 相离 ” 发生的概率为 （ ） A 12B 222 2327. 执行 如图 的程序框图，已知输出的 0,4s 。若输入的 0,，则实数 m 的最大值为（ ） A 1 B 2 D 4 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A 73B 83C. 42 D 52 9. 已知实数 , 3 0 ,2 2 0 ,2 4 0 ，给出下列四个命题 :则 22z x y的取值范围为（ ） A 1,13 B 1,4 C. 4,135D 4,4510. 已知抛物线 2 4的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于 两点， O 为坐标原点，若 6，则 的面积为（ ） A 6 B 22 D 4 11. 已知函数 30f x s i n w x c o s w x w 在 0, 上有且只有 两 个 零点 ，则实数 w 的取值 范围 为 （ ） A 40,3 B 47,33 C. 7 10,33 D 10 13,33 12. 已知 函数 2102x e x ， 若存在实数 m 使得不等式 22f m n n成立，求 实数 n 的 取值 范围为 （ ） A 1, 1,2 B 1, 1 ,2 C. 1, 0 ,2 D 1, 0 ,2 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 1 1 , , 1a b t ， ,若 /a b a b,则实数 t 14. 已知双曲线经过点 2 2,1 ，其一条渐近线方程为 12则该双曲线的标准方程为 15. 已知三棱锥 A 中， 平面 , 1 , 2B C C D B C C D A B ，则该三棱锥外接球的体积为 16. 已知数列 *111 , 2 1a a n n N ， 则其前 n 项和 = 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ,的内角 ,对的边 ， 2,a b c. （ 1） 证明： 2 ； （ 2） 若 2 2 2 2a c b a c ,求 A . 18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。某汽车经销商 推 出 ,种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图。已知从 ,种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1辆所获得的利润分别是 1万元， 2万元， 3万元。以这 100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替 1位客户采用相应分期付款方式的概率。 （）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车 1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于 2万元的概率； （） 求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车 1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值； （）根据某税收规定 ， 该汽车经销商每月（按 30天计）上交税收的标准如下表： 若该经销商按 上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车 3辆，估计其月纯收入（纯 收入 =总利润 平均值 . 19. 如图，在几何体 ，四边形 菱形，平面 /E ,且 2 2 , 3D F B E E F . （ 1） 证明：平面 平面 （ 2） 若 1，求 几何体 体积 . 20. 已知直线 :l y kx m与椭圆 22:1()0a 相交于 , x 轴， y 轴分别相交于点 N 和 点 M ，且 N ，点 Q 是 点 P 关于 x 轴的对称点， 延长线交椭圆于点 B ，过点 ,x 轴的垂线，垂足分别为11,（ 1） 若 椭圆 C 的左 、 右焦点与其短轴 的 一个端点是正三角形的三个顶点，点 312D，在椭圆 C 上，求椭圆 C 的方程； （ 2） 当 12k时， 若 点 N 平分线段11,求椭圆 C 的离心率 . 21. 已知函数 12f x ln x a x a 在 2x 处的切线经过点 4,2 （ 1） 讨论函数 （ 2） 若不等式2211 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线1 ， （ 其中 为参数 ） ，曲线22 2: 2 0x y ， 以原点 O 为极点 ， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 :0l 与曲线12,异于 原点 O ) （ 1） 求曲线12, （ 2） 当 02a 时，求 22B 的取值范围 . 等式选讲 已知 函数 1 02f x x a （ 1） 若不等式 1f x xf m 恒成立，求实数 m 的最大值 ； （ 2） 当 1 2a时，函数 | 2 |1g x f x x 有零点，求实数 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14. 22 14x y6. 1 122 2n 三、解答题 17.（ 1） 证明： 2a ,由 22s s c o s B s , 0,， 2 ， 02B 2或 2， 若 2,则 ,这 与 “ ” 矛盾 , 2. 2 （ 2） 2 2 2 2a c b a c ， 2 2 2 s i c b ， 由 余弦定理得 , 0,，2或2， 当2时，则24A B C ，这与“ ” 矛盾 , 2A ； 当2，由（ 1）得 2， 2222A B C A B A ， 4A （） 由题意得 采用上述分期付款方式销售此品牌汽车 1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于 2万元的概率 为 1 ； （） 由题意得 1 0 0 3 5 2 0 4 5a ， 采用上述分期付款方式销售此品牌汽车 1辆，该汽车经销商从中所获得的利润 的平均值为1 0 . 3 5 2 0 . 4 5 3 0 . 2 = 1 . 8 5 （万元） （ ）由（）可得根据某税收规定 ，按 上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车 3辆，该经销商月利润为 1 3 3 0 =1 6 6 ， 该经销商 上交税款为 1 0 0 1 % 5 0 2 % 1 6 . 5 4 % = 2 . 6 6 ， 该经销商月纯收入的平均值为 1 6 6 = 1 6 3 （万元） . 19.（ 1） 证明： 四边形 菱形 ， D 平面 C 平面 平面 平面 （ 2） 设 交点为 O ， 0AB a a， 由（ 1）得 平面 平面 D ， /E ， D ， 222 8B D E F D F B E ， 22 1 322 E D F B D 四 边 形， 1， 2 2 2 282 c o s 85B D A B A D A B A D B A D a 5a ， 2 2 2 3O A A B O B ， 3 22 2 63A B C D E F A B E F D S O A 四 边 形. 1） 由题意 得222 2 23,191,4,b c 2234,， 所以椭圆 C 的 方程为22143； （ 2 ） 当 12k时， 由12y x m 得 ,0, ,20M m N m ， = N , 2 , 2 , 2 , 2P m m Q m m, 直线 方程为 32y x m ， 设 11,A x y， 由2222121,得 222 2 2 2 21 04 a b x a m x a 21 2242 4 ， 221 222 3 44m a 设 22,B x y， 由22223 ,12x m 得 22 2 2 2229 304 ba b a m a 22 22122 94 ， 222 222 3 494m a ， 点 N 平分线段11124x x m ， 2 2 2 22 2 2 22 3 4 2 3 4 44 9 4m a b m a b ma b a b ， 2234， 1113, 2x m y m ， 代入椭圆方程得2 2 247m b b， 符合题意 ， 2 2 2a b c， 12ce a. 1） 由题意得 221,0f x a 324， x 处的切线方程为 2 2 2y f f x 即 3 2 l n 2 14y a x ， 点 4,2在该切线上 ， 1a ， 22212110x x 函数 0, 单调递减 ； （ 2） 由题意知 0x 且 1x ， 原不等式2211 等价于21121 ln x x ， 设 221 1 1211g x l n x x f xx x x ， 由（ 1）得 0, 单 调递减 ， 且 10f ， 当 01x时， 0 , 0f x g x；当 1x 时， 0 , 0f x g x； 0， 假设存在正数 b ， 使得 0g x b ， 若 01b，当 1， 22 l n 1 11 xg x bx x x ； 若 1b ，当 1 1时， 22 l n 1 11 xg x bx x x ； 不存在这样的正数 b ， 使得 0g x b ， 0, m 的取值范围为 ,0 . 1） 2 ， 22 12x y， 由 ， 得曲线 1C 的极坐标方程为 2 22= 1 ， 2220x y y ，曲线2 ； （ 2） 由（ 1）得 22 221 s i ， 22 24 n ， 222 222224 s i n 4 1 s i n 41 s i n 1 s i O B 02， 21 1 ， 2226 1 s i n 91 s i n ， 2 2B 的取值范围为 2,5 . （ 1） 12f x x a a ， 12