2017年北京市房山高三一模数学理试题及答案

房山区 2017 年高考第一次模拟测试试卷 数学（理科） 第卷 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1、已知集合 ，则2|4,|0AxBxAB A B C D|0|2,12, 2、已知 满足 ，则 的最小值为,xy10xy A-1 B2 C3 D3 3、执行如图所示的程序框图，输出的 值为y A15 B17 C19 D21 4、某几何体的三视图总的三角形都是直角三角形，如图所示， 则该几何体红直角三角形的个数为 A1 B2 C3 D4 5、在 中，若 ，则A2,233ABCaSc A B2 C D43 6、 “直线 的方程为 ”是“直线 平分圆 的周长”的l0xyl22(1)()1xy A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7、由表格中的数据可以判定函数 的一个零点所在的区间是 ，ln2fx(,1)kZ 则 的值为k A1 B2 C3 D4 8、某校组织学生假期游学活动，设计了两条路线：A 路线为“山西寻根之旅” ，B 路线为“齐鲁文 化之旅” ，现调查了 50 名学生的游学意愿，有如下结果：选择 A 路线的人数是全体的五分之三，选 择 B 路线的人数比选择 A 路线的人数多 3；另外，两条路线 A、B 都不选择的学生人数比两条路线 A、B 都选择的人数的三分之一多 3，则两条路线 A、B 都不选择的学生人数为 A8 B9 C10 D11 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 9、在复平面内，复数 对应的点的坐标为 (2)i 10、古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元、明代则处于其发展的鼎盛阶段，其中表现之一 为会试南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为 ，若明宣德五年会试录取人数为 1001:72 人，则中卷录取的人数为 11、已知向量 ，则 (1,)(,)abkab 12、双曲线 的右焦点为 ，则此双曲线的渐近线方程为 20yx(2,0) 13、已知函数 ，则 ， 的值域为 31,2xf(1)ffx 14、 中华人民共和国个人所得税法规定：2011 年 9 月 1 日开始个人所得税齐征点由原来超过的 2000 元提高到 3500 元，也就是说原来越收入超过 2000 元的部分需要纳税，2011 年 9 月 1 日开始 超过 3500 元的部分需要纳税，若税法修改后超过部分的税率相同，按下表分段计税： 某职工 2011 年 5 月缴纳个人所得税 295 元，在收入不变的情况下，2011 年 10 月该职工需交纳 个人所得税 元. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、 （本小题满分 13 分） 在数列 中， 是等比数列，且 .na142,9,nab1nba （1）求 的通项公式； （2）求 的前 n 项和. 16、 （本小题满分 13 分） 已知函数 .1sin(cosi)2fxx （1）求 的最小正周期； （2）求 的单调递减区间.fx 17、 （本小题满分 13 分） 某中学高一、高二年级各有 8 个班，学校调查了衣蛾学期各班的文学名著阅读量（单位：本） ， 并根据调查结果，得到如下所示的茎叶图： 为鼓励学生阅读，在高一、高二两个两个年级中，学校将阅读量高于本年级阅读量平均数的班级 命名为该年级的“书香班级”. （1）当 时，记高一年级“书香班级”数为 ，高二年级的“书香班级”数为 ，比较4amn 的大小关系；,mn （2）在高一年级 8 个班级中，任意选取两个，求这两个班级均是“书香班级”的概率； （3）若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数，求 的值（只需写出结论）a 18、 （本小题满分 14 分） 如图 1，在直角梯形 中， ，沿 将ABCD/,2,ABCDEAB 折起到 的位置，连接 分别为 的中点，如图 2.AED11MN1 （1）求证： ； （2）求证： 平面 ；/MN1AED （3）在棱 上是否存在一点 G，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，1B1ABC1AGB 说明理由. 20、 （本小题满分 14 分） 在圆中直径所对的圆周角是直角，有同学类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径， 已知椭圆 是椭圆 的直径 2:1,3xCyABC （1）求椭圆 的离心率； （2）该同学几何画板在椭圆 上取了几个点，通过测量发现每一个点与 连线的斜率之积不,AB 变，那么对于椭圆任意一点 不与 重合）直线 的斜率之积是否为定值，若是，(M,AB,M 写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由； （3） 是坐标原点， 是按上的一点且第一象限， 关于原点对称为 是 轴上一点，OMM,Ex 是等腰三角形， ，直线 与椭圆的另一个交点为 ，求证： 是直EE NMN 角. 房山区 2017 年高三一模试卷 高三数学（理）参考答案 一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D C A C D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 题号 9 10 11 12 13 14 答案 （- 1，2） 10 2x3y，871-，145 15.解：（I）设等比数列 的公比为 ， ，nbq=nab8=14- ab1=1-ab 3qb14=2 112- n +2 nn 6 分 （II）设数列 的前 项和为 ，则nanSnS+.=21 )1+2()1()()(20 -n 21-n n)(0 13 分n+12- 16. 解:（I） 21+sincosi=)(xxf 21sin2x cs+1 )4+2sin(x 5 分=T （II）由 的单调递减区间为xysin Zk,232，kk+342+ x54kk88 的单调递减区间为 13 分(x) f Zk,85， 17解：（I）当 a=3 时，高二年级阅读量平均数为 21.33，所以 n=3， 高一年级阅读量平均数为 28，所以 m=3， 所以，m=n. 5 分 （II）记三个“书香班级”的分别为 ，其他班级为 ，则cba,3,21 基本事件空间为 共 15 种情况.1,23,.,abc 两个班均是“书香班级”的情况共有 3 种 .c 设“这两个班级均是“书香班级”为事件 ，则A 10 分)(AP315 （3 ） a 的取值为 0. 13 分 18 （ I）证明：因为 DE AB,所以 DE EB, DEEA1 因为 ,所以EAB1 BD面 因为 ,所以 4 分面1 （II）证明：取 中点 F，连结 MF、EFD1 因为 M、F 分别为 中点，所以 MF 为 中位线DAC1、 CDA1 所以 MF= 2/, 因为 ,所以 DE/BC,因为 DC/BEBEAB 所以四边形 BCDE 为矩形，所以 DC/BE 且 DC=BE 因为 N 为 EB 中点，所以 MF/EN 且 MF=EN 所以四边形 MNEF 为平行四边形，所以 MN/EF 因为 ,DEAFM11,面面 所以 MN/面 9 分EA （III）存在，G 为 中点BA1 证明：因为 ,所以DECDE/,1面,1EBA面 因为 GB所 以面 因为 AB11,中 点 ， 所 以为 因为 1,1 BACEC所 以面所 以 14 分 19 （ I） aexf)( 因为函数 在点（1 ， ）处的切线平行于直线)(xfy)(f 2axy 所以 k= e 所以 3 分a2 （II）当 时， 恒成立，所以 在 R 上单调递增00)(xf )(xf 当 时，令 =0,解得aex lnax(,ln)l(,)(f 0 +x 综上所述：当 时， 在 R 上单调递增0a)(xf 当 时， 在 上单调递减，,ln)a GFEDCBA1NM 在 上单调递增 8 分(ln,)a （III）当 欲证曲线 在直线 的上方时 ，10()yfx(e-1)y=x 只需证明： 的最小值大于零exF1)( ，令 ，则)(/ae 0)()(/ eaxF ，因为 所以时 ，0 ，所以 x=ln(a+e-1)x），（ )1ln(-ea)l( ），（ )1ln(ea)(f 0 +)(xf)1ln()1(eaea 因为 所以 ，所以，10a0,0)l( 所以 的最小值大于零xexF)1()( 所以曲线 在直线 的上方 13 分yf-y= 20解答（） ，23acab， 椭圆 的离心率 4 分 C6e3 （）当 的斜率都存在时， 的斜率之积为定值；MAB， MAB， 当椭圆 的直径 不在坐标轴上，点 与 坐标轴对称时， 斜率一个不（ ） MAB， 存在，另一个为 0显然成立 证明：设 是椭圆上一点，且 ，()mn， 213mn