2017年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

第 1 页（共 26 页） 2017 年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象 限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=x|x2+2x30，B=x |0x3，则 AB=（ ） A （0 ，1 ） B （0，3） C （ 1，1） D （ 1，3） 3设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题是真命题 的是（ ） A若 m ，m ，则 B若 m ， ，则 m C若 m， m，则 D若 m，则 m 4在区间1，1上随机取一个数 k，使直线 y=k（x+3）与圆 x2+y2=1 相交的概 率为（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值是（ ） A7 B6 C5 D3 第 2 页（共 26 页） 6在ABC 中，| |= | |，| |=| |=3，则 =（ ） A3 B3 C D 7某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最 长的棱长等于（ ） A B C D 8已知 x，y 满足线性约束条件 ，若 z=x+4y 的最大值与最小值之差为 5，则实数 的值为（ ） A3 B C D1 9将函数 y=cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（x）的图象， 则（ ） Af （x）=sin2x Bf（x）的图象关于 x= 对称 C f（ ）= Df （x）的图象关于（ ，0）对称 10己知函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，f（x +1）为奇函数，f（0）=0，当 x（0，1时，f（x）=log 2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）. 第 3 页（共 26 页） 11若双曲线 的渐近线为 ，则双曲线 C 的 离心率为 12已知 为第四象限角， sin+cos= ，则 tan 的值为 13 （ x2y） 5 的展开式中的 x2y3 系数是 14已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若 g（x）=f（x+1）+5，g（x）为 g（ x）的导函数，对xR，总有 g（x）2x ，则 g（x）x 2+4 的解集为 15以下命题： “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件； 命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“ 若 x1，则 x23x+20” 对于命题 p：x0，使得 x2+x+10，则p：x0，均有 x2+x+10 若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答写出文字说明、证明过程或演算 过程 16已知函数 f（x ）=4cosxsin（x+ ）+m（mR） ，当 x0， 时，f （x） 的最小值为1 （）求 m 的值； （）在ABC 中，已知 f（C）=1，AC=4，延长 AB 至 D，使 BC=BD，且 AD=5，求 ACD 的面积 17在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班 6 名参赛选手的成绩的 茎叶图受到不同程度的污损，如图： （）求乙班总分超过甲班的概率； （）若甲班污损的学生成绩是 90 分，乙班污损的学生成绩为 97 分，现从甲 乙两班所有选手成绩中各随机抽取 2 个，记抽取到成绩高于 90 分的选手的总人 第 4 页（共 26 页） 数为 ，求 的分布列及数学成绩 18若数列a n是公差为 2 的等差数列，数列b n满足 b1=1，b 2=2，且 anbn+bn=nbn+1 （）求数列a n、b n的通项公式； （）设数列c n满足 cn= ，数列c n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n+ 对一切 nN*，求实数 的取值范围 19如图长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，侧棱长为 2，E、F 、G 分别为 CB1、CD 1、AB 的中点 （）求证：FG面 ADD1A1； （）求二面角 BEFC 的余弦值 20已知椭圆 C： + =1（ab 0 ）经过点（ ，1） ，过点 A（0，1）的 动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l 的斜 率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立？若存在，求 出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 26 页） 21已知函数 f（x ）=xlnx+2，g（x）=x 2mx （）求函数 f（x）在t，t+2（t0 ）上的最小值； （）若方程 f（x）+g（x ）=0 有两个不同的实数根，求证：f（1）+g（1） 0； （）若存在 x0 ，e使得 mf（x）+g（x）2x+m 成立，求实数 m 的取值 范围 第 6 页（共 26 页） 2017 年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 zi=2i（i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点所在的象 限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】由 zi=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z， 求出 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】解：由 zi=2i， 得 = ， 则 ， 则 在复平面内对应的点的坐标为：（1，2） ，位于第二象限 故选：B 2已知集合 A=x|x2+2x30，B=x |0x3，则 AB=（ ） A （0 ，1 ） B （0，3） C （ 1，1） D （ 1，3） 【考点】交集及其运算 【分析】求出 A 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：集合 A=x|x2+2x30= （ 3，1） ，B= x|0x3=（0，3） ，则 AB=（0，1） ， 故选：A 第 7 页（共 26 页） 3设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题是真命题 的是（ ） A若 m ，m ，则 B若 m ， ，则 m C若 m， m，则 D若 m，则 m 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，m 或 m；在 C 中，由面 面垂直的判定定理得 ；在 D 中，m与 相交、平行或 m 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 m，m ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 m， ，则 m 或 m，故 B 错误； 在 C 中，若 m，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确； 在 D 中，若 m， ，则 m与 相交、平行或 m，故 D 错误 故选：C 4在区间1，1上随机取一个数 k，使直线 y=k（x+3）与圆 x2+y2=1 相交的概 率为（ ） A B C D 【考点】几何概型 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条 件的 k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求 【解答】解：圆 x2+y2=1 的圆心为（0，0） 圆心到直线 y=k（x+3）的距离为 要使直线 y=k（x+3）与圆 x2+y2=1 相交，则 1，解得 k 在区间1，1上随机取一个数 k，使 y=k（x +3）与圆 x2+y2=1 相交的概率为 第 8 页（共 26 页） = 故选：C 5执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值是（ ） A7 B6 C5 D3 【考点】程序框图 【分析】模拟程序框图的运行过程，根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出 S5 时的值 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是 累加 S=1+02+12+22+（k 1） 2 的值 S=1+02+12+22=65 输出 S=6 故选：B 6在ABC 中，| |= | |，| |=| |=3，则 =（ ） A3 B3 C D 第 9 页（共 26 页） 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关 系，求出 OC，得到ABC 的形状即可求得 【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在ABC 中，| |= | |，| |=| |=3，如图，设 |OC|=x，则|OA|= x，所以 |AO|2+|OC|2=|AC|2 即 3x2+x2=9，解得 x= ， 所以|BC|=3，所以ABC 为等边三角形，所以 =33 = ； 故选：C 7某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最 长的棱长等于（ ） A B C D 第 10 页（共 26 页） 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直 于底面，高为 5 的三棱锥，即可求得 【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面 垂直于底面，高为 5 的三棱锥， 棱锥最长的棱长等于 = ， 故选 C 8已知 x，y 满足线性约束条件 ，若 z=x+4y 的最大值与最小值之差为 5，则实数 的值为（ ） A3 B C D1 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 由得 A（1，4） ，B（，3） 由 z=x+4y，得 y= x+ ， 平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线经过点 A 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大 z=1+44=17 当直线经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最小z=3+4=53 z=x+4y 的最大值与最小值得差为 5 17（5 3）=20 5=5 得 =3 第 11 页（共 26 页） 故选：A 9将函数 y=cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（x）的图象， 则（ ） Af （x）=sin2x Bf（x）的图象关于 x= 对称 C f（ ）= Df （x）的图象关于（ ，0）对称 【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换 【分析】利用诱导公式、y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象和 性质，得出结论 【解答】解：将函数 y=cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到 f（x） =cos2（x + ）+ =cos（2x + ）= sin（2x+ ）的图象，故排除 A； 当 x= 时， f（x）=1 ，为最大值，故 f（x ）的图象关于 x= 对称，故 B 正确； f（ ）=sin =sin = ，故排除 C； 当 x= 时， f（x）= sin = 0，故 f（x ）的图象不关于（ ，0）对称， 第 12 页（共 26 页） 故 D 错误， 故选：B 10己知函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，f（x +1）为奇函数，f（0）=0，当 x（0，1时，f（x）=log 2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ） A B C D 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】由 f（x+1）为奇函数，可得 f（x）= f（2x） 由 f（x ）为偶函数可得 f（x）=f（x+4） ，故 f（x）是以 4 为周期的函数当 8x 9 时，求得 f（x） =f（x8）=log 2（x8） 由 log2（x 8）+2= 1 得 x 的值 【解答】解：f（x+1）为奇函数，即 f（x+1）= f（x+1） ，即 f（x ）=f（2x） 当 x（1，2）时，2x （0，1） ，f（x ）=f（2 x）=log 2（2x） 又 f（x）为偶函数，即 f（x）=f（ x） ，于是 f（ x） =f（x+2） ， 即 f（x）= f（x+2）=f（x+4） ，故 f（x ）是以 4 为周期的函数 f（ 1）=0，当 8x9 时，0x 81，f（x ） =f（x 8）=log 2（x8） 由 f（ ）=1，f（x）+2=f（ ）可化为 log2（x 8）+2=1，得 x= 故选：D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）. 11若双曲线 的渐近线为 ，则双曲线 C 的 离心率为 2 【考点】双曲线的简单性质 【分析】先利用双曲线的几何性质，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 第 13 页（共 26 页） ，得 = ，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可 【解答】解：双曲线 的渐近线为 ， = =3 即 e21=3 e=2 故答案为 2 12已知 为第四象限角， sin+cos= ，则 tan 的值为 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号， 求得 cos，sin 的值，可得 tan 的值 【解答】解： 为第四象限角， sin+cos= ，sin0，cos0， 1+2sincos= ，2sincos= ， cossin= = = ， 解得 sin= ，cos= ， 则 tan= = ， 故答案为： 第 14 页（共 26 页） 13 （ x2y） 5 的展开式中的 x2y3 系数是 20 【考点】二项式系数的性质 【分析】先求得二项展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于 2、y 的幂指数等于 3，可得 r 的值，即可求得 x2y3 系数 【解答】解：（ x2y） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1= （2） r x5ryr， 令 r=3，可得 x2y3 系数是20， 故答案为：20 14已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若 g（x）=f（x+1）+5，g（x）为 g（ x）的导函数，对xR，总有 g（x）2x ，则 g（x）x 2+4 的解集为 （，1） 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】求出 g（x）的图象关于点（1，5）对称，令 h（x）=g（x）x 24，根 据函数的单调性求出不等式的解集即可 【解答】解：因为函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数， 所以函数 f（x）关于原点对称， 又 g（ x）=f（x+1）+5， 故 g（ x）的图象关于点（1，5）对称， 令 h（x）=g（x）x 24， h（x ）=g （x ）2x， 对xR，g（x）2x， h（x）在 R 上是增函数， 又 h（1）=g（1）（1 ） 24=0， 第 15 页（共 26 页） g （x）x 2+4 的解集是（， 1） ， 故答案为：（，1） 15以下命题： “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件； 命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“ 若 x1，则 x23x+20” 对于命题 p：x0，使得 x2+x+10，则p：x0，均有 x2+x+10 若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上） 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】， “x=1”时“x 23x+2=0”成立， “x23x+2=0”时， “x=1 或 2， ； ，命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“ 若 x1，则 x23x+20” ； ，对于命题 p 的p 只否定结论； ，若 pq 为假命题，则 p，q 中至少有一个为假命题； 【解答】解：对于， “x=1”时“x 23x+2=0”成立， “x23x+2=0”时， “x=1 或 2，故正确； 对于，命题“ 若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x+20” ，正 确； 对于，对于命题 p：x0，使得 x2+x+10，则p ：x0，均有 x2+x+10，故错； 对于，若 pq 为假命题，则 p，q 中至少有一个为假命题，故错； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答写出文字说明、证明过程或演算 过程 16已知函数 f（x ）=4cosxsin（x+ ）+m（mR） ，当 x0， 时，f （x） 第 16 页（共 26 页） 的最小值为1 （）求 m 的值； （）在ABC 中，已知 f（C）=1，AC=4，延长 AB 至 D，使 BC=BD，且 AD=5，求 ACD 的面积 【考点】正弦定理；余弦定理 【分析】 （）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x ） =2sin（2x+ ）+m +1由 x0， ，利用正弦函数的性质可求 2sin（2x+ ） min=1，结合已知可求 m 的值 （）由（）可得 2sin（2C+ ）=1，结合范围 C（0， ） ，可求 C= ，设 BD=BC=x，则 AB=5x，在ACB 中，由余弦定理可解得 x，进而由余弦定理可求 cosA，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，利用三角形面积公式即可计算 得解 【解答】解：（）f（x ）=4cosxsin（x+ ）+m =4cosx（sinxcos +cosxsin ）+m = sin2x+2cos2x+m = sin2x+cos2x+1+m =2sin（2x+ ）+m +1 x0， ，2x + ， ，可得：2sin（2x+ ） min=1， f（ x）= 1=1+m+1，解得：m=1 （）由（）可得：f（x ）=2sin（2x+ ） ， 2sin（2C+ ）=1， C （0，） ，可得：2C + （ ， ） ， 2C+ = ，解得：C= ， 第 17 页（共 26 页） 如图，设 BD=BC=x，则 AB=5x， 在ACB 中，由余弦定理可得：cosC= = ，解得 x= ， cosA= = ，可得：sinA= = ， S ACD = ACADsinA= = 17在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班 6 名参赛选手的成绩的 茎叶图受到不同程度的污损，如图： （）求乙班总分超过甲班的概率； （）若甲班污损的学生成绩是 90 分，乙班污损的学生成绩为 97 分，现从甲 乙两班所有选手成绩中各随机抽取 2 个，记抽取到成绩高于 90 分的选手的总人 数为 ，求 的分布列及数学成绩 【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图 【分析】 （）甲班前 5 位选手的总分为 450，乙班前 5 位选手的总分为 443， 若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98） ， （90，99 ） ， （91 ，99）三种情况，即可得出乙班总分超过甲班的概率 （II） （） 的可能取值为 0，1，2 ，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计 算公式，进而得出分布列与数学期望 【解答】解：（）甲班前 5 位选手的总分为：87+89+90+91+93=450， 第 18 页（共 26 页） 乙班前 5 位选手的总分为：82+85+92+91+93=443， 若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为： （90，98 ） ， （90 ，99） ， （91，99 ）三种情况， 乙班总分超过甲班的概率 P= = （） 的可能取值为 0，1，2，3，4， P（=0 ）= = ， P（=1 ）= = ， P（=2 ）= = ， P（=3 ）= = ， P（=4 ）= = ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P E （）=0 +1 +2 +3 +4 =2 18若数列a n是公差为 2 的等差数列，数列b n满足 b1=1，b 2=2，且 anbn+bn=nbn+1 （）求数列a n、b n的通项公式； 第 19 页（共 26 页） （）设数列c n满足 cn= ，数列c n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n+ 对一切 nN*，求实数 的取值范围 【考点】数列的求和；数列递推式 【分析】 （I）数列 bn满足 b1=1，b 2=2，且 anbn+bn=nbn+1可得 a1+1=2，解得 a1利用等差数列的通项公式可得 an 可得 2nbn=nbn+1，化为 2bn=bn+1，利用等比数列的通项公式可得 bn （）设数列c n满足 cn= = = ，利用“错位相减法”可得数列c n的 前 n 项和为 Tn，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出 【解答】解：（I）数列 bn满足 b1=1，b 2=2，且 anbn+bn=nbn+1 a 1+1=2，解得 a1=1 又数列a n是公差为 2 的等差数列， a n=1+2（n 1）=2n 1 2nb n=nbn+1，化为 2bn=bn+1， 数列b n是等比数列，公比为 2 b n=2n1 （）设数列c n满足 cn= = = ， 数列c n的前 n 项和为 Tn=1+ + ， = + + ， =1+ + + = =2 ， 第 20 页（共 26 页） T n=4 不等式（1） nT n+ ，化为：（ 1） n4 ， n=2k（k N*）时， 4 ， 2 n=2k1（k N*）时，4 ， 2 综上可得：实数 的取值范围是（ 2，2） 19如图长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，侧棱长为 2，E、F 、G 分别为 CB1、CD 1、AB 的中点 （）求证：FG面 ADD1A1； （）求二面角 BEFC 的余弦值 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （）由题意，分别以 DA、DC 、DD 1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直 角坐标系，求出平面 ADD1A1 的一个法向量 ，求出 ，由 可得 FG面 ADD1A1； （）分别求出平面 BEF 与平面 EFC 的一个法向量，利用两法向量所成角的余 弦值求得二面角 BEFC 的余弦值 【解答】 （）证明：ABCD A1B1C1D1 是长方体，且底面边长为 1，侧棱长为 2， 第 21 页（共 26 页） 分别以 DA、 DC、DD 1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则 B（1，1，0） ，F（0， ，1） ，E（ ，1，1） ，G（1， ，0） ， C（ 0，1，0） ， 平面 ADD1A1 的一个法向量为 ， ，且 FG平面 ADD1A1， FG面 ADD1A1； （）解： ， ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ， 则 ，取 y=2，得 ， 平面 EFC 的一个法向量为 ， 则 ，取 y=2，得 cos = = 二面角 BEFC 的余弦值为 第 22 页（共 26 页） 20已知椭圆 C： + =1（ab 0 ）经过点（ ，1） ，过点 A（0，1）的 动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l 的斜 率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立？若存在，求 出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】直线与椭圆的位置关系 【分析】 （1）将点（ ，1）代入椭圆方程，设左焦点为（c，0 ） ，再由斜率公 式，可得 c 的值，结合 a， b，c 的关系，即可得到椭圆方程； （2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立当直线 MN 的斜率为 0 时，由对称性可得 B 在 y 轴上，设为 B（0，t ） ，设直线 MN 的方程 为 x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由假 设可得 kBM+kBN=0，化简整理，可得 t+2m=0，故不存在这样的定点 B 【解答】解：（1）椭圆 C： + =1（ab0 ）经过点（ ，1） ， 可得 + =1，又设左焦点为（ c，0） ，有 = ， 即 c= ，a 2b2=2，解得 a=2，b= ， 则椭圆方程为 + =1； （2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立 当直线 MN 的斜率为 0 时，由对称性可得 B 在 y 轴上，设为 B（0，t） ， 设直线 MN 的方程为 x=my+1， 代入椭圆方程可得， （2+m 2）y 2+2my3=0， 设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ， 可得 y1+y2= ，y 1y2= ， 第 23 页（共 26 页） 由假设可得 kBM+kBN=0， 即为 + =0， 即有 x1y2+x2y1=t（x 1+x2） ， 即 m（y 1+1）y 2+（my 2+1）y 1=tm（y 1+y2）+2， 即有 2my1y2+（y 1+