2017年玉林市、贵港市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x Z|2x 3 0， B=0， 1，则 ） A 3， 2， 1 B 1， 2， 3 C 1， 0， 1， 2， 3 D 0， 1 2若 z=3+4i，则 =（ ） A 1 B 1 C + i D i 3已知点 A（ ， 2）， B（ 0， 3）， C（ 0， 1），则 ） A 30 B 45 C 60 D 120 4随着人民生活水平的提 高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ） A 1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个 B第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C 8 月是空气质量最好的一个月 D 6 月份的空气质量最差 5有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是 老鹰和小鸡的概率是（ ） A B C D 6若 3，则 ） =（ ） A B 2 C D 2 7已知 a= b= ， c= （ ） A c a b B a b c C b c a D b a c 8执行如图所示的程序框图，如果输入的 n=32，那么输出的 M=（ ） A 66 B 65 C 64 D 63 9在 ， ， 上的高为 D 为垂足，且 ） A B C D 10小明在解决三视图还原问题时，错把图一的三视图看成图二的三视图，假设图一所对应几何体中最大的面积为 二所对应几何体中最大面的面积为 视图中所有三角形均为全等的等腰直角三角形，则 =（ ） A 1 B C D 11网络用语 “车珠子 ”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它 “车成珠子 ”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为 12积为 96设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ） A 36 12 9 722已知 O 为坐标原点， 别是双曲线 C： =1 的左右焦点， A 为C 的左顶点， P 为 C 上一点，且 x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 于点M，与 y 轴交于点 E，若直线 y 轴交点为 N， C 的离心率为（ ） A B 2 C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若实数 x、 y 满足条件 ，则 2x+y）的最大值为 14将函数 f（ x） =图象向左 平移 （ 0）个单位后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 15已知椭圆 + =1 与抛物线 p 0）交于 A、 B 两点， |2，则p= 16如图所示， y=f（ x）是可导函数，直线 l： y= 是曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线，若 h（ x） =x），则 h（ x）在 x=1 处的切线方程为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 ， ， = （ n N*） （ 1）求证： + 为等比数列，并求 通项公式 （ 2）数 列 足 3n 1） 数列 前 n 项和 18 2015 男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以 9 连胜的不败战绩赢得第 28 届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一 1 张直通里约奥运会的入场券赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛 有价值球员），如表是易建联在这 9 场比赛中投篮的统计数据 比分 易建联技术统计 投篮命中 罚球命中 全场得分 真实得分率 中国 91 42 新加坡 3/7 6/7 12 中国 76 73 韩国 7/13 6/8 20 中国 84 67 约旦 12/20 2/5 26 中国 75 62 哈萨克期坦 5/7 5/5 15 中国 90 72 黎巴嫩 7/11 5/5 19 中国 85 69 卡塔尔 4/10 4/4 13 中国 104 58 印度 8/12 5/5 21 中国 70 57 伊朗 5/10 2/4 13 中国 78 67 菲律宾 4/14 3/6 11 注：（ 1）表中 a/b 表示出手 b 次命中 a 次； （ 2） 真实得分率）是衡量球员进攻的效率 ，其计算公式为： （ ）从上述 9 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 过 50%的概率； （ ）从上述 9 场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中 少有一场超过 60%的概率； （ ）用 x 来表示易建联某场的得分，用 y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断 y 与 x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由 19如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=1，点 E、 F 分别为 中点，连接 （ 1）求证：直线 平面 （ 2）求三棱锥 F 体积 20已知抛物线 E： x 的焦点为 F，圆 C： x2+2ax+4=0，直线 l 与抛物线 E 交于点 A、 B 两点，与圆 C 切于点 P （ 1）当切点 P 的坐标为（ ， ）时，求直线 l 及圆 C 的方程； （ 2）当 a=2 时，证明： | |定值，并求出该定值 21已知关于 x 的函数 g（ x） = a R）， f（ x） =x） （ 1）当 a= 2 时，求函数 g（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x）在区间（ ， e）内有且只有一个极值点，试求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答【选修 4标系与参数方程】 22已知平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为（ 3， ）曲线 C 的参数方程为 =2 ）（ 为参数） （ ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程； （ ）若 Q 为曲线 C 上的动点，求 中点 M 到直线 l： 2的距离的最小值 【选修 4等式选讲】 23已知 f（ x） =|x 2|+|x+1|+2|x+2| （ 1）求证： f（ x） 5； （ 2）若对任意实数 x， 15 2f（ x） 都成立，求实数 a 的取值范围 2017 年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x Z|2x 3 0， B=0， 1，则 ） A 3， 2， 1 B 1， 2， 3 C 1， 0， 1， 2， 3 D 0， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 列举出全集 A，即可确定出 B 的补集 【解答】 解： 合 A=x Z|2x 3 0= 1， 0， 1， 2， 3， B=0， 1， 1， 2， 3 故选 B 2若 z=3+4i，则 =（ ） A 1 B 1 C + i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知求出 |z|，代入 得答案 【解答】 解： z=3+4i， |z|=5， = 故选： C 3已知点 A（ ， 2）， B（ 0， 3）， C（ 0， 1），则 ） A 30 B 45 C 60 D 120 【考点】 两直线的 夹角与到角问题 【分析】 利用两个向量的数量积的定义，求得 值，可得 值 【解答】 解： 点 A（ ， 2）， B（ 0， 3）， C（ 0， 1）， =（ ， 1）， =（ ， 1）， 则 = = ， 0， 故选： C 4随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ） A 1 月至 8 月空气合格天 数超过 20 天的月份有 5 个 B第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C 8 月是空气质量最好的一个月 D 6 月份的空气质量最差 【考点】 频率分布直方图 【分析】 在 A 中， 1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有： 1 月， 2 月， 6月， 7 月， 8 月，共 5 个；在 B 中，分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重，能求出结果；在 C 中， 8 月空气质量合格的天气达到 30 天；在 D 中， 5 月空气质量合格天气只有 13 天 【解答】 解：在 A 中， 1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有： 1 月， 2 月，6 月， 7 月， 8 月， 共 5 个，故 A 正确； 在 B 中，第一季度合格天数的比重为： ， 第二季度合格天气的比重为： 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，故 B 正确； 在 C 中， 8 月空气质量合格的天气达到 30 天，是空气质量最好的一个月，故 在 D 中， 5 月空气质量合格天气只有 13 天， 5 月份的空气质量最差，故 D 错误 故选： D 5有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是 （ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 求出基本事件的所有可能性，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】 解：将两张卡片排在一起组成两位数， 则共有 4 个，分别为： 老鼠老鹰；老鼠蛇；小鸡老鹰；小鸡蛇， 所组成的图案是老鹰和小鸡的概率 p= ， 故选： C 6若 3，则 ） =（ ） A B 2 C D 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 解： 3，可得： ， ） = = = 故选： A 7已知 a= b= ， c= （ ） A c a b B a b c C b c a D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a= ， c= = =a， 另一方面： a= = ， b= ， c a b 故选： A 8执行如图所示的程序框图，如果输入的 n=32，那么输出的 M=（ ） A 66 B 65 C 64 D 63 【考点】 程序框图 【分析】 根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件，跳出循环，计算输出 可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 当 i=1， M=0，执行循环体， s=32，满足条件 s 为整数， M=1， 当 i=2，不满足条件 i 32，执行循环体， s=16，满足条件 s 为整数， M=3， 当 i=4，不满足条件 i 32，执行循环体， s=8，满足条件 s 为整数， M=3+4=7 当 i=8，不满足 条件 i 32，执行循环体， s=4，满足条件 s 为整数， M=7+8=15 当 i=16，不满足条件 i 32，执行循环体， s=2，满足条件 s 为整数， M=15+16=31 当 i=32，不满足条件 i 32，执行循环体， s=1，满足条件 s 为整数， M=31+32=63， 故选： D 9在 ， ， 上的高为 D 为垂足，且 ） A B C D 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 根据三角形的边角的关系以及余弦定理即可求出 【解答】 解：设 DC=a， 则 a， =2， a， = a， =2 a， 且 D+a， 由余弦定理可得 = = = ， 故选： B 10小明在解决三视图还原问题时，错把图一的三视图看成图二的三视图，假设图一所对应几何体中最大的面积为 二所对应几何体中最大面的面积为 视图中所有三角形均为全等的等腰直角三角形，则 =（ ） A 1 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据已知中的三视图，分别求出两个几何体中 面积最大的面，进而可得答案 【解答】 解：假设三视图中全等的等腰直角三角形的腰长为 a， 则图一的三视图对应的几何体中， 面积最大的面是直角边长为： a， 的直角三角形， 故 ， 图二的三视图对应的几何体中， 面积最大的面是边长为： 的等边三角形，故 = ， 故 = = ， 故选： D 11网络用语 “车珠子 ”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它 “车成珠子 ”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为 12积为 96设条件理想，他能成功，则该 珠子的体积最大值是（ ） A 36 12 9 72考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 求出圆锥的高与母线长，利用等面积，求出轴截面的内切球的半径，即可得出结论 【解答】 解：设圆锥的高为 h=8， 圆锥的母线长为 10 设轴截面的内切球的半径为 r，则 ， r=3 该珠子的体积最大值是 =36 故选 A 12已知 O 为坐标原点， 别是双曲线 C： =1 的左右焦点， A 为C 的左顶点， P 为 C 上一点，且 x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 于点M，与 y 轴交于点 E，若直线 y 轴交点为 N， C 的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据条件求出直线 方程，求出 N， E 的坐标，利用 |2|关系建立方程进行求解即可 【解答】 解： x 轴， 设 M（ c， t）， 则 A（ a， 0）， B（ a， 0）， 斜率 k= ，则 方程为 y= （ x+a）， 令 x=0，则 y= ，即 E（ 0， ）， N（ 0， ）， |2| 2| |=| |， 即 c=2a， 则离心率 e= =2， 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若实数 x、 y 满足条件 ，则 2x+y）的最大值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足约束条件的可行域，先求出真数的最大值，进而可得答案 【解答】 解：满足约束条件 ，的可行域如下图所示： 令 U=2x+y，由 ，可得 A（ 1， 2），直线 U=2x+y 经过 A 时， U=2x+y 取得最大值： 4； 此时 z=2x+y）的最大值为 ， 故答案为： 2 14将函数 f（ x） =图象向左平移 （ 0）个单位后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由两角和的正弦化简 y= 移后由函数为偶函数得到2+ =，由此可求最小正数 的值 【解答】 解： y= （ =22x+ ）， 将函数 y= x R）的图象向左平移 （ 0）个长度单位后， 所得到的图 象对应的函数解析式为 y=22x+2+ ） 所得到的图象关于 y 轴对称， y=22x+2+ ）为偶函数 即 2+ =， = + ， k Z 当 k=0 时， 的最小值为 故答案为： 15已知椭圆 + =1 与抛物线 p 0）交于 A、 B 两点， |2，则p= 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 A 点坐标，由对称性可知： y=1，代入求得 A 的横坐标，代入抛物线方程，即可求得 p 的值 【解答】 解：设 A（ x， y），（ x 0， y 0），由丨 =2， 则 y=1，将 y=1 代入椭圆 + =1，解得： x=2， 将 A（ 2， 1），代入抛物线方程， 1=2p 2， 解得： p= ， 故答案为： 16如图所示， y=f（ x）是可导函数，直线 l： y= 是曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线，若 h（ x） =x），则 h（ x）在 x=1 处的切线方程为 x y+1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由切点以及导数的关系可得 f（ 1） = 1， f（ 1） =2，由乘积的导数求导函数，代值计算可得 h（ x）在 x=1 处的切线斜率，求出 h（ 1），由点斜式方程即 可得到所求切线的方程 【解答】 解： 直线 l： y= 是曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线， 点（ 1， 2）为切点，故 f（ 1） =k， f（ 1） =k+3=2， 解得 k= 1， 故 f（ 1） = 1， f（ 1） =2， 由 h（ x） =x）可得 h（ x） =f（ x） + x）， h（ 1） =f（ 1） +f（ 1） =1， h（ 1） =f（ 1） =2， 则 h（ x）在 x=1 处的切线方程为 y 2=x 1， 即为 x y+1=0 故答案为： x y+1=0 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 ， ， = （ n N*） （ 1）求证： + 为等比数列，并求 通项公式 （ 2）数列 足 3n 1） 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明 + 为等比数列，并求 通项公式 （ 2）利用错误相减法即可求出数列的和 【解答】 解（ 1） ， ， ， 即 = =3（ + ）， 则 + 为等比数列，公比 q=3， 首项为 ， 则 + = ， 即 = + = ，即 （ 2） 3n 1） ， 则数列 前 n 项和 = + + ， 两式相减得 =1 = =2 =2， 则 18 2015 男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以 9 连胜的不败战绩赢得第 28 届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一 1 张直通里约奥运会的入场券赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛 有价值球员），如表是易建联在这 9 场比赛中投篮的统计数据 比分 易建联技术统计 投篮命中 罚球命中 全场得分 真实得分率 中国 91 42 新加坡 3/7 6/7 12 中国 76 73 韩国 7/13 6/8 20 中国 84 67 约旦 12/20 2/5 26 中国 75 62 哈萨克期坦 5/7 5/5 15 中国 90 72 黎巴嫩 7/11 5/5 19 中国 85 69 卡塔尔 4/10 4/4 13 中国 104 58 印度 8/12 5/5 21 中国 70 57 伊朗 5/10 2/4 13 中国 78 67 菲 律宾 4/14 3/6 11 注：（ 1）表中 a/b 表示出手 b 次命中 a 次； （ 2） 真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： （ ）从上述 9 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 过 50%的概率； （ ）从上述 9 场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中 少有一场超过 60%的概率； （ ）用 x 来表示易建联某场的得分，用 y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断 y 与 x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由 【考点】 可 线性化的回归分析；回归分析 【分析】 （ ）由已知，结合古典概型概率计算公式可得：易建联在该场比赛中过 50%的概率； （ ）由已知，结合古典概型概率计算公式可得：易建联在这两场比赛中 少有一场超过 60%的概率； （ ）根据散点图并不是分布在某一条直线的周围，可得结论 【解答】 解：（ ）设易建联在比赛中 过 50%为事件 A， 则共有 8 场比赛中 过 50%， 故 P（ A） = （ ）设易建联在这两场比赛中 少有一场超过 60%为事件 B， 则易建联在这两场比赛中 少有一场均不 超过 60%为事件 ， 由题意可得易建联在比赛中 超过 60%的有 5 场， 故 P（ ） = = ， 故 P（ B） =1 P（ ） = （ ）不具有线性相关关系 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛 19如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=1，点 E、 F 分别为 中点，连接 （ 1）求证：直线 平面 （ 2）求三棱锥 F 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台 的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 G，连接 三角形中位线定理可得 G= ，结合已知可得 E， 四边形 平行四边形，则由线面平行的判定可得直线 平面 （ 2）连接 三角形可得 由 平面 到 平面 平面 平面 D 作 H，可得 平面 解直角三角形得到 C 到平面 距离可求，进一步得到 F 到平面 距离，代入棱锥体积 公式可得三棱锥 F 体积 【解答】 （ 1）证明：如图，取 点 G，连接 则 ， 底面 菱形，且 E 为 点， E， 四边形 平行四边形， 则 面 面 直线 平面 （ 2）解：连接 ， ， 0， ， 又 平面 平面 平面 平面 过 D 作 H， 平面 在 ， ， ，则 C 到平面 距离为 ，则 F 到平面 距离为 = 20已知抛物线 E： x 的焦点为 F，圆 C： x2+2ax+4=0，直线 l 与抛物线 E 交于点 A、 B 两点，与圆 C 切于点 P （ 1）当切点 P 的坐标为（ ， ）时，求直线 l 及圆 C 的方程； （ 2）当 a=2 时，证明： | |定值，并求出该定值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）将 P 代入圆方程，即可求得 a 的 值，求得圆心，根据直线的斜率公式求得 斜率 k，则直线 l 的方程斜率为 ，利用直线的点斜式方程，即可求得 l 的方程； （ 2）将当 l 垂直与 x 轴时，求得 A 和 B 点坐标，利用两点之间的斜率公式，即可求得 | |值；当 l 不垂直于 x 轴时，由直线 l 与圆 C 相切，求得 4kb+，将直线 l 代入抛物线方程利用韦达定理及弦长公式求得 |利用抛物线的定义，丨 +丨 =x1+x2+p，即可求得 | |定值 【解答】 解：（ 1）由圆（ x a） 2+，则圆心（ a， 0） ，半径为 2， 将 P（ ， ）代入圆方程，解得： a=2，或 a= ， 圆的方程（ x 2） 2+，或（ x+ ） 2+， 当 a=2，圆心 C（ 2， 0）则直线 斜率 k= = ， 由直线 l 的斜率为 = ，则直线 l 的方程 y = （ x ），整理得： 4y 3x 4=0； 当 a= 圆心 C（ ， 0）则直线 斜率 k= = ， 由直线 l 的斜率为 = ，则直线 l 的方程 y = （ x ），整理得： 20y+15x 44=0， 综上可知：直线 l 方程： 4y 3x 4=0，圆 C 的方程（ x 2） 2+ 或 直线 l 方程： 20y+15x 44=0，圆 C 的方程（ x+ ） 2+； （ 2）当 a=2 时，圆 C 的方程（ x 2） 2+， 当 l 垂直与 x 轴时，则 x=4， A（ 4， 4）， B（ 4， 4）， 丨 =丨 =5，丨 =8， | |2； 当 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l： y=kx+b（ k 0）， 直线 l 与圆 C 相切，则 =2，则 4kb+， b 0， 0， 则 ，整理得： 24） x+， 由 =（ 24） 2 4 16（ 4kb+=40， 由 x1+ ， ， 丨 = = = ， = ， = ， = ， = ， 由抛物线的性质可知：丨 +丨 =x1+x2+p=x1+， | +2， | | +2 =2， | |定值，定值为 2 21已知关于 x 的函数 g（ x） = a R）， f（ x） =x） （ 1）当 a= 2 时，求函数 g（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x）在区间（ ， e）内 有且只有一个极值点，试求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）求出函数 f（ x）的导数，根据零点存在定理得到 f（ ） f（ e） 0，求出a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） a= 2 时， g（ x） = +2g（ x） = ，（ x 0）， 令 g（ x） 0，解得： x 1，令 g（ x） 0，解得： 0 x 1， 故 g（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， + ）递增； （ 2） f（ x） =x） =2x 义域是（ 0， + ）， f（ x） =2 a（ x+2 若 a=0，则 f（ x） =2 0，不存在极值点，故 a 0， 令