2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， 2，若 A B= 1， 2，则 a 的值为（ ） A 2 或 1 B 0 或 1 C 2 或 1 D 0 或 2 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+2y 的取值范围是（ ） A 6， 22 B 7， 22 C 8， 22 D 7， 23 3在 ，若 ， C=3，则 值为（ ） A B C D 4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 5 “|x+1|+|x 2| 5”是 “ 2 x 3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知 A、 B 分别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 为双曲线上一点，且 等腰三角形，若双曲线的离心率为 ，则 度数为（ ） A 30 B 60 C 120 D 30或 120 7如图，在平行四边形 ， ， ， ，若 M、 N 分别是边 的点，且满足 = =，其中 0， 1，则 的取值范围是（ ） A 3， 1 B 3， 1 C 1， 1 D 1， 3 8已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） m=0 恰有五个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A 0， 4 B（ 0， 4） C（ 4， 5） D（ 0， 5） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9已知复数 =a+ a+b= 10（ ） 8 的展开式中 系数为 （用数字作答） 11已知一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 12在直角坐标系 线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程式 = 4圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 13已知 f（ x） =x， f（ a） =1， f（ b） = 9，则 a+b 的值为 14若不等式 3x2+x+y）对于 x， y R 恒成立，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15已知函数 f（ x） =2 ） ） +2）（ a 0），且函数的最小正周期为 （ ）求 a 的值； （ ）求 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值 16理科竞赛小组有 9 名女生、 12 名男生，从中随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析 （ ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可） （ ）如果随机抽取的 7 名同学的物理、化学成绩（单位：分） 对应如表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91 规定 85 分以上（包括 85 份）为优秀，从这 7 名同学中再抽取 3 名同学，记这 3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 17如图，四棱锥 P ， 底面 P=2，C=1， E 为 一点，且 （ ）求 长； （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 B D 的度数 18设 数列 前 n 项和，已知 ， =2（ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 =3n 1，求数列 前 n 项和 19已知椭圆 E： + =1（ a b 0）经过点（ 2 ， 1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设 P（ x， y）是椭圆 E 上的动点， M（ 2， 0）为一定点，求 |最小值及取得最小值时 P 点的坐标 20设函数 f（ x） = x2+a 0） （ 1）若函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率为 ，求实数 a 的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）设 g（ x） = 1 a） x，当 a 1 时，讨论 f（ x）与 g（ x）图象交点的个数 2017 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， 2，若 A B= 1， 2，则 a 的值为（ ） A 2 或 1 B 0 或 1 C 2 或 1 D 0 或 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 由交集定义得到 或 ，由此能求出 a 的值 【解答】 解： 集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， 2， A B= 1， 2， 或 ， 解得 a= 2 或 a=1 故选： C 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+2y 的取值范围是（ ） A 6， 22 B 7， 22 C 8， 22 D 7， 23 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函 数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 ，作可行域如图 由 z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点 A， B 时，目标函数取得最值， 由： ，可得 A（ 4， 5）， 由 可得 B（ 1， 2）时， 目标函数取得最小值和最大值， 分别为 4+2 5=22， 1+2 2=7 目标函数的范围： 7， 22 故选： B 3在 ，若 ， C=3，则 值为（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 值 【解答】 解：在 ， ， C=3， = = ， = 故选： D 4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S、 i 的值， 当 i=5 时，满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值即可 【解答】 解：模拟执行程序框图， 可得 i=1， S=0， k=1； k=1，不满足条件 i 4， S=1， i=2； k= ，不满足条件 i 4， S= ， i=3； k= ，不满足条件 i 4， S= ， i=4； k= ，不满足条件 i 4， S= ， i=5； k= ，满足条件 i 4，退出循环，输出 S= 故选： C 5 “|x+1|+|x 2| 5”是 “ 2 x 3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对 x 分类讨论，解出不等式 |x+1|+|x 2| 5，即可判断出结论 【解答】 解：由 |x+1|+|x 2| 5， x 2 时，化为 2x 1 5，解得 2 x 3； 1 x 2 时，化为 x+1（ x 2） 5，化为： 3 5，因此 1 x 2； x 1 时，化为 x 1 x+2 5，解得 2x 1 综上可得： 2 x 3 “|x+1|+|x 2| 5”是 “ 2 x 3”的充要条件 故选： C 6已知 A、 B 分别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 为双曲线上一点，且 等腰三角形，若双曲线的离心率为 ，则 度数为（ ） A 30 B 60 C 120 D 30或 120 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 双曲线的离心率为 ，则 a=b，双曲线方程为 y2=用 类讨论，即可求出 度数 【解答】 解：双曲线的离心率为 ，则 a=b，双曲线方程为 y2= 若 |2a，设 P（ m， n），则 ， m=2a， 0， 20； 若 |2a，设 P（ m， n），则 ， m= 2a， 20， 0， 故选 D 7如图，在平行四边形 ， ， ， ，若 M、 N 分别是边 的点，且满足 = =，其中 0， 1，则 的取值范围是（ ） A 3， 1 B 3， 1 C 1， 1 D 1， 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 画出图形，建立直角坐标系，求出 B， A， D 的坐标，利用比例关系和向量的运算求出 ， 的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围 【解答】 解：建立如图所示的以 A 为原点， 在直线为 x， y 轴的直 角坐标系， 则 B（ 2， 0）， A（ 0， 0）， D（ ， ） 满足 = =， 0， 1， = + = +（ 1 ） = +（ 1 ） =（ ， ） +（ 1 ）（ 2， 0） =（ 2， ）； = + = +（ 1 ） =（ 2， 0） +（ 1 ）（ ， ） =（ ， （ 1 ）， 则 =（ 2， ） （ ， （ 1 ） =（ 2）（ ） + （ 1 ） =2+ 3=（ + ） 2 ， 因为 0， 1，二次函数的对称轴为： = ， 则 0， 1为 增区间， 故当 0， 1时， 2+ 3 3， 1 故选： A 8已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） m=0 恰有五个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A 0， 4 B（ 0， 4） C（ 4， 5） D（ 0， 5） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 关于 x 的方程 f（ x） m=0 恰有五个不相等的实数解，则 y=f（ x）与y=m 有五个不同的交点，数形结合可得答案 【解答】 解：作出函数的图象，如图所示， 关于 x 的方程 f（ x） m=0 恰有五个不相等的实数解，则 y=f（ x）与 y=m 有五个不同的交点， 0 m 4， 故选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9已知复数 =a+ a+b= 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简求出 a， b 的值，则 a+b 的答案可求 【解答】 解： = ， ， 则 a+b= 故答案为： 2 10（ ） 8 的展开式中 系数为 70 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解： = =（ 1） r ，令 8 =2，解得 r=4， 展开式中 系数 = =70 故答案为： 70 11已知一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 20 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥， 结合图中数据求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱， 切去一个三棱锥，如图所示； 该几何体的体积为 V= 3 4 4 2 3 4=20 故答案为： 20 12在直角坐标系 线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程式 = 4圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 【考点】 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 【分析】 直线 l 的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论 【解答】 解：直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），普通方程为 xy+1=0， 圆 = 4 2= 4 x2+x=0，即 （ x+2） 2+， 表示以（ 2， 0）为圆心，半径等于 2 的圆 圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 = ， 故答案为 13已知 f（ x） =x， f（ a） =1， f（ b） = 9，则 a+b 的值为 2 【考点】 函数的值 【分析】 推导出函数 f（ x）的图象关于（ 1， 4）对称，（ a， f（ a），（ b， f（ b）恰好关于（ 1， 4）对称，由此能求出 a+b 的值 【解答】 解： f（ x） =x， f（ a） =1， f（ b） = 9， f（ x） =（ x+1） 3 3x 1+6x =（ x+1） 3+3x 1 =（ x+1） 3+3（ x+1） 4， 函数 f（ x）的图象关于（ 1， 4）对称， f（ a） =1， f（ b） = 9， （ a， f（ a），（ b， f（ b）恰好关于（ 1， 4）对称， a+b= 2 故答案为： 2 14若不等式 3x2+x+y）对于 x， y R 恒成立，则实数 m 的取值范围是 6， 2 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 把 y 当作常数，得出关于 x 的一元二次不等式（ 3 m） myx+0恒成立，根据二次函数的性质列出不等式组解出 m 的范围 【解答】 解： 3x2+x+y）恒 成立，即（ 3 m） myx+0 恒成立， ， ，解得 6 m 2 故答案为 6， 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15已知函数 f（ x） =2 ） ） +2）（ a 0），且函数的最小正周期为 （ ）求 a 的值； （ ）求 f（ x）在 0， 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=x+）的形式，再利用周期公式求 a 的值 （ ） x 0， 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求 f（ x）最大值和最小值 【解答】 解：函数 f（ x） =2 ） ） +2）（ a 0）， 化简可得： f（ x） = 2） +2） +1 = =22） +1 函数的最小正周期为 即 T= 由 T= ，可得 a=2 a 的值为 2 故 f（ x） =24x+ ） +1； （ ） x 0， 时， 4x+ 0， 当 4x+ = 时，函数 f（ x）取得最小值为 =1 当 4x+ = 时，函数 f（ x）取得最大值为 2 1+1=3 f（ x）在 0， 上的最大值为 3，最小值为 1 16理科竞赛小组有 9 名女生、 12 名男生，从中随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析 （ ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可） （ ）如果随机抽取的 7 名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91 规定 85 分以上（包括 85 份）为优秀，从这 7 名同学中再抽取 3 名同学，记这 3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）如果按照性别比例分层抽样，则从 9 名女生、 12 名男生，从中随机抽取一个容量为 7 的样本，抽取的女生为 3 人，男生为 4 人利用组合数的意义即可得出 （ 7 名同 学中物理和化学成绩均为优秀的人数为 3 人，抽取的 3 名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数 X 可能取值为 0， 1， 2， 3，可得 P（ X=k） = ，即可得出分布列与数学期望计算公式 【解答】 解：（ ）如果按照性别比例分层抽样，则从 9 名女生、 12 名男生， 从中随机抽取一个容量为 7 的样本，抽取的女生为 3 人，男生为 4 人可以得到个不同的样本 （ 7 名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为 3 人， 抽取的 3 名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数 X 可能取值为 0， 1， 2， 3， 则 P（ X=k） = ，可得 P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = 其 X 分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 E（ X） =0+1 +2 +3 = 17如图，四棱锥 P ， 底面 P=2，C=1， E 为 一点，且 （ ）求 长； （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 B D 的度数 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）利用勾股定理求出 ，从而得到 ，由此能求出 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角B D 的度数 【解答】 解：（ ） 四棱锥 P ， 底面 B， P=2， C=1， E 为 一点， 且 = ， = = ， 证明：（ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立 空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ ）， B（ 2， 0， 0）， =（ ）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， 1， 2）， = =0， = =0， 又 ， 平面 解：（ ） D（ 0， 1， 0）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， 0）， =（ ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 0， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 a=1，得 =（ 1， 0， 1）， 设 二面角 B D 的度数为 ， 则 = = =60， 二面角 B D 的度数为 60 18设 数列 前 n 项和，已知 ， =2（ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 =3n 1，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）由条件得 1+1（ n 2），与条件式相减可得 =3，再验证即可得 等比数列，从而求出通项公式； （ 简得 3n 1） 3n 1，使用错 位相减法求和即可 【解答】 解：（ I） =2， 1+1，（ n 2）， 两式相减得： =3 又 n=1 时， =3， ， 以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列 n 1 （ 3n 1） 3n 1） 3n 1， 30+531+832+ +（ 3n 1） 3n 1， 331+532+833+ +（ 3n 1） 3n， 2+32+33+34+ +3n（ 3n 1） 3n = 1（ 3n 1） 3n=（ ） 3n ， ） 3n+ 19已知椭圆 E： + =1（ a b 0）经过点（ 2 ， 1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设 P（ x， y）是椭圆 E 上的动点， M（ 2， 0）为一定点，求 |最小值及取得最小值时 P 点的坐标 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题意求得 2b=a，将点（ 2 ， 1），代入椭圆方程，即可求得 a和 b 的值，求得椭圆方程； （ ）利用两点之间的距离公式， 求得丨 2=（ x 2） 2+ P 在椭圆上，则 ，代入利用二次函数的性质，即可求得 |最小值及 P 点坐标 【解答】 解：（ ）由题意可知： 2b=a， 将（ 2 ， 1）代入椭圆方程： ， 解得： ， 6， 椭圆 E 的方程 ； （ ）由丨 2=（ x 2） 2+ P（ x， y）在椭圆上，（ 4 x 4）则 ， 丨 2=4x+4+4 = x 4x+8= （ x+ ） + ， 当 x= 时，丨 取最小值，最小值为 ， 当 x= ，解得： y= ， |最小值 ， P 点的坐标（ ， ） 20设函数 f（ x） = x2+a 0） （ 1）若函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率为 ，求实数 a 的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）设 g（ x） = 1 a） x，当 a 1 时，讨论 f（