公司人员分配与优化

武汉理工大学交通学院 题目：公司人员分配与优化 作者：张锴 刘天华 交通运输类 1108 班 2011 年 11 月 28 日 武汉理工大学交通学院 1 公司人员分配与优化 摘要 2 一、问题的重述 2 二、模型的基本假设 3 三、符号说明 3 四、问题的分析及模型的建立 4 问题一的数据分析和模型建立 4 问题一的求解 .4 问题二的分析和模型的建立 .5 问题二模型的求解 .5 问题三的解答 .6 五、模型的评价 7 六、模型的改进和推广 7 参考文献 7 附录 8 附录 A.8 附录 B.9 附录 C.10 2 摘要 我们对公司所有的人员进行分配与优化。将该问题归结为一个带有约束条件的优化问题。 首先就问题一，首先根据人员结构及工资、额外的收费（主要针对 C、D 项目的资料管理费）以及 A、B、C、D 不同项目和各种人员的收费标准的数据，找出并且逐步详细列出不同级别的人员在不同的项 目下给公司带来的单位直接利润. 接着对问题二，即公司人员的分配方案，先建立公司在每个项目直接利润的数学模型。然后把公司 最大赢利作为目标函数，以要兼顾项目对人员要求和公司人员不足两个方面作为约束条件，建立整数线 性规划模型，用 Lingo 软件可很快求解出公司对各项目所分配的各级别人员的不同人数，即合理的公司 人员分配方案，并且在应分配现有的人员力量的情况下，可得出公司每天的直接利润总值。 最后就问题三，我们从建立的公司直接利润模型的正确性，讨论其科学性。还根据公司人员分配的 一些基本信息对该公司人员分配提出了一些建设性的参考意见。 关键词：公司人员分配 约束条件 lingo 软件 直接利润 一、问题的重述 “A 公司”是一家从事建筑工程的公司，现有 41 个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如 附录 A 表 1 所示 目前，公司承接 4 个工程项目，其中 2 项是现场施工，分别为 A 和 B，主要工作在现场完成；另外 2 项是工程设计，分别为 C 和地，主要工作在办公室完成。由于 4 个项目来源于不同客户，并且工作的 难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如附录 A 表 2 所示；为 了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如附录 A 表 3 所示。 项目 D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；高级工程师相对 稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。 各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；各项目客户对总人数都有限制；由于 C，D 两项目是在 办公室完成，所以每人每天有 50 元的管理费开支； 由于收费是按人工计算的，而且 4 个项目总共同时最多需要的人数是 10+16+11+18=55，多于公司现 有人数 41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大呢？下面将就此问题具体分 析解决。 武汉理工大学交通学院 3 二、模型的基本假设 1、每位人员均听从公司安排且能够全部按时上班。 2、每一个项目都接受建筑公司所安排的人员。 3、在人员从事项目期间，除管理费外，公司无其他任何开支，并且不招聘也不裁员。 4、天气等自然原因不影响人员按时完成项目。 5、每一名人员只从事一个项目。 三、符号说明 符号 表示意义 备注 S(xi) S(xi)表示在一个 x 项目所得的总直接 利润 N(xi) N(xi)表示公司给项目（x）分配的 人员(i）人数 L(xi) L(xi)表示一名相应人员（i）在相应 项目（x）下给公司带来的每天收费 (x i) (x i)表示一名人员（i）在相应项目 （x）下的工资 P(xi) P(xi)表示相应人员（i）在相应 项目（x）所需要的每天开支 Q（x i） Q（x i）表示相应人员（i）在相应项 目(x)下的单位直接利润 x 表示 A、B、C、D 项目 i=1 表示高级工程师 i=2 表示工程师 i=3 表示助理工程师 i=4 表示技术员 S S 表示公司每天在 A、B、C、D 项目 下的直接总利润 项目 x 组合 人员 i A B C D 高级工程师(1) A1 B1 C1 D1 工程师(2) A2 B2 C2 D2 助理工程师(3) A3 B3 C3 D3 技术员(4) A4 B4 C4 D4 4 四、问题的分析及模型的建立 对模型的建立，有以下的技术路线： 问题一的数据分析和模型建立 试题的数据给出了不同类别的人员在不同项目公司的收费、不同类别的人员工资以及在工程中费用 开支等各方面的情况，这实际上比较真实而客观地模拟出了公司利益收入的实况，我们的任务是从这些 数据中找出人员在项目中给公司带来直接利益的规律，可以归结为一个线性规划最优解的问题。 单位直接利润 = 公司在相应的项目下的收费 人员（i）在相应项目（x）所需要的开支 一名人 员（i）在相应项目（x）下的工资 即： Q（x i）= L(x i) - P(xi) - (x i) 上式表示一个人员在他从事的项目下给公司带来的单位直接利润，即公司在相应的项目下的收费减去技 术员（i）在相应项目（x）所需要的开支及工资。 问题一的求解 1、不同类别的人员在相应项目下给公司的带来的单位直接利益： 通过试题给出不同类别的人员在不同项目公司的收费、不同类别的人员工资以及在工程中费用开支 等各方面的数据得到不同类别的人员在相应项目下给公司的带来的单位直接利益数据表格： 最优人员分配方案 人员（i）在相应项 目（x）所需要的开 支 公司在相应的项目下 的收费一名人员（i）在相应 项目（x）下的工资 单位直接利润 公司总直接利益 武汉理工大学交通学院 5 单位直 人员 （i） 接利益 项目（x） 高级工程师（1） 工程师 （2） 助理工程师 （3） 技术员（4） A 750 600 430 390 B 1250 600 530 490 C 1000 650 480 240 单位直接 利益 （元/天） D 700 550 480 可以从结果看出，人员在相应的项目下给公司带来的单位直接利益值大小是不相等。 问题二的分析和模型的建立 为了简化问题的讨论，我们假设人员上班的模式，在公司接受项目安排人员开始上班到完成项目的 过程中，人员都不会请假，即全部按时上班。 根据我们的假设，我们得到在一个 x 项目 总直接利益 S(xi) = 单位直接利润 Q（x i） * 公司给项目（x）分配人员（i）人数 N(xi) 即： S(xi)= Q（x i） * N(x i) 41i 并且可以得出公司每天在 A、 B、C、D 项目下的直接总利润 S： 公司每天在 A、B、C、D 项目下的最大直接总利润 S max 为四个项目得直接利润之和 即： S max = (xi) x （X 取 A、B、C、D 项目） 问题二模型的求解 (1)根据我们建立的模型以及试题给出的已知条件，用 lingo 软件求解。 （程序代码见附录 B） (2)由对 Lingo 软件求解结果分析（软件求解结果见附录 C）可知如果在 A 项目下依次增加一名高级 工程师、工程师、助理工程师、技术员能使目标函数（即总直接利润值）依次增高 500 元、200 元、0 元、 -50 元（表示负增高） ；如果在 B 项目下依次增加一名高级工程师、工程师、助理工程师、技术员能使目 标函数（即总直接利润值）依次增高 0 元、0 元、0 元、0 元；如果在 C 项目下依次增加一名高级工程师、 6 工程师、助理工程师、技术员能使目标函数（即总直接利润值）依次增高-50 元、-100 元、0 元、-100 元；如果在 D 项目下依次增加一名高级工程师、工程师、助理工程师、技术员能使目标函数（即总直接 利润值）依次增高-50 元、-100 元、0 元、-300 元。并且得到公司最优化的分配方案，即下面表格： 人员 （i） 分配结果 项目（x） 高级工程师（1） (人) 工程师（2） （人） 助理工程师 （3）(人 技术员（4） （人） 在项目中所得得利 益 S(xi)（元） A A1=1 A2=6 A3=2 A4=1 5600 B1=5 B2=3 B3=5 B4=3 12170 C1=2 C2=6 C3=2 C4=1 7100 D1=1 D2=2 D3=1 2280 总数 9 17 10 5 27150 所以通过表格可以了解到，公司每天的直接收益最大为 27150 元。 问题三的解答 将上面最优化的分配方案表格用图像表示，更加直观 人 员 分 配 图 0 2 4 6 8 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4 项 目 人 员 分数 （人 ） 系 列 1 人 员 单 位 直 接 利 益 0 500 1000 1500 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4 项 目 人 员 人员 单位 直接 利益 系 列 1 武汉理工大学交通学院 7 通过对图像分析： 对高级工程师在 A、B、C、D 项目给公司带来的直接利益大小不同，其中 B 项目带来的直接利益 最大，所占人员人数占高级工程师总数的比例也最大，其次满足了 A、C、D 项目的最低要求的结果，同 样对工程师、助理工程师、技术员的分配也有同理的结果现象。可以对公司建议：在分配不同人员时应 该注意各自所在项目给公司带来直接利益的大小，应该在满足条件的情况下，对给公司带来直接利益最 大的项目进行最大满足。 五、模型的评价 优点：1、模型的构建脉络十分清晰，并且简化比较合理，易于理解； 2、模型能够较好解决在公司资源有限的情况下，使公司获取最大的直接利益的问题，并且提出最 优化的可行方案； 3、对于该线性规划求最优解的问题，较合理的使用了 lingo 数学软件，并且对结果进行合理分析。 缺点：1、对于整个模型的假设存在一定的局限性，提出更多的合理的假设，使假设更加完整； 2、lingo 数学软件编写的程序不够简洁，没有发挥到 lingo 数学软件最大优势。 六、模型的改进和推广 对该模型的条件假设，可以提出更多的合理的假设，使它更具有合理性和完整性；对问题可以归 结为 A 系列在有限的能力和最大程度满足 B 系列方面的要求情况下，得到（或者支付）最大（或者最小） 利益（或费用）的问题，并且提取可行的最优化方案；在分析解决时应该注意各自的优势比例（即在客 观和主观上，某因素使系列得到的利益在所有因素使系列得到的总利润所占的百分比） ，应该在满足 条件的情况下，对最有利因素进行满足。 参考文献 【】袁新生，邵大宏，郁时炼等.Lingo 和 Excel 在数学建模中的应用.北京：科学出版社，2007 8 附录 附录 A 1 表 1 人员结构及工资情况 表 2 不同项目和各种人员的收费标准 人员 项目 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 A 1000 800 600 500 B 1500 800 700 600 C 1300 900 700 400 收费 （元/天） D 1000 800 700 500 表 3 各项目对专业技术人员结构的要求 项目 人员 A B C D 高级工程师 13 25 2 12 工程师 2228 助理工程师 1 技术员 131 总计 0168 人员 工资情况 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 人数 9 17 10 5 日工资（元） 250 200 170 110 武汉理工大学交通学院 9 附录 B 程序代码 model: max=sa+sb+sc+sd; sa=750*a1+600*a2+430*a3+390*a4; sb=1250*b1+600*b2+530*b3+490*b4; sc=1000*c1+650*c2+480*c3+240*c4; sd=700*d1+550*d2+480*d3+0*d4; a1+b1+c1+d1=1; a1=2; b1=1; a2=2; b2=2; c2=2; d2=2; a3=2; b3=2; c3=2; d3=1; a4=1; b4=3; c4=1; end 10 附录 C 软件求解结果 :Global optimal solution found. Objective value: 27150.00 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost SA 5600.000 0.000000 SB 12170.00 0.000000 SC 7100.000 0.000000 SD 2280.000 0.000000 A1 1.000000 0.000000 A2 6.000000 0.000000 A3 2.000000 0.000000 A4 1.000000 0.000000 B1 5.000000 0.000000 B2 3.000000 0.000000 B3 5.000000 0.000000 B4 3.000000 0.000000 C1 2.000000 0.000000 C2 6.000000 0.000000 C3 2.000000 0.000000 C4 1.000000 0.000000 D1 1.000000 0.000000 D2 2.000000 0.000000 D3 1.000000 0.000000 D4 0.000000 490.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 27150.00 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 1