2017年四川省高考数学一诊试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=x|x 9， x N+，集合 A=1， 2， 3， B=3， 4， 5， 6，则 U（ A B） =（ ） A 3 B 7， 8 C 7， 8， 9 D 1， 2， 3， 4， 5， 6 2已知 i 是虚数单位，若 z（ 1+i） =1+3i，则 z=（ ） A 2+i B 2 i C 1+i D 1 i 3若 ，则 =（ ） A B C D 4已知命题 p， q 是简单命题，则 “p q 是真命题 ”是 “ p 是假命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分有不必要条件 5如图，四边形 正方形，延长 E，使得 D，若点 P 为 ，则 +=（ ） A 3 B C 2 D 1 6如图，是某算法的程序框图，当输出 T 29 时，正整数 n 的最小值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 7从 1， 3， 5， 7， 9 中任取 3 个数字，从 2， 4， 6， 8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A B C D 8已知数列 足 若对于任意的 n N*都有 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， 1） D（ ， 1） 9已知不等式 m 0 对于 x ， 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C ， D ， + ） 10如图，在三棱锥 A ，已知三角形 三角形 在平面互相垂直， D， ，则直线 平面 成角的大小是（ ） A B C D 11椭圆 的一个焦点为 F，该椭圆上有一点 A，满足 O 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ） A B C D 12已知函数 y=f（ x）与 y=F（ x）的图象关于 y 轴对称，当函数 y=f（ x）和 y=F（ x）在区间 a， b同时递增或同时递减时，把区间 a， b叫做函数 y=f（ x）的 “不动区间 ”若区间 1， 2为函数 f（ x） =|2x t|的 “不动区间 ”，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B ， + ） C ， 2 D ， 2 4， + ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中常数项为 14学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖 ”； 乙说： “； 丙说： “A， D 两项作品未获得一等奖 ”； 丁说： “是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同 学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 15如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为 16若直线与圆 x2+2x 4y+a=0 和函数 的图象相切于同一点，则 a 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ 2a+b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 取值范围 18张三同学从 7 岁起到 13 岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表： 年龄 （岁） 7 8 9 10 11 12 13 身高 （ 121 128 135 141 148 154 160 （ ）求身高 y 关于年龄 x 的线性回归方程； （ ）利用（ ）中的线性回归方程，分析张三同学 7 岁至 13 岁身高的变化情况，如 17 岁之前都符合这一变化，请预测张三同学 15 岁时的身高 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = ， = 19已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = x3+a R），且曲线 f（ x）在 x= 处的切线与直线 y= x 1 平行 （ ）求 a 的值及函数 f（ x）的解析式； （ ）若函数 y=f（ x） m 在区间 3， 上有三个零点，求实数 m 的取值范围 20设各项均为正数的数列 前 n 项和为 满足 2 =（ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 ） 2 ，求数列 前 n 项和 21已知函数 f（ x） =x（ a R），其中 e 为自然对数的底数， e= （ ）判断函数 f（ x）的单调性，并说明理由 （ ）若 x 1， 2，不等式 f（ x） e x 恒成立，求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，曲线 （ a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求 极坐标方程； （ ）设曲线 极坐标方程为 ） =1，且曲线 曲线 交于P， Q 两点， 求 |值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+ | x+1|， g（ x） =|x+a2+|x 2其中 a，b， c 均为正实数，且 ab+bc+ （ ）当 b=1 时，求不等式 f（ x） 1 的解集； （ ）当 x R 时，求证 f（ x） g（ x） 2017 年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=x|x 9， x N+，集合 A=1， 2， 3， B=3， 4， 5， 6，则 U（ A B） =（ ） A 3 B 7， 8 C 7， 8， 9 D 1， 2， 3， 4， 5， 6 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 化简全集 U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可 【解答】 解：全集 U=x|x 9， x N+=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 集合 A=1， 2， 3， B=3， 4， 5， 6， A B=1， 2， 3， 4， 5， 6； U（ A B） =7， 8， 9 故选： C 2已知 i 是虚数单位，若 z（ 1+i） =1+3i，则 z=（ ） A 2+i B 2 i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 z（ 1+i） =1+3i，得 ， 故选： A 3若 ，则 =（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值 【解答】 解：若 ，则 = ， 则 = + = ， 故选： B 4已知命题 p， q 是简单命题，则 “p q 是真命题 ”是 “ p 是假命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分有不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 “ p 是假命题 ”可得： p 是真命题，可得 “p q 是真命题 ”反之不成立 【解答】 解：由 “ p 是假命题 ”可得： p 是真命题，可得 “p q 是真命题 ” 反之不成立，例如 p 是假命题， q 是真命题 “p q 是真命题 ”是 “ p 是假命题 ”的必要不充分条件 故选： B 5如图，四边形 正方形，延长 E，使得 D，若点 P 为 ，则 +=（ ） A 3 B C 2 D 1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为 1，可以得到的坐标表示，进而得到答案 【解答】 解：由题意，设正方形的边长为 1，建立坐标系如图， 则 B（ 1， 0）， E（ 1， 1）， =（ 1， 0）， =（ 1， 1）， =（ ， ）， 又 P 是 中点时， =（ 1， ）， ， = ， = ， +=2， 故选： C 6如图，是某算法的程序框图，当输出 T 29 时，正整数 n 的最小值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框图 【分析】 根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出 T 的值大于 29，确定最小的 n 值 【解答】 解：由程序框图知： 第一次循环 k=1， T=2 第二次循环 k=2， T=6； 第三次循环 k=3， T=14； 第四次循环 k=4， T=30； 由题意，此时，不满足条件 4 n，跳出循环的 T 值为 30， 可得： 3 n 4 故正整数 n 的最小值是 4 故选： C 7从 1， 3， 5， 7， 9 中任取 3 个数字，从 2， 4， 6， 8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数 n= ，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数 m= ，由此能求出组成的五位数是偶数的概率 【解答】 解：从 1， 3， 5， 7， 9 中任取 3 个数字， 从 2， 4， 6， 8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数 n= ， 组成的五位数是偶数包含的基本事件个数 m= ， 组 成的五位数是偶数的概率是 p= = = 故选： D 8已知数列 足 若对于任意的 n N*都有 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， 1） D（ ， 1） 【考点】 数列递推式 【分析】 ，若对于任意的 n N*都有 ，可得 0，0 a 1解出即可得出 【解答】 解： 满足 ，若对于任意的 n N*都有 ， 0， 0 a 1 a 0， +1 a， 0 a 1， 解得 故选： B 9已知不等式 m 0 对于 x ， 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C ， D ， + ） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 不等式 m 0 对于 x ， 恒成立，等价于不等式（ ） m 对于 x ， 恒成立，令 f（ x） = ，求 x ， 的最小值即可 【解答】 解：由题 意，令 f（ x） = ， 化简可得： f（ x） = + （ = = ） x ， ， 当 = 时，函数 f（ x）取得最小值为 实数 m 的取值范围是（ ， 故选 B 10如图，在三棱锥 A ，已知三角形 三角形 在平面互相垂直， D， ，则直线 平面 成角的大小是（ ） A B C D 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 如图所示，过点 A 在平面 作 足为点 O，连接 据三角形 三角形 在平面互相垂直，可得 平面 D因此 直线 平面 成的角通过证明 可得出 【解答】 解：如图所示，过点 A 在平面 作 足为点 O，连接 三角形 三角形 在平面互相垂直， 平面 D 直线 平面 成的角 D， ， 用， D 故选： B 11椭圆 的一个焦点为 F，该椭圆上有一点 A，满足 O 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 根据题意，作出椭圆的图象，分析可得 A 的坐标，将 A 的坐标代入椭圆方程可得 + =1， ；结合椭圆的几何性质 a2=b2+ ；联立两个式子，解可得 c=（ 1） a，由离心率公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，如图，设 F（ 0， c）， 又由 等边三角 形，则 A（ ， ）， A 在椭圆上，则有 + =1， ； a2=b2+ ； 联立 ，解可得 c=（ 1） a， 则其离心率 e= = 1； 故选： A 12已知函数 y=f（ x）与 y=F（ x）的图象关于 y 轴对称，当函数 y=f（ x）和 y=F（ x）在区间 a， b同时递增或同时递减时，把区间 a， b叫做函数 y=f（ x）的 “不动区间 ”若区间 1， 2为函数 f（ x） =|2x t|的 “不动区间 ”，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B ， + ） C ， 2 D ， 2 4， + ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 若区间 1， 2为函数 f（ x） =|2x t|的 “不动区间 ”，则函数 f（ x） =|2x t|和函数 F（ x） =|2 x t|在 1， 2上单调性相同，则（ 2x t）（ 2 x t） 0在 1， 2上恒成立，进而得到答案 【解答】 解： 函数 y=f（ x）与 y=F（ x）的图象关于 y 轴对称， F（ x） =f（ x） =|2 x t|， 区间 1， 2为函数 f（ x） =|2x t|的 “不动区间 ”， 函数 f（ x） =|2x t|和函数 F（ x） =|2 x t|在 1， 2上单调性相同， y=2x t 和函数 y=2 x t 的单调性相反， （ 2x t）（ 2 x t） 0 在 1， 2上恒成立， 即 1 t（ 2x+2 x） +0 在 1， 2上恒成立， 即 2 x t 2x 在 1， 2上恒成立， 即 t 2， 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中常数项为 24 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令 x 的指数为 0 求出 r 的值，从而求出展开式中常数项 【解答】 解：二项式 展开式的通项公式为： = 4 r 4， 令 2r 4=0，解得 r=2， 展开式中常数项为 2 =24 故答案为： 24 14学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖 ”； 乙说： “； 丙说： “A， D 两项作品未获得一等奖 ”； 丁说： “是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据学校艺术节对 同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设 A， B， C， D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断 【解答】 解：若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意， 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B 故答案为： B 15如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为 48 【考点】 球内接多面体；简单空间图形的三视图 【分析】 判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可 【解答】 解：三棱锥补成正方体，棱长为 4， 三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为 R= =2 ， 该球的表面积为 4 12=48， 故答案为： 48 16若直线与圆 x2+2x 4y+a=0 和函数 的图象相切于同一点，则 a 的值为 3 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设切 点为（ t， ），求出切线方程，利用直线与圆 x2+2x 4y+a=0和函数 y= 的图象相切于同一点，建立方程，求出 t，即可得出结论 【解答】 解：设切点为（ t， ）， y= ， x=t 时， y= t， 切线方程为 y = （ x t），即 y= ， 一直线与圆 x2+2x 4y+a=0 和函数 y= 的图象相切于同一点， = ， t=2， 切点为（ 2， 1），代入圆 x2+2x 4y+a=0，可得 a=3， 故答案为 3 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ 2a+b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 取值范围 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角 C 的大小； （ ）由（ I）和内角和定理表示出 B，并求出 A 的范围，代入 ，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由 A 的范围和正弦函数的性质求出答案 【解答】 解：（ ）由题意知，（ 2a+b） ， 由正弦定理得，（ 2， 则 2， 即 B+C） = 2 ， B+C） = A） =0， 1= 2 ， 又 0 C ， C= ； （ ）由（ I）得 C= ，则 A+B= C= ， 即 B= A，所以 ， A） = = = （ ） = ， ， 则 ， 即 ， 取值范围是 18张三同学从 7 岁起到 13 岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表： 年龄 （岁） 7 8 9 10 11 12 13 身高 （ 121 128 135 141 148 154 160 （ ）求身高 y 关于年龄 x 的线性回归方程； （ ）利用（ ）中的线性回归方程，分析张三同学 7 岁至 13 岁身高的变化情况，如 17 岁之前都符合这一变化，请预测张三同学 15 岁时的身高 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = ， = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得 ，由此求得线性回归方程； （ ）将先 15 代入（ ）中的回归方程即可求得张三同学 15 岁时的身高 【解答】 解：（ ）由题意得 = （ 7+8+9+10+11+12+13） =10， = =141， （ =9+4+1+0+1+4+9=28， （ ）（ ） =（ 3） （ 20） +（ 2） （ 13） +（ 1） （ 6）+0 0+1 7+2 13+3 19=182， 所以 = = ， = =141 10=76， 所求回归方程为 = x+76 （ ）由（ ）知， = 0， 故张三同学 7 岁至 13 岁的身高每年都在增高，平均每年增高 将 x=15 代入（ ）中的回归方程，得 = 15+76= 故预测张三同学 15 岁的身高为 19已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = x3+a R），且曲线 f（ x）在 x= 处的切线与直线 y= x 1 平行 （ ）求 a 的值 及函数 f（ x）的解析式； （ ）若函数 y=f（ x） m 在区间 3， 上有三个零点，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 【分析】 （ ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得 a 的值，由此求得函数 f（ x）的解析式； （ ）将问题转化为函数 f（ x）的图象与 y=m 有三个公共点，由此结合图象求得 m 的取值范围 【解答】 解：（ ）当 x 0 时， f（ x） =x2+a， 因为曲线 f（ x）在 x= 处的切线与直线 y= x 1 平行， 所以 f（ ） = +a= ， 解得 a= 1， 所以 f（ x） = x， 设 x 0 则 f（ x） = f（ x） = x， 又 f（ 0） =0，所以 f（ x） = x （ ）由（ ）知 f（ 3） = 6， f（ 1） = ， f（ 1） = ， f（ ） =0， 所以函数 y=f（ x） m 在区间 3， 上有三个零点， 等价于函数 f（ x）在 3， 上的图象与 y=m 有三个公共点 结合函数 f（ x）在区间 3， 上大致图象可知，实数 m 的取值范围是（ ，0） 20设各项均为正数的数列 前 n 项和为 满足 2 =（ n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若 ） 2 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）首先利用 关系：当 n=1 时， 1，当 n 2 时， n 1；结合已知条件等式推出数列 等差数列，由此求得数列 通项公式； （ ）首先结合（ ）求得 表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， 1，有 2 =，解得 ； 当 n 2 时，由 2 = 得 4Sn=， 41=12+21+1， 两式相减得 4an=12+2（ 1）， 所以（ an+1）（ 1 2） =0， 因为数列 各项为正，所以 1 2=0， 所以数列 以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， 所以数列 通项公式为 n 1 （ ）由（ ）知 ） 2 =2n22n 1=n4n 所以前 n 项和 4+242+343+ +n4n， 442+243+344+ +n4n+1， 两式相减得 3+42+43+ +4n n4n+1 = n4n+1， 化简可得 + 4n+1 21已知函数 f（ x） =x（ a R），其中 e 为自然对数的底数， e= （ ）判断函数 f（ x）的单调性，并说明理由 （ ）若 x 1， 2，不等式 f（ x） e x 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，然后对 a 分类，当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x） =x 为 R 上的减 函数；当 a 0 时，由导函数为 0 求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性； （ ） x 1， 2，不等式 f（ x） e x 恒成立，等价于 x e x 恒成立，分离参数 a，可得 恒成立令 g（ x） = ，则问题等价于 a 不小于函数 g（ x）在 1， 2上的最大值，然后利用导数求得函数 g（ x）在 1， 2上的最大值得答案 【解答】 解：（ ）由 f（ x） =x，得 f（ x） =1， 当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x） =x 为 R 上的减函数； 当 a 0 时，令 1=0，得 x= 若 x （ ， 则 f（ x） 0，此时 f（ x）为的单调减函数； 若 x （ + ），则 f（ x） 0，此时 f（ x）为的单调增函数 综上所述，当 a 0 时， f（ x） =x 为 R 上的减函数； 当 a 0 时，若 x （ ， f（ x）为的单调减函数； 若 x （ + ）， f（ x）为的单调增函数 （ ）由题意， x 1， 2，不等式 f（ x） e x 恒成立，等价于 x e x 恒成立， 即 x 1， 2， 恒成立 令 g（ x） = ，则问题等 价于 a 不小于函数 g（ x）在 1， 2上的最大值 由 g（ x） = = ，函数 y= 在 1， 2上单调递减， 令 h（ x） = ， x 1， 2， h（ x） = h（ x） = 在 x 1， 2上也是减函数， g（ x）在 x 1， 2上也是减函数， g（ x）在 1， 2上的最大值为 g（ 1） = 故 x 1， 2，不等式 f（ x） e x 恒成立的实数 a 的取值范围是 ， + ） 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用