四川省成都市2017届高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 2， B=y|y=x A，则 A B=（ ） A 1， 4 B 1， 2 C 1， 0 D 0， 2 2若复数 z1=a+i（ a R）， i，且 为纯虚数，则 复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ，则 | 2 |=（ ） A 1 B C 2 D 4在等比数列 ，已知 ， a3+a5+8，则 ） A 12 B 18 C 24 D 36 5若实数 x， y 满足不等式 ，则 x y 的最大值为（ ） A 5 B 2 C 5 D 7 6两位同学约定下午 5： 30 6： 00 在图书馆见面，且他们在 5： 30 6： 00 之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待， 15 分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（ ） A B C D 7已知 m， n 是 空间中两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，且 m，n有下列命题： 若 ，则 m n； 若 ，则 m ； 若 =l，且 m l， n l，则 ； 若 =l，且 m l， m n，则 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8已知函数 f（ x）的定义域为 R，当 x 2， 2时， f（ x）单调递减，且函数f（ x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A f（ ） f（ 3） f（ ） B f（ ） f（ ） f（ 3） C f（ ） f（ 3） f（ ） D f（ ） f（ ） f（ 3） 9执行如图所示的程序框图，若输入 a， b， c 分别为 1， 2， 输出的结果为（ ） A 0设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右顶点分别为 右焦点分别为 直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P，若以 切，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C 2 D 11已知函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R）在（ ，）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B（ 0， C ， 1 D ， 12把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M叫作图形 M 在这个平面上的射影如图，在长方体 ， ， ， ，则 平面 的射影的面积是（ ） A 2 B C 10 D 30 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13设抛物线 C： ，若抛物线 的横坐标为 2，则 | 14在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9， 10， 11， ，那么这组数据的方差 能的最大值是 15若曲线 y=2x（ a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是 16在数列 ， ， + + + =n N*），则数列 通项公式 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）如图， 在平面四边形 ，已知 A= ， B= ， ，在 上取点 E，使得 ，连接 ， （ ）求 值； （ ）求 长 18（ 12 分）某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600 的概率； （ ）求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570时特征量 y 的值 （ 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为= ， = ） 19（ 12 分）如图，已知梯形 在的平面垂直， ， ， ， 2，连接 （ ）若 G 为 上一点， 证： 平面 （ ）求多面体 体积 20（ 12 分）在平面直角坐标系 ，已知椭圆 E： + =1（ a b 0），圆 O： x2+y2=0 r b）当圆 O 的一条切线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A，B 两点 （ ）当 k= ， r=1 时，若点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （ ）若以 直径的圆经过坐标原点 O，探究 a， b， r 是否满足 + = ，并说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =（ a+ ） x+ ，其中 a 0 （ ）若 f（ x）在（ 0， + ）上存在极值点，求 a 的取值范围； （ ）设 a （ 1， e，当 （ 0， 1）， （ 1， + ）时，记 f（ f（ 最大值为 M（ a），那么 M（ a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A，且点 A 的极坐标为（ 2 ， ），其中 （ ， ） （ ）求 的值； （ ）若射线 直线 l 相交于点 B，求 |值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =4 |x| |x 3| （ ）求不等式 f（ x+ ） 0 的解集； （ ）若 p， q， r 为正实数，且 + + =4，求 3p+2q+r 的最小值 2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 2， B=y|y=x A，则 A B=（ ） A 1， 4 B 1， 2 C 1， 0 D 0， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分 别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A= 1， 2， B=y|y=x A=0， 4， A B=0， 2 故选： D 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2若复数 z1=a+i（ a R）， i，且 为纯虚数，则 复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出 【解 答】 解：复数 z1=a+i（ a R）， i，且 = = = + =0， 0， a=1 则 复平面内所对应的点（ 1， 1）位于第一象限 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ，则 | 2 |=（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 结合题意设出 ， 的坐标，求出 2 的坐标，从而求出 2 的模即可 【解答】 解：平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ， 不妨设 =（ 1， 0）， =（ ， ）， 则 2 =（ ， ）， 故 | 2 |= =1， 故选： A 【点评】 本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题 4在等比数列 ，已知 ， a3+a5+8，则 ） A 12 B 18 C 24 D 36 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设公比为 q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出 【解答】 解：设公比为 q， ， a3+a5+8， a3+8， 6+68， 解得 a5= 3=18， 故选： B 【点评】 本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题 5若实数 x， y 满足不等式 ，则 x y 的最大值为（ ） A 5 B 2 C 5 D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图： 由图得 A（ 0， 2）， 令 z=x y，化为 y=x z，由图可知，当直线 y=x z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 2 故选： B 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 6两位同学约定下午 5： 30 6： 00 在图书馆见面，且他们在 5： 30 6： 00 之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待， 15 分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是： （ x， y） |0 x 30， 0 y 30，做出集合对应的面积是边长为 30 的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率 【解答】 解：因为两人谁也没有讲好确切的时间， 故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成； 以 5： 30 作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系， 设甲、乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达，则样本空间为： ： （ x， y） |0 x 30， 0 y 30，画成图为一正方形； 会面的充要条件是 |x y| 15，即事件 A=可以会面 所对应的区域是图中的阴影线部分 ， 由几何概型公式知所求概率为面积之比， 即 P（ A） = = 故选： D 【点评】 本题考查了把时间分别用 x， y 坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题 7已知 m， n 是空间中两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，且 m，n有下列命题： 若 ，则 m n； 若 ，则 m ； 若 =l，且 m l， n l，则 ； 若 =l，且 m l， m n，则 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 空间 中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论 【解答】 解： 若 ，则 m n 或 m， n 异面，不正确； 若 ，根据平面与平面平行的性质，可得 m ，正确； 若 =l，且 m l， n l，则 与 不一定垂直，不正确； 若 =l，且 m l， m n， l 与 n 相交则 ，不正确 故选： B 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键 8已 知函数 f（ x）的定义域为 R，当 x 2， 2时， f（ x）单调递减，且函数f（ x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A f（ ） f（ 3） f（ ） B f（ ） f（ ） f（ 3） C f（ ） f（ 3） f（ ） D f（ ） f（ ） f（ 3） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数的奇偶性，推导出 f（ x+2） =f（ x+2），再利用当 x 2，2时， f（ x）单调递减，即可求解 【解答】 解： y=f（ x+2）是偶函数， f（ x+2） =f（ x+2）， f（ 3） =f（ 1）， f（ ） =f（ 4 ）， 4 1 ，当 x 2， 2时， f（ x）单调递减， f（ 4 ） f（ 1） f（ ）， f（ ） f（ 3） f（ ）， 故选 C 【点评】 本题考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键 9执行如图所示的程序框图，若输入 a， b， c 分别为 1， 2， 输出的结果为（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 a， b 的值，当 a=b=a b| 出循环，输出 的值为 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=1， b=2， c=行循环体， m= ，不满足条件 f（ m） =0， 满足条件 f（ a） f（ m） 0， b=满足条件 |a b| c， m=满足条件 f（ m） =0，不满足条件 f（ a） f（ m） 0， a=足条件 |a b| c， 退出循环，输出 的值为 故选： D 【点评】 本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的 a， b 的值是解题的关键，属于基础题 10设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右顶点分别为 右焦点分别为 直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P，若以 切，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得 a， a，再根据勾股定理得到 a， c 的关系式，即可求出离心率 【解答】 解：如图所示，由题意可得 A2=a， ， c， = = ， a， 点 P 为双曲线左支的一个点， a， a， 以 直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P， 0 （ 2a） 2+（ 4a） 2=（ 2c） 2， =3， e= = ， 故选： B 【点评】 此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于 |2a|的点所组成的图形即为双曲线考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数 ”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 11已知函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R）在（ ，）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B（ 0， C ， 1 D ， 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用积化和差公式化简 2x+） =x+2） 将函数化为 y=x+）的形式，在（ ， ）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R） 化简可得： f（ x） =x+2） x+2） + 由 + ，（ k Z）上单调递减， 得： + ， 函数 f（ x）的单调减区间为： ， ，（ k Z） 在（ ， ）上单调递减， 可得： 0， 1 故选 C 【点评】 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题 12把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M叫作图形 M 在这个平面上的射影如图，在长方体 ， ， ， ，则 平面 的射影的面积是（ ） A 2 B C 10 D 30 【考点】 平行投影及平行投影作图法 【分析】 如图所示， 平面 的射影为 可求出结论 【解答】 解：如图所示， 平面 的射影为 面积为 =2 ， 故选 A 【点评】 本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定 平 面 的射影为 关键 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13设抛物线 C： x 的焦点为 F，若抛物线 C 上点 P 的横坐标为 2，则 | 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 直接利用抛物线的定义，即可求解 【解答】 解：抛物线 x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离， 就是这点到抛物线的准线的距离 抛物线的准线方程为： x= ， 所以抛物线 x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为 +2= 故答案为： 【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的 定义的应用，考查计算能力 14在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9， 10， 11， ，那么这组数据的方差 能的最大值是 36 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 设这组数据的最后 2 个分别是： 10+x， y，得到 x+y=10，表示出 据 x 的取值求出 最大值即可 【解答】 解：设这组数据的最后 2 个分别是： 10+x， y， 则 9+10+11+（ 10+x） +y=50， 得： x+y=10，故 y=10 x， 故 1+0+1+ x） 2= + 显然 x 最大取 9 时， 大是 36， 故答案为： 36 【点评】 本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题 15若曲线 y=2x（ a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是 ， + ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由题意可知 y 0 在（ 0， + ）上恒成立，分离参数得 a ，求出右侧函数的最大值即可得出 a 的范围 【解答】 解： y= ， x （ 0， + ）， 曲线 y=2x（ a 为常数）不存在斜率为负数的切线， y= 0 在（ 0， + ）上恒成立， a 恒成立， x （ 0， + ） 令 f（ x） = ， x （ 0， + ），则 f（ x） = ， 当 0 x 1 时， f（ x） 0，当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， + ）上单调递减， 当 x=1 时， f（ x） = 取得最大值 f（ 1） = ， a 故答案为 ， + ） 【点评】 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题 16在数列 ， ， + + + =n N*），则数列 通项公式 【考点】 数列递推式 【分析】 ， + + + =n N*）， n 2 时， + + + =1相减可得： = 再利用递推关系即可得出 【解答】 解： ， + + + =n N*）， n 2 时， + + + =1 =1， 化为： = =2a 1=2 故答案为： 【点评】 本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017成都模拟）如图，在平面四边形 ，已知 A= ， B= ， ，在 上取点 E，使得 ，连接 ， （ ）求 值； （ ）求 长 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ ）在 ，正弦定理求出 （ ）在 ，由余弦定理得 2得 余 弦定理得 2直角 ，求得 ，在 ，由余弦定理得 2可 【解答】 解：（ ）在 ，由正弦定理得 ， ， （ ）在 ，由余弦定理得 2即7=1+B，解得 由余弦定理得 2 ， 1200+ = ， ， 在直角 ， ， ， ， 在 ，由余弦定理得 249 【点评】 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题 18（ 12 分）（ 2017成都模拟）某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600 的概率； （ ）求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570时特征量 y 的值 （ 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为= ， = ） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）利用对立事件的概率公式，可得结论； （ ）求出回归系数，即可求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值 【解答】 解：（ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有 =10种方法，都小于 600，有 =3 种方法， 至少有一个大于 600 的概率 = = （ ） =554 ， =600 ， = = = = = = x=570， =604，即当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值为 604 【点评】 本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键 19（ 12 分）（ 2017成都模拟）如图，已知梯形 在的平面垂直， ， ， ， 2，连接 （ ）若 G 为 上一点， 证： 平面 （ ）求多面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由已知可得 两互相垂直，以 D 为坐标原点，分别以 在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 由平面法向量与 平行证明 平面 （ ）把多面体 体积分解为两 个棱锥的体积求解 【解答】 （ ）证明： 梯形 在的平面垂直， 平面 则 以 D 为坐标原点，分别以 在直线为 x， y， z 轴 建立空间直角坐标系， ， ， ， 2， 且 E（ 4， 0， 0）， G（ 0， 0， ）， C（ 0， 12， 0）， F（ 4， 9， 0）， B（ 0， 3， ）， ， 设平面 一个法向量为 ， 则由 ，取 z= ，得 ， 面 平面 （ ）解：连接 则 B B = 【点评】 本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题 20（ 12 分）（ 2017成都模拟）在平面直角坐标系 ，已知椭圆 E： + =1（ a b 0），圆 O： x2+y2=0 r b）当圆 O 的一条切线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A， B 两点 （ ）当 k= ， r=1 时，若点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （ ）若以 直径的圆经过坐标原点 O，探究 a， b， r 是否满足 + = ，并说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）利用点到直线的距离公式求得 d= =1，即可求得 m 的值，由点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （ ）利用点到直线的距离公式，求得 m2=1+将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算 ，即可求得 a， b 与 r 的关系 【解答】 解：（ ）当 k= ， r=1 时，则切线 l： y= x+m，即 2y+x 2m=0， 由圆心到 l 的距离 d= =1，解得： m= ， 点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，则 m 0， 直线 l： y= x+ ， A（ 0， ）， B（ ， 0）， B 为椭圆的右顶点， A 为椭圆的上顶点， 则 a= ， b= ， 椭圆方程为： ； （ ） a， b， r 满足 + = 成立， 理由如下：设点 A、 B 的坐标分别为 A（ B（ 直线 l 与圆 x2+y2=切， 则 =r，即 m2=1+ 则 ，（ b2+ 则 x1+ ， ， 所以 m）（ m） =x1+， 直径的圆经过坐标原点 O，则 0，则 =0， + = =0， 则（ a2+m2=1+ 将 代入 ， = ， + = 【点评】 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017成都模拟）已知函数 f（ x） =（ a+ ） x+ ，其中 a0 （ ）若 f（ x）在（ 0， + ）上存在极值点，求 a 的取值范围； （ ）设 a （ 1， e，当 （ 0， 1）， （ 1， + ）时，记 f（ f（ 最大值为 M（ a），那么 M（ a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x） = ， x （ 0， + ），由此根据 a=1， a 0 且 a 1，利用导数性质进行分类讨论，能求出 a 的取值范围 （ ）当 a （ 1， e时， ， f（ x）在（ 0， ） 上单调递减，在（ ， a）上单调递增，在（ a， + ）上单调递减，对 （ 0， 1），有 f（ f（ ），对 （ 1， + ），有 f（ f（ a），从而 f（ f（ f（ a）f（ ），由此能求出 M（ a）存在最大值 【解答】 解：（ ） f（ x） =（ a+ ） x+ ，其中 a 0， = ， x （ 0， + ）， 当 a=1 时， 0， f（ x）在（ 0， + ）上单调递减，不存在极值点； 当 a 0 时，且 a 1 时， f（ a） =f（ ） =0， 经检验 a， 均为 f（ x）的极值点， a （ 0， 1） （ 1， + ） （ ）当 a （ 1， e时， ， f（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， a）上单调递增， 在（ a， + ）上单调递减， 对 （ 0， 1），有 f（ f（ ），对 （ 1， + ），有 f（ f（ a）， f（ f（ f（ a） f（ ）， M（ a） =f（ a） f（ ） =（ a+ ） a+ （ a+ ） +a =2（ a+ ） a+ ， a （ 1， e， M（ a） =