2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A= 1， 2， B=y|y=x A，则 A B=（ ） A 1， 4 B 1， 2 C 1， 0 D 0， 2 2若复数 z1=a+i（ a R）， i，且 为纯虚数，则 复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在等比数列 ，已知 ， a3+a5+8，则 ） A 12 B 18 C 24 D 36 4已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ，则 +2 与 的夹角是（ ） A B C D 5若曲线 y=a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B ， + ） C（ 0， + ） D 0， + ） 6若实数 x， y 满足不等式 ，且 x y 的最大值为 5，则实数 m 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 5 7已知 m， n 是空间中两条不同的直 线， 、 是两个不同的平面，且 m，n有下列命题： 若 ，则 m n； 若 ，则 m ； 若 =l，且 m l， n l，则 ； 若 =l，且 m l， m n，则 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8已知函数 f（ x） =a 0， a 1）的反函数的图象经过点（ ， ）若函数 g（ x）的定义域为 R，当 x 2， 2时，有 g（ x） =f（ x），且函数 g（ x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A g（ ） g（ 3） g（ ） B g（ ） g（ ） g（ 3） C g（ ） g（ 3） g（ ） D g（ ） g（ ） g（ 3） 9执行如图所示的程序框图，若输入 a， b， c 分别为 1， 2， 输出的结果为（ ） A 0已知函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R）在（ ，）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B（ 0， C ， 1 D ， 11设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 ，若以 O 为坐标原点）为直径的圆与 切，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 12把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M叫作图形 M 在这个平面上的射影如图，在三棱锥 A ， C， B=5， ，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为面积为 三角形所在的平面为 ，则面积为 三角形在平面 上的射影的面积是（ ） A 2 B C 10 D 30 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13在二项式（ ） 5 的展开式中，若常数项为 10，则 a= 14在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9， 10， 11， ，那么这组数据的方差 能的最大值是 15如图，抛物线 x 的一条弦 过焦点 F，取线段 中点 D，延长点 C，使 |过点 C， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E， G，则|最小值为 16在数列 ， ， 1（ n 2， n N*），则数列 的前 n= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）如图，在平面四边形 ，已知 A= ， B= ， ，在 上取点 E，使得 ，连接 ， （ ）求 值； （ ）求 长 18（ 12 分）某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600 的概率； （ ）求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570时特征量 y 的值 （ 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为= ， = ） 19（ 12 分）如图，已知梯形 在平面垂直， E， ， ， 2，连接 （ ）若 G 为 上一点， 证： 平面 （ ）求二面角 E C 的余弦值 20（ 12 分）在平面直角坐标系 ，已知椭圆 E： + =1（ a b 0），圆 O： x2+y2=0 r b），若圆 O 的一条切线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A，B 两点 （ ）当 k= ， r=1 时，若点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （ ）若以 直径的圆经过坐标原点 O，探究 a， b， r 之间的等量关系，并说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =x+ ，其中 a 0 （ ）若 f（ x）在（ 2， + ）上存在极值点，求 a 的取值范围； （ ）设 （ 0， 1）， （ 1， + ），若 f（ f（ 在最大值，记为 M（ a）则 a e+ 时， M（ a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于 极点的点 A，且点 A 的极坐标为（ 2 ， ），其中 （ ， ） （ ）求 的值； （ ）若射线 直线 l 相交于点 B，求 |值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =4 |x| |x 3| （ ）求不等式 f（ x+ ） 0 的解集； （ ）若 p， q， r 为正实数，且 + + =4，求 3p+2q+r 的最小值 2017 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A= 1， 2， B=y|y=x A，则 A B=（ ） A 1， 4 B 1， 2 C 1， 0 D 0， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A= 1， 2， B=y|y=x A=0， 4， A B=0， 2 故选： D 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2若复数 z1=a+i（ a R）， i，且 为纯虚数，则 复平面 内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z1=a+i（ a R）， i，且 = = = + =0， 0， a=1 则 复平面内所对应的点（ 1， 1）位于第一象限 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3在等比数列 ，已知 ， a3+a5+8，则 ） A 12 B 18 C 24 D 36 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设公比为 q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出 【解答】 解：设公比为 q， ， a3+a5+8， a3+8， 6+68， 解得 a5= 3=18， 故选： B 【点评】 本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题 4已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ，则 +2 与 的夹 角是（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 结合题意设出 ， 的坐标，求出 +2 的坐标以及 +2 的模，代入公式求出 +2 与 的夹角余弦值即可求出角的度数 【解答】 解：平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | |= ， 不妨设 =（ 1， 0）， =（ ， ）， 故 +2 =（ ， ）， | +2 |= ， （ +2 ） = + = ， 故 +2 ， = = = ， 故 +2 与 的夹角是 ， 故选： A 【点评】 本题考查了平面向量数量积的运算 ，考查向量夹角的余弦公式，是一道中档题 5若曲线 y=a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B ， + ） C（ 0， + ） D 0， + ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 令 y 0 在（ 0， + ）上恒成立可得 a ，根据右侧函数的值域即可得出 a 的范围 【解答】 解： y= +2x （ 0， + ）， 曲线 y=a 为常数）不存在斜率为负数的切线， y= 0 在（ 0， + ）上恒成立， a 恒成 立， x （ 0， + ） 令 f（ x） = ， x （ 0， + ），则 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增， 又 f（ x） = 0， a 0 故选 D 【点评】 本题考查了导数的几何意义，函数单调性与函数最值，属于中档题 6若实数 x， y 满足不等式 ，且 x y 的最大值为 5，则实数 m 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数 z=x 2y 的最大值为 2，确定约束条件中 a 的值即可 【解答】 解：画出约束条件 ，的可行域，如图： x y 的最大值为 5，由图形可知， z=x y 经过可行域的 A 时取得最大值 5， 由 A（ 3， 2）是最优解， 直线 y=m，过点 A（ 3， 2）， 所以 m= 2， 故选： C 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题 7已知 m， n 是空间中两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，且 m，n有下列命题： 若 ，则 m n； 若 ，则 m ； 若 =l，且 m l， n l，则 ； 若 =l，且 m l， m n，则 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论 【解答】 解： 若 ，则 m n 或 m， n 异面，不正确； 若 ，根据平面与平面平行的性质，可得 m ，正确； 若 =l，且 m l， n l，则 与 不一定垂直，不正确； 若 =l，且 m l， m n， l 与 n 相交则 ，不正确 故选： B 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定 理和性质定理是解决本题的关键 8已知函数 f（ x） =a 0， a 1）的反函数的图象经过点（ ， ）若函数 g（ x）的定义域为 R，当 x 2， 2时，有 g（ x） =f（ x），且函数 g（ x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A g（ ） g（ 3） g（ ） B g（ ） g（ ） g（ 3） C g（ ） g（ 3） g（ ） D g（ ） g（ ） g（ 3） 【考点】 反函数 【分析】 根据函数的奇偶性，推导出 g（ x+2） =g（ x+2），再利用当 x 2，2时， g（ x）单调递减，即可求解 【解答】 解：函数 f（ x） =a 0， a 1）的反函数的图象经过点（ ， ），则 a= ， y=g（ x+2）是偶函数， g（ x+2） =g（ x+2）， g（ 3） =g（ 1）， g（ ） =f（ 4 ）， 4 1 ，当 x 2， 2时， g（ x）单调递减， g（ 4 ） g（ 1） g（ ）， g（ ） g（ 3） g（ ）， 故选 C 【点评】 本题考查反函数，考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键 9执行如图所示的程序框图，若输入 a， b， c 分别为 1， 2， 输出的结 果为（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 a， b 的值，当 a=b=a b| 出循环，输出 的值为 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=1， b=2， c=行循环体， m= ，不满足条件 f（ m） =0， 满足条件 f（ a） f（ m） 0， b=满足条件 |a b| c， m=满足条件 f（ m） =0，不满足条件 f（ a） f（ m） 0， a=满足条件 |a b| c， 退出循环，输出 的值为 故选： D 【点评】 本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的 a， b 的值是解题的关键，属于基础题 10已知函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R）在（ ，）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B（ 0， C ， 1 D ， 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用积化和差公式化简 2x+） =x+2） 将函数化为 y=x+）的形式，在（ ， ）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） =x+2） 2x+）（ 0， R） 化简可得： f（ x） =x+2） x+2） + 由 + ，（ k Z）上单调递减， 得： + ， 函数 f（ x）的单调减区间为： ， ，（ k Z） 在（ ， ）上单调递减， 可得： 0， 1 故选 C 【点评 】 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题 11设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 ，若以 O 为坐标原点）为直径的圆与 切，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 N=MN=r，则 r，根据勾股定理 r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求 得 【解答】 解：设 N=MN=r， 则 r， 根据勾股定理 r， 又 e= = = = = = ， 故选： D 【点评】 此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于 |2a|的点所组成的图形即为双曲线考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数 ”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 12把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M叫作图形 M 在这个平面上的射影如图，在三棱锥 A ， C， B=5， ，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为面积为 三角形所在的平面为 ，则面积为 三角形在平面 上的射影的面积是（ ） A 2 B C 10 D 30 【考点】 平行投影及平行投影作图法 【分析】 由题意，面积为 三角形在平面 上的射影为 可得出结论 【解答】 解：如图所示，面积为 三角形在平面 上的射影为 面积为 =2 ， 故选 A 【点评】 本题考查射影的概念，考查三角形面积的计算，比较基础 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13在二项式（ ） 5 的展开式中，若常数项为 10，则 a= 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解：二项式（ ） 5 的展开式中，通项公式 = =r ， 令 10 =0，解得 r=4 常数项 =a = 10， a= 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9， 10， 11， ，那么这组数据的方差 能的最大值是 36 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 设这组数据的最后 2 个分别是： 10+x， y，得到 x+y=10，表示出 据 x 的取值求出 最大值即可 【解答】 解：设这组数据的最后 2 个分别是： 10+x， y， 则 9+10+11+（ 10+x） +y=50， 得： x+y=10，故 y=10 x， 故 1+0+1+ x） 2= + 显然 x 最大取 9 时， 大是 36， 故答 案为： 36 【点评】 本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题 15如图，抛物线 x 的一条弦 过焦点 F，取线段 中点 D，延长点 C，使 |过点 C， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E， G，则|最小值为 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 方程为 x=，代入抛物线 x，可得 44=0，| 2，利用基本不等式即可得出结论 【解答】 解：设直线 方程为 x=，代入抛物线 x，可得 44=0， 设 A（ B（ 则 y1+m， 4， | 2 4，当且仅当 时，取等号，即 |最小值为 4， 故答案为 4 【点评】 本题考查 |最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 16在数列 ， ， 1（ n 2， n N*），则数列 的前 n= 【考点】 数列的求和 【分析】 由条 件可得 = ，令 ，可得 1，由bn= ，求得 而得到 得 = =2（ ），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和 【解答】 解：在数列 ， ， 1（ n 2， n N*）， 可得 = ， 令 ，可得 1， 由 bn= =1 = ， 可得 ， 即有 = =2（ ）， 则前 n 项和 （ 1 + + + ） =2（ 1 ） = 故答案为： 【点 评】 本题考查数列的求和，注意运用构造数列法，结合数列恒等式，考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于难题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017成都模拟）如图，在平面四边形 ，已知 A= ， B= ， ，在 上取点 E，使得 ，连接 ， （ ）求 值； （ ）求 长 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ ）在 ，正弦定理求出 （ ）在 ，由余弦定理得 2得 余弦定理得 2直角 ，求得 ，在 ，由余弦定理得 2可 【解答】 解：（ ）在 ，由正弦定理得 ， ， （ ）在 ，由余弦定理得 2即7=1+B，解得 由余弦定理得 2 ， 1200+ = ， ， 在直角 ， ， ， ， 在 ，由余弦定理得 249 【点评】 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题 18（ 12 分）（ 2017成都模拟）某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600 的概率； （ ）求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570时特征量 y 的值 （ 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为= ， = ） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）利用对立事件的概率公式，可得结论； （ ）求出回归系数，即可求特征量 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；并预测当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值 【解答】 解：（ ）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有 =10种方法，都小于 600，有 =3 种方法， 至少有一个大于 600 的概率 = = （ ） =554 ， =600 ， = = = = = = x=570， =604，即当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值为 604 【点评】 本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键 19（ 12 分）（ 2017成都 模拟）如图，已知梯形 在平面垂直， ， 2，连接 （ ）若 G 为 上一点， 证： 平面 （ ）求二面角 E C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面 角E C 的余弦值 【解答】 证明：（ ） 梯形 在平面垂直， E， 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， ， ， 2，连接 G 为 上一点， E（ 0， 4， 0）， G（ 0， 0， ）， B（ 3， 0， 4 ）， C（ 12， 0， 0）， F（ 9，4， 0）， =（ 9， 0， 4 ）， =（ 6， 4， 4 ）， =（ 0， 4， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=3 ，得 =（ 4， 3， 3 ）， = 12+12=0， 面 平面 解：（ ） =（ 3， 4， 4 ）， =（ 9， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 c=1， =（ 0， ， 1）， 平面 法向量 =（ 4， 3， 3 ）， 设二面角 E C 的平面角为 ， 则 = = 二面角 E C 的余弦值为 【点评】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20（ 12 分）（ 2017成都模拟）在平面直角坐标系 ，已知椭圆 E： + =1（ a b 0），圆 O： x2+y2=0 r b），若圆 O 的一条切线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A， B 两点 （ ）当 k= ， r=1 时，若点 A， B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆 E 的方程； （ ）若以 直径的圆经过坐标原点 O，探究 a， b， r 之间的等量关系，并说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）依题意原点 O 到切线 l： y= x+m 的距离为半径 1， m= ，A（ 0， ）， B（ ， 0） 代入椭圆方 程，求出 a、 b 即可 （ 2）由原点 O 到切线 l： y=kx+m 的距离为半径 r 1+立直线方程和与椭圆的方程，利用 求解 【解答】 解：（ ）依题意原点 O 到切线 l： y= x+m 的距离为半径 1， ，m= ， 切线 l： y= x+ ， A（ 0， ）， B（ ， 0） a= ， b= ， 椭圆 E 的方程为： （ ）设 A（ B（ 联立 ，得（ b2+ 以 直径的圆经过坐标原点 O， ； （ ） x1+=a2+=（ ） 又 圆 O 的一条切线 l： y=kx+m， 原点 O 到切线 l： y=kx+m 的距离为半径 r 1+ 由 得 a2+= 以 直径的圆经过坐标原点 O，则 a， b， r 之间的等量关为： a2+ 【点评】 本题考查曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题 21（ 12 分）（ 2017成都模拟）已知函数 f（ x） =x+ ，其中 a 0 （ ）若 f（ x）在（ 2， + ）上存在极值点，求 a 的取值范围； （ ）设 （ 0， 1）， （ 1， + ），若 f（ f（ 在最大值，记为 M（ a）则 a e+ 时， M（ a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的导数，得到 a=x+ 在 x （ 2， + ）上有解，由 y=x+ 在 x （ 2， + ）上递增，得 x+ （ ， + ），求出 a 的范围即可； （ ）求出函数 f（ x）的导数 ，得到 f（ f（ f（ n） f（ m），求出 M（ a） =f（ n） f（ m） =（ m n） +（ ），根据函数的单调性求出 M（ a）的最大值即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = 1 = ， x （ 0， + ）， 由题意得， =0 在 x （ 2， + ）上有根（不为重根）， 即 a=x+ 在 x （ 2， + ）上有解， 由 y=x+ 在 x （ 2， + ）上递增，得 x+ （ ， + ）， 检验， a 时， f（ x）在 x （ 2， + ）上存在极值点， a （ ， + ）； （ ）若 0 a 2， f（ x） = 在（ 0， + ）上满足 f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）上递减， f（ f（ 0， f（ f（ 存在最大值，则 a 2； 方程 =0 有 2 个不相等的正实数根， 令其为 m， n，且不妨设 0 m 1 n， 则 ， f（ x）在（ 0， m）递减，在（ m， n）递增，在（ n， + ）递减， 对任意 （ 0， 1），有 f（ f（ m）， 对任意 （ 1， + ），有 f（ f（ n）， f（ f（ f（ n） f（ m）， M（ a） =f（ n） f（ m） =（ m n） +（ ）， 将 a=m+n= +n， m= 代入上式，消去 a， m 得： M（ a） =2（ +n） n） ， 2 a e+ ， +n e+ ， n 1， 由