幂子群与循环群的充要条件

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 幂子群与循环群的充要条件 摘 要：在群的理论研究中，通 过对群的幂子群与循环群的研究，来探 讨群的性质是群论研究中的一条很重要 的途径。本文在前人研究的基础上，通 过对幂子群和循环群的充要条件进一步 研究，有利于对基础数学的更深的认识。 中国论文网 /2/view-12891403.htm 关键词：幂子群 循环群 充要条 件 代数学是数学的一个古老分支， 有着悠久的历史。数是大家研究数学的 最基本的对象，数的最基本的运算是加、 减、乘、除。但是，数不是我们研究数 学的唯一对象，而且我们所遇到的许多 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 运算也不全是数的普通加、减、乘、除。 例如，向量、多项式、函数、矩阵和线 性变换等等，它们虽然都不是数，但却 也可以类似于数那样来进行运算。特别 是，尽管这些研究对象千差万别，各有 自己的特性，但从运算的角度看却有着 很多共同的性质。它的结论与方法在数 学、物理、化学、正交试验设计和编码 等理论中都有重要应用。 一、幂子群与循环群概述 （一）幂子群 设 G 为群，H 是它的一个子群， 若存在正整数 n 使得 H=，则称 H 为 G 的一个幂子群，记为 H=Gn。设 G 为群， 如果对任意 gG，都有 g0G 使得 g0=g0P，那么显然有 G 的幂子群 Gp 满 足 Gp=G。由于群间的同构关系具有反 身性、对称性、和传递性，凡无限循环 群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼 此同构。而不同阶的群，由于不能建立 双射，当然不能同构。因此，我们可以 说，在同构意义下，循环群只有两种， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 即整数加群 Z 和 n 次单位根群 Un。 1.当 Hl，H2，H3，H4 都是正规 子群时，则 G 中的所有子群都是正规子 群，因此 G 是 Dedekind 群，故 G 是幂 零的； 2.显然 G 中不可能只有一个子群 不是正规子群。下面我们讨论 G 中只有 两个子群不是正规子群，设 Hl，H2 不 是正规子群，H3，H4 是正规子群，则 显然有 Hl 与 H2 是共轭的。若 NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由 定理知 HlG 矛盾，因此只能有 HlG（Hl）G，同理 H2NG（H2）G， 由此 G 中所有的子群都是次正规子群， 由定理知 G 是幂零的。 （二）循环群 设 M 是群 G 的任意一个非空子 集，G 中包含 M 的子群是存在的。当 然，G 中可能还有别的子群也包含 M。 现在用M表示 G 中包含 M 的一切 子群的交，则M仍是 G 中包含 M 的一个子群，而且 G 中任意一个子群只 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 要包含 M，就必包含M 。所以 M是群 G 中包含 M 的最小子群。 一个群（G， ）称为循环群，假 如存在一个元素 aG，使 G=an|nZ 元素 a 称为这个循环群的生成元，记为 G=。根据元素的阶的性质，可知循环群 共有两种类型： 1.当生成元 a 是无限阶元素时， 是一个无限阶循环群： =，a-3，a-2，a- 1，e，a，a2，a3， 2.当生成元 a 是有限阶元素时， 如果 a 的阶为 n，那么这个群称为 n 阶 循环群：=e，a ，a2 ，an-1 （G， ）与（G ， ）是两个群， 若存在一个 G 到 G的双射 f 满足 a，bG，有 f（a b）=f（a） f（b） ， 就说 f 是 G 到 G的一个同构映射或同 构，并称 G 与 G同构，记作 GG 。 G 是一个群，如果 G 的一个子集 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 H 对 G 的运算构成一个群，则称 H 是 G 的一个子群，如果 G 的子群 HG， 则称 H 是 G 的一个真子群，若 H 是 G 的子群，记为 H G，若 H 是 G 的真子 群记为 HG. 二、幂子群的充要条件 定理 1：设 G 是周期幂零群，则 对任意 p（G）有|G：GP|的充要条 件是 G 的每一个西洛子群 GP 是中心被 有限的扩张，且满足 （Gp ）： （Gp） ） 。 证明充分性由题设，对 G 的任意 西洛子群 GP 有 （Gp）：（Gp） ） 。由引理有 （Gp） =DPFP，DP 是可除子群，FP 是有限 子群，显然 DPGP，又 GP/（Gp）是有 限 p-群，易得 GP/DP 有限 p-群，而 DP（ GP）p 显然成立。故 |GP：（GP）p|。由题设知： G=GP1GP2GPn，故对任意 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 pi（G ）有 Gpi=（GP1）pi（GP2） pi（GPn）pi= GP1GP2（GPi ）piGPn； 因此，|GP ：Gpi|=|GPi ：（GP） pi|。 必要性。对 G 的任意西洛 p-子 群 GP，易得|GP：（GP）p|，由定理 知，H 是可除阿贝尔子群，H，因此有 Gp：（ Gp） Gp：H 显然 H（Gp）P，故 （Gp）： （Gp） （Gp ）：H 三、循环群的充要条件 定理 2：若 G 是阿贝尔 p群， 则|G：GP| 的充要条件是 G=DF，其 中 D 是可除子群，F 是有限群。 证明：显然我们只需证明必要性。 由于 |G：GP|=|DF：DPFP|=|F：FP|，因 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 此不妨设|F： FP|=pn，又因为 F 中没有 可除子群，则由定理可得 F=F1， 其中是有限循环子群，若 F 是无 限的，则 F1 是无限的，即有 F1=F2 ，F2=F3 ， 可以无限下去，因此一定存在正 整数 n+1，使得 FP=Fn+1P ， 由此有|F ：FP|pn+1，矛盾，因 此 F 为有限 p-群。 则显然有 F=Fn+1。 设 H 是 G 的一个子群。若 H=（1 ） ，明显 H 是循环群。现令 H（ 1） ，由于 H 不空，有 aH，且存 在一个不为 0 的 nZ，使得 a nH。 又因 a-n=（an）-1H，从而 H 含有 a 的某些正整数幂。现令 s 是使得 asH 的最小正整数，那么我们说 H=（as） ， 因为任取 amH ，且可写 m=qs+t，其 中 0ts。则 at=am （as）-qH，且 s 是使 asH 的最小正整数，所以 t=0。 这样 am=（as）qH。因为 am 是 H 的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 任意元，所以 H=（as ）是一个循环群。 若（a ）是无限的，则对不同的 m 和 nZ，有 aman，因此对于任何 正整数 s，元 ams：当 m=0、1、2，是不同的，所以 （as）是一个无限群。又 s 是使得 as（ as）的最小正整数，所以每个不 等于 1 的子群是无限的。假如取 s=r， 则 H=（ 1） ，这样我们得到 r 的正因子 s 的集到（a）的子群的集上的一个双射。 S（as） ，同时对应于 s 的子群（as） 的阶是 q=r/s，且当 s 跑遍 r 的正因子时， q 同样也如此。因此每个子群的阶是 r 的一个因子。且对于每一个 r 的正因子 q 来说，有且仅有一个阶为 q 的子群。 定理 3：n 阶有限群 G 是循环群 的充要条件是，如果 G 中有 m 阶子群， 那么 G 中 m 阶子群是唯一的。 证明：必要性显然。 充分性：只需证明 G 中有 n 阶元 即可。对于任意 aeG，如果 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 G=（a）则定理得证，不妨设 G（a ） 且 a 的阶为 m，即 am=e，对 m 的任一 正约数 k，对 m 的任一正约数 k，m=SK 都存在 K 阶元素 as（a） ， 根据题设 G 中 m 阶和 m 的正约数阶的 子群是唯一的，所以 G 中所有 m 的任 意正约数阶元全落入（a ）中，但 G（ a）这就意味着 G 中还有其它阶数 的元素 b，b 的阶为 g，且 g 卜 m，设 g=P1r1P2r2Psrs，且 m=P1r1P2r2Psrs 其中 P1，P2，Ps 为互异质数， ri0，ti0，不妨设 r1t1，r2t2，r3t3，rsts，则的 阶为 P2r2P3r3Psrs，aP2r2P3r3Psrs 的阶为 P1t1，由于 P2r2P3r3Psrs 与 P1t1 互质， 因此， （b）（ap）= （C ） 为 G 的 ap 阶循环群，注意 ap 大于 m 和 g，如果 G=（C） ， 则定理得证。如果 G（c）同上讨论， 这样继续下去，所求的元素阶数逐渐增 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 大，由于 n 为有限数，所以 G 必有 n 阶 元，定理得证。 四、结论 近世代数中最重要、最基本的分 支是群、环和域。我们这里主要了解关 于循环群的一些知识。循环群是一种很 重要的群，也是一种已经被完全解决了 的一类群。就是说，这种群的元素表达 方式和运算规则，以及在同构意义下这 种群有多少个和它们子群的状况等等， 都完全研究明了。另外，我们知道