常微分方程在企业经济运行模型中的应用

常微分方程的经济应用模型举例 组员：杨鹏 于晓敏 战应顺 张凯 张兴（组 长） 2014 年 6 月 13 日 目 录 1. 公司资产函数 2. 价格调整问题 3. 新产品的销售速度分析 4. 差分方程在经济学中的应用 5. 总结与体会 常微分方程的经济应用模型举例 微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中 也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模 的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力. 随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中 的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研 究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需 要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一 些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分 方程解决问题，下面就是几个例子： 一、公司资产函数 例。某公司 t 年净资产有 (百万元), 并且资产本身以每年 5%的速度连续增长, 同)tW 时该公司每年要以 300 百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产 的微分方程;)(t (2) 求解方程, 这时假设初始净资产为 ;0 (3) 讨论在 三种情况下, 变化特点 .760,50W)(tW 解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度资产本身增长速度职工工资支付速度 得到所求微分方程 .3.dt (2) 分离变量，得 .056dtW 两边积分，得 为正常数） ，于是1(ln|lnC 或 ,|60| 05.1teC).105.et 将 代入，得方程通解：)( .)60(5teW 上式推导过程中 当 时， 知,0dt ,)(6005.te,6W 通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中. (3) 由通解表达式可知，当 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第 36 年破产；50W 当 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在 600 百万元不变；当 百万60W 70W 元时，公司净资产将按指数不断增大. 二、价格调整模型 例 如果设某商品在时刻 t 的售价为 P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是 P 的函 数 则在时刻 t 的价格 对于时间 t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额),(PSD)( 需求量 成正比, 即有微分方程 (1.3)0()(kPSDkdt 在 和 确定情况下, 可解出价格与 t 的函数关系，这就是商品的价格调整模型.)(PDS 例如： 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量 S 是价格 P 的单调递增函数, 商品需求量 Q 是价格 P 的单调递减函数 , 为简单起见, 分别设该商品的 供给函数与需求函数分别为 (8.6)baS)(,)( 其中 均为常数, 且,ba.0 当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格 baPe 并称 为均衡价格.eP 一般地说, 当某种商品供不应求, 即 时, 该商品价格要涨 , 当供大于求, 即QS 时, 该商品价格要落. 因此, 假设 t 时刻的价格 的变化率与超额需求量 成QS )(tPSQ 正比, 于是有方程 )(SkdtP 其中 用来反映价格的调整速度.,0k 将(8.6)代入方程, 可得 (8.7)(Pdte 其中常数 方程(8.7)的通解为,0)(kb teCPt)( 假设初始价格 代入上式, 得 于是上述价格调整模型的解为)0(P,0etet)()( 由于 知, 时, 说明随着时间不断推延, 实际价格 将逐渐趋近t. )(tP 均衡价格 .eP 三、新产品的销售速度分析 记时刻 t 时已售出的新产品数为 X(t),假设该产品使用方便,这些正在使用的新产品实际 上起着宣传的作用,吸引着尚未购买的顾客,设每一个新产品在单位时间内平均吸引 K 个顾 客,由此可知,X(t)满足微分方程: dXdt=KX,X(0)=0. 其解为: X(t)=X 0eKt . 若取 t=0 表示新产品诞生的时刻： 则 X(t)=0, 与事实不符，它只考虑了实物广告的作用,而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品 从而打开销路的可能性，所以呢应该有个上界，设需求量的上界为 K,则尚未使用新产品的 户数为（K-X(t)）由统计规律可知,dXdt 与 X(K-X)成正比,比例系数为 r,则： dXdt=rX(K-X) 它的解为 X(t)=K/1+ce-Krt 一阶导数 Xc(t)=cK2re-Krt /1+ce-Krt 二阶导数 Xd(t)=cK3r2(ce-Krt-1)(1+ce-Krt)2 当 Xc(t)0 时,X(t)单调增加,由 Xd(t)=0 得出 ce-Krt0=1,此时 X(t0)=K/2 当 t0,即 Xc(t)单调增加,这表示在销售量小于最大需求量的一半时,销售速 度 Xc(t)不断增大;当 tt0 时,Xd(t)t0),销售速度 Xc(t)开始下降。 所以，用户采用某一新产品的这段时期,应是该产品正式大批量生产的较合适的时期, 初期应采用小批量生产并加以广告宣传,后期则应适时转产,这样做可以取得较高的经济效 益！ 四、差分方程在经济学中的应用 采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例 说明其应用. 1.“筹措教育经费”模型 某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行 , 用于投资子女的教育, 并 计算 20 年后开始从投资账户中每月支取 1 000 元, 直到 10 年后子女大学毕业并用完全部资 金. 要实现这个投资目标, 20 年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投 资的月利率为 0.5%, 为此, 设第 t 个月, 投资账户资金为 每月存资金为 b 元, 于是 20 年,ta 后, 关于 的差分方程模型为,ta (9.11)10)5.(1tta 且 .,012xa 例： 某家庭从现在开始,从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,计划 20 年后开始从投资帐户中每月只取 1000 元,直到 10 年后子女大学毕业并用完全部资金.要 实现这个投资目标,20 年内要总共筹措多少资金?每月要在银行存入多少钱?假设投资的月利 率为 0.5%, 解：设第 t 个月,投资帐户资金为 ta,每月存资金为 b 元,于是,20 年后,关于 ta 的差分方程模型 为 (9.11)105.1tta 且 ,012a.x 解方程(9.11)得其通解为 ,20)5.1(0.)05.1( AAattt 其中 为任意常数.因为A ,2).(10120,0xa 从而有 .459735.x 从现在到 20 年内, 满足方程ta (9.12)batt)0.1( 且 ,0a.4597324 解方程(9.12)得通解 ,20)5.1(0.)0.1( bAbAattt 以及 从而有,459732)05.1(424ba ,a.9514 即要达到投资目标,20 年内要筹措资金 90073.45 元,平均每月要存入 194.95 元. 2. 价格与库存模型 本模型考虑库存与价格之间的关系 设 为第 t 个时段某类产品的价格 , 为第 t 个时段的库存量 . 为该产品的合理)(tP)(tLL 库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于 合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程 (9.13)(1ttt LkP 其中 k 为比例常数. 例： “百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。每年营业时间为 360 天，每天平均 售出 400 张毛巾，每张毛巾的批发价平均为 070 元，每次订货的平均费用为 112 元。即 每次订货，不论购买的数量多少都要支出 112 元。现在商店是每半年进一次货，一年进两 次货 。每张毛巾的存贮费用一年为 0126 元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来 并非是一个好的订货方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次 的数量应该为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。 解析： 现在“百花”商店是每年进货两次 ，每年毛巾的需求量是 H=（400*360)144000 张 ，则每次订货数量为 144000/2=72000 张。 这个库存问题是等量需求及时补充的 ，因此不会产生脱销费用。这时的年度总库存费用= 年订货费用+年存贮费用， 用公式表示为 A=B+C 其中 A 为年总库存费用； B 为年订货费用， B=HS/Q，式中 H 为年需求量，本例 H=144000 张 。S 为每次订货费用 ， S=112 元。 Q 为每次订货量 ，本例 Q=72000 张。则 B=HS/Q =144000 112/72000=224 元。 每年订货次数（ N= H/Q) ，则 B=NS=2 112=224 元 。 C 为年存贮费用， C=Q/2K， K 为单位商品的存贮费用，Q/2 为平 均库存量。本例 K=0.126 元 ， 则 C=72000/2 0.126=4536 元 。 因此“百花”商店每年订货两次，每次订货量 为 72000 张时的总库存费用为 A=B 十 C=224 4536=4760 元。 3. 国民收入的稳定分析模型 本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题. 设第 t 期内的国民收入 主要用于该期内的消费 , 再生产投资 和政府用于公共设tytGtI 施的开支 G(定为常数), 即有 (9.17)ICtt 又设第 t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关 , 即 (9.18)10(1Aytt 第 t 期的生产投资应取决于消费水平的变化 , 即有 (9.19)(1tttCBI 由方程(9.17), (9.18), (9.19) 合并整理得 (9.20)GAyyttt 21)( 于是, 对应 A, B, G 以及 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.0 例： 社会原收入水平 1000 亿元，消费为 800 亿元。当收入增加至 1200 亿元时，消费增加 至 900 亿元。 解：平均消费倾向：APC=C/Y=900/1200=0.75 平均储蓄倾向：APS=1-APC=1-0.75=0.25 边际消费倾向：MPC=C/ Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5 储蓄倾向：MPS=1-MPC=1-0.5=0.5 自发总支出增加 50 亿元，GDP 会增加多少。 Y=1/(1-c) AE Y=1/(1-c) AE=1/(1-0.5