湖南省湘潭市2017年高考第三次模拟数学试题（理科）含答案

湖南省湘潭市 2017 第三次高考模拟 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，集合 1M x x， 2,xN y y x R ，则集合 N等于（ ） A ,1 B 1,2 C , 1 2 , D 2, 2. 若 11z i i i (i 为虚数单位 )，则复数 z 的虚部为（ ） A 212B 21 C 1 D 212x 轴，直线 1x 以及曲线 1围成，现向矩形区域 随机投掷 一点，则该点落在阴影区域的概率是 （ ） A 111eC. 11eD 214“ 0m ”是“直线 0x y m 与圆 2 21 1 2 （ ） 相切”的 （ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5若双曲线 221的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为 （ ） A 2 B 3 C. 2 D 326函数 2 2 xf x x x e 的图象大致是（ ） A B C. D 7执行如图所示的程序框图，如果运行结果为 720，那么判断框中应填 入（ ） A 6k B 7k C. 6k D k 8某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 （ ） A 6 B 7 C. 8 D 12 9已知12的前 n 项和，若10 1013恒成立，则整数 n 的最小值为 （ ） A 1026 B 1025 D 1023 子算经中，对同余除法有较深的研究设 , , 0a b m m 为整数，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 b m 2 2 2 0 2 02 0 2 0 2 0 2 02 2 2a C C C C ， 0， 则 b 的值可以是 （ ） A 2011 B 2012 D 2014 11 如图，12,2195长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,椭圆上不同于12,线12, , ,Q A Q A O S O 则 22T（ ） A 14 B 12 C. 9 D 7 12已知函数 2l n 1f x a x x ，若对 , 0,1 ，且 ，有 11 2f p f 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ ） A ,18 B ,18 C. 18, D 18, 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 5 2 3 4 50 1 2 3 4 512 x a a x a x a x a x a x ，则024a a a 1(1, )M m m ，若点 ,()Nx y 在不等式组 , ,1 表示的平面区域内，且 N (O 为 坐标原点）的最大值为 2，则 m f x x 的图象沿 x 轴向右平移 0 个单位长度后得到函数 函数 关于 y 轴对称，则当 取最小的值时， 0g 16已知数列 *1 2 3 2a a a n a n N ， 2 22 ，则数列 三、解答题 （本大题共 6 小 题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， 2 2 3 = 4 (1)求角 A 的大小； (2)若 2a ，求 的周长 l 的取值范围 18. 在四边形 ，对角线 ,直相交于点 O ，且 4 , 3O A O B O D O C =将沿 到 的位置，使得二面角 E 的大小为 90 （如图）， Q 为 中点，点 P 在线段 ，且 2 (1)证明：直线 /面 (2)求直线 平面 成角 的正弦值 19. 某届奥运会上，中国队以 26 金 18 银 26 铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高 三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了 50 人，具体的调查结果如下表： (1)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； (2)若从一班至二班的调查对象中 随机 选取 4 人进行追踪调查，记选中的 4 人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 . 20. 已知点 (1, )0F ，点 A 是直线1 :1上的动点，过 A 作直线2l，12 线段 垂直平分线与2 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)若点 , 的内切圆方程为 22 =1，直线 斜率为 k ， 求 21. 已知函数 32l n 2 1 23xf x a x x a x a R (1)若函数 x 处取得极值，求实数 a 的值 ； (2)若函数 区间 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (3)若当 12a时，方程 3113x 有实数根，求实数 b 的最大值 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 1 （ 为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半 轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l 的极坐标方程是 2 s i n 3 33，射线 :3 与圆 C 的交点为 ，与直线 l 的交点为 Q 求线段 长 等式选讲 已知函数 2 0 , 0()x x a x b a 的最小值为 1 (1)求 的值； (2)若 12恒成立，求实数 m 的 最大值 . 试卷答案 一、选择题 11M x x x x , 2 , 0xN y y x R y y , 1, N ，故选 A. 1 1 2z i i i i ， 212 2 1 2 11 1 1 2 2i i ，则 z 的虚部为 2+12，故选 D. 3 D 所求概率为 10 1 21 1 1xe d x ，故选 D. 4 B 当 0m 时， 圆 221 1 2 的圆心 1,1 到直线 0 的距离为 2 ，等于半径，此时 圆 与直线相切；若直线 0x y m 与圆 221 1 2 相切，则 圆 心到直线距离为 11 22m ， 解得 4m 或 0故应选 B 5 A 6 B 由 00f ，解得 0x 或 2x ，所以函数 A， C 不正确，所以 2 2 xf x x e ，由 0 ，解得 2x 或 2x ，由 0 ，解得 22x ，即 2x 是函数的一个极大值点，所以 D 不成立，故选 B 7 C 2 , 1 3 4 5 62 6 2 4 1 2 0 7 2 0, , , ,ks k k k ks s s s s ， 7 ， 结束循环，故选 C 8 B 由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个 圆 柱，所以其表面积为 21 4 1 + 2 2 + 1 1 = 72 . 因为 2 1 1122，所以 112n ,10 1 0 1 0111 0 1 3 1 1 1 0 1 3 1 0 1 422T ,又10 1013， 所以整数 n 最小值为 因为 2 0 1 02 0 1 0 0 1 0 1 9 01 0 1 0 1 01 2 0 3 9 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1a C C C ，所以 a 被 10除得的余数为 1，而 2011 被 10 除得的余数是 1，故选 A 1 1 2 2, , , , ,Q x y T x y S x y，12, , 斜率为12, 212 2 53 3 9 9y y x x x ， 所以 212 2 2 2 2 21 1 1 1 1 214 5 159 x y x k ， 同理 222224 5 159， 因此 2 2 2 22 2 1 2 1 12 2 21 2 121254 5 14 5 1 4 5 1 4 5 1 81255 9 5 9 5 9 59k k k O Tk k 2 221 112 2 21 1 14 5 1 8 1 2 5 1 2 6 7 0 145 9 5 9 5 9k k k 12 C 因为 2l n 1f x a x x ，所以 21 l n 1 1 1f x a x x ，所以 1 2 12af x . 因为 , 0,1，且 ，所以 11 2f p f 恒成立 11 2f p f 恒成立 12 恒成立，即 2 1 2 0 12a 恒成立，所以 22 2 0 1a x x 恒成立，又因 为 0,1x 时， 28 2 2 1 8x ，所以 18a . 二、填空题 13. 121 令 1x ，则 50 1 2 3 4 53a a a a a a ； 令 1x ，则0 1 2 3 4 51a a a a a a ， 所以 5024 31 1212a a a . O M O N x m y ， 令 x my z，作出不等 式组表示的可行域，分析知当1 ,11时， z 所以 1 211 ，解之得 12m 或 12m （舍去），所以 12m . 15. 1 s i n 2 2g x x ， 若函数 于 y 轴对称，则 01g 或 01g . 22k k Z ， 24k ，又 0 ， ， 此时 01g . 2 3 2a a a n a ， ， 当 =1n 时，1 1a； 当 1时 ， 1 2 3 1 121n n na a a a a n a ， 由 - ，得 112n n na a a ， 即1 22 2nn . 又1 21a 是以 1为首项， 12为公比的等比数列， 1122 ， 即 1122， 12 1 2222 2 2nn . 当 3n 时 0当 3n 时 ， 0 且 1 1112 23=02 2 2nn n n nn ， 所以当 3n时，34当 3n 时，456b b b ，所以数列 128 . 三、解答题 (1)因为 2 2 3 4 ，所以2 12 2 c o s A A， 所以 24 4 1 0c o s A c o ， 所以 1 又 因为 0 A ，所以3A . (2)因 为s i n s i n s i na b C，3A ， 2a ， 所以 44s i n , s i n c， 所以 42 2 s i n s i n b c B . 因 为 23， 所以 422 s i n s i n 2 s i B B . 又因为 203B ，所以 1 s i n 126B ，所以 4,6l . 18证明： (1)由题设知 90 ，故 ,B 两垂直，建立如图直角坐标系 O ， 则 0 , 4 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 4 , 0 , 4 , 0 , 0B E D A 由题知 42， 故 4P . 又 4, 4, 0 ，故 1,1, 0 ， 3,1,0P . 又 30,0,2Q，故 33, 1,2 . 设平面 一个法向量为 ,n x y z 又 4 , 4 , 0 , 0 , 4 , 3D A D E, 0,0,n E 所以 4 4 0,4 3 0,取 3x ，得 3, 3, 4n . 所以 0n 又因为 P 不在平面 ， 故 直线 /面 (2)由 (1)可知 3, 3, 4n 为平面 一个法向量， 又 0, 8, 0 , 故 2 4 3s i n c o s , 3 4343 4 8n B D n B D . (1)因为在被抽取的 50 人 中 ，持满意态度的学生共 36 人， 所以持满意态度的频率为 1825， 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为 1825. （ 2） 的所有可能取值为 O， 1， 2， 3 013 1 1414300 91 ； 133 1 1414451 91 ； 223 1 1414152 91 ； 313 1 141413 91 . 的分布列为 3 0 4 5 1 5 1 60 1 2 39 1 9 1 9 1 9 1 7E . 20解： (1)据题设分析知，点 P 的轨迹 C 是以点 (1,0)F 为焦点，直线1 :1为准线的抛物线， 所以曲线 C 的方程为 2 4. (2)设 00,P x y，点 1,，点 1,， 直线 方程为 0011m ， 化简，得 0 0 0 01 1 0y m x x y y m m x ， 又因为 内切 圆 的方程为 221 所以圆心 0,0 到直线 距离为 1，即 00221 11y m m xy m x ， 所以 2 2 2 220 0 0 0 0 0+ 1 2 1 1y m x y m m y m x m x ， 由题意，得0 1x，所以 20 0 01 2 1 0x m y m x . 同理，有 20 0 01 2 1 0x n y n x ， 所以 ,t 的方程 20 0 01 2 1 0x t y t x 的两根， 所以 000012 ,11n m 因为 所以 22 002 00414=411 m n m n m . 因为 20 0 0 04 , 2y x y x， 所以 200 0 022000411 6 4 1=2111xx x . 直线 斜率00 1yk x ，则 00002=11， 所以0200 001141 4k x x . 因为函数 1在 1, 上单调递增，所以当0 1x时，0 01 0x x， 所 以001101 44，所以001101 24， 所以 10 2. 所以 0,2. 21解： (1) 22 2221af x x x 222 1 4 4 2=21x a x a x ， 因为函数 x 处取得极值，所以 20f ，即 2 2041a ，解得 0a ，且经检验成立 . (2)因为函数 3, 上为增函数， 所以 222 1 4 4 2=021x a x a x 对 3,x 恒成立 讨论： 当 0a 时， 0 对 3,x 上恒成立，所以 3, 上为增函数，故 0a 符合题意 当 0a 时， 2 1 0 ，所以 0a ， 且 222 1 4 4 2 0a x a x a 对 3,x 上恒成立， 令 222 1 4 4 2g x a x a x a ，其对称轴方程为 114x a，又因为 0a ，所以1114a，所以要使 0对 3,x 上恒成立，只要 30g 即可，即 23 4 6 1 0g a a ，所以3 1 3 3 1 344a . 又因