2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年天津市河西区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 M=x|y=1 x） ，集合 N=y|y=x R（ e 为自然对数的底数） ，则 M N=（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x|0 x 1 D 2若实数 x， y 满足条件 则 z=3x 4y 的最大值是（ ） A 13 B 3 C 1 D 1 3执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 4若 q 0，命题甲： “a， b 为实数，且 |a b| 2q”；命题乙： “a， b 为实数，满足 |a 2| q，且 |b 2| q”，则甲是乙的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5在 ，三个内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c，若 S ， a+b=6， =2 c=（ ） A 2 B 4 C 2 D 3 6已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐近线与圆 x2+4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（ ） A B 2 C D 7如图在平行四边形 ，已知 ， ， =3 ， =2，则 的值是（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 8已知函数 f（ x） = ，若 g（ x） =|f（ x） |的图象与 x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， ） B（ 0， ） C（ 0， ） D ， ） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（ 1+i） =1 i，则 |z|= 10某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是 11若（ x+ ） n 的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数 n 的值为 12已知 x 0， y 0，且 ，若 x+2y m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 13已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（ 0， + ）上单调递减，若实数 a 满足 f（ f（ ），则 a 的取值范围是 14（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，已知点 A（ 1， ），点 P 是曲线 任意一点，设点 P 到直线 =0 的距离为 d，则丨 +d 的最 小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15已知函数 f（ x） =2 x+ ） x+ ） +1 （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若将 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，求函数g（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值，并求出取得最值时的 x 值 16甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃 A，方片A，黑桃 Q 与梅花 K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃 A，方片 Q，梅花 Q 与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌 （ ）求恰好抽到两张 A 的概率 （ ）记四张牌中含有黑桃的张数为 x，求 x 的分布列与期望 17如图，已知四边形 矩形， ，三角形 正三角形，且平面 平面 （ ）若 O 是 中点，证明： （ ）求二面角 B D 的正弦值 （ ）在线段 是否存在点 Q，使得直线 平面 成角的正弦值为，若存在，确定点 Q 的位置，若不存在，请说明理由 18已知数列 前 n 项和为 n N*），且满足 n=2n+1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2） 求证： 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ 1， ），一个焦点为（ ，0） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 y=k（ x 1）（ k 0）与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求 的取值范围 20已知函数 f（ x） =x2+x （ I）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） （ 1） x2+1 恒成立，求整数 a 的最小值； （ ）若正实数 足 f（ +f（ +2（ x +x ） +，证明 x1+ 2017 年天津市河西区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 M=x|y=1 x） ，集合 N=y|y=x R（ e 为自然对数的底数） ，则 M N=（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x|0 x 1 D 【考点】 对数函数的定义域；交集及其运算 【分析】 分别求出 M、 N 的范围，在求交集 【解答】 解： 集合 M=x|y=1 x） =x|1 x 0=x|x 1， N=y|y=x R（ e 为自然对数的 底数） =y|y 0， M N=x|0 x 1， 故选 C 2若实数 x， y 满足条件 则 z=3x 4y 的最大值是（ ） A 13 B 3 C 1 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的 其内部，再将目标函数 z=3x 4y 对应的直线进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当 x=y=1 时， z 达到最大值 1 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 其内部， 其中 A（ 1， 3）， C（ 1， 1）， B（ 3， 3） 设 z=F（ x， y） =3x 4y，将直线 l： z=3x 4y 进行平移， 观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当 l 经点 C 时，目标函数 z 达到最大值， z 最大值 =F（ 1， 1） = 1， 故选： C 3执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a， k 的值，当 a= 时满足条件 a ，退出循环，输出 k 的值为 4 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=0， a=3， q= a= ， k=1 不满足条件 a ， a= ， k=2 不满足条件 a ， a= ， k=3 不满足条件 a ， a= ， k=4 满足条件 a ，退出循环，输出 k 的值为 4 故选： B 4若 q 0，命题甲： “a， b 为实数，且 |a b| 2q”；命题乙： “a， b 为实数，满足 |a 2| q，且 |b 2| q”，则甲是乙的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可 【解答】 解：若 a， b 为实数，且 |a b| 2q， 则 2q a b 2q， 故命题甲： 2q a b 2q； 若 a， b 为实数，满足 |a 2| q，且 |b 2| q， 则 2 q a 2+q ， 2 q b 2+q ， 由 得： 2 q b 2+q ， + 得： 2q a b 2q， 故命题乙： 2q a b 2q， 故甲是乙的充分必要条件， 故选： C 5在 ，三个内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c，若 S ， a+b=6，=2 c=（ ） A 2 B 4 C 2 D 3 【考点】 正弦定理；余弦定理 【 分析】 运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角 C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到 c 的值 【解答】 解： = = =1， 即有 2， 可得 C=60， 若 S ，则 ， 即为 ， 又 a+b=6， 由 c2=a2+2 a+b） 2 2（ a+b） 2 32 3 8=12， 解得 c=2 故选 C 6已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐近线与圆 x2+4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线 y= x 与圆 x2+y+3=0 相切 圆心（ 0， 2）到渐近线的距离等于半径 r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出 【解答】 解：取双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线 y= x，即 bx 由圆 x2+4y+3=0 化为 y 2） 2=1圆心（ 0， 2），半径 r=1 渐近线与圆 x2+4y+3=0 相切， =1 化为 3a2= 该双曲线的离心率 e= = =2 故选： D 7如图在平行四边形 ，已知 ， ， =3 ， =2，则 的值是（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 =3 ，可得 = + ， = ，进而由 ， ，=3 ， =2，构造方程，进而可得答案 【解答】 解： =3 ， = + ， = ， 又 ， ， =（ + ） （ ） =| |2 | |2=25 12=2， 故 =22， 故答案为： 22 8已知函数 f（ x） = ，若 g（ x） =|f（ x） |的图象与 x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， ） B（ 0， ） C（ 0， ） D ， ） 【考点】 函数的图象；分段函数的应用 【分析】 将函数 g（ x）的零点问题转化为 y=|f（ x） |与 y=图象的交点问题，借助于函数图象来处理 【解答】 解：由于函数 g（ x） =|f（ x） |有 3 个零点，则方程 |f（ x） | 有三个根， 故函数 y=|f（ x） |与 y=图象有三个交点 由于函数 f（ x） = ，则其图象如图所示， 从图象可知，当直线 y=于图中两虚线之间时两函数有三个交点， 因为点 A 能取到，则 4 个选项中区间的右端点能取到，排除 只能从 选，故只要看看选项 间的右端点是选 还是选 ， 设图中切点 B 的坐标为（ t， s），则斜率 k=a=（ |x=t= ， 又（ t， s）满足： ，解得 t=e， 斜率 k=a= = ， 故选： A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（ 1+i） =1 i，则 |z|= 1 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： z（ 1+i） =（ 1 i）， z（ 1+i）（ 1 i） =（ 1 i）（ 1 i）， 2z= 2i， z= i 则复数 z 的模 |z|=1 故答案为： 1 10某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的 体积 【解答】 解：由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的， 该四棱锥的底为正方体的上底，高为 1， 如图所示： 该几何体的体积为 23 22 1=8 = 故答案为： 11若（ x+ ） n 的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数 n 的值为 8 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据（ x+ ） n 的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出 n 的值 【解答】 解： （ x+ ） n 的二项展开式的通项公式为 = r = 2r， 前三项的系数为 1， ， ， n=1+ ， 解得 n=8 或 n=1（不合题意，舍去）， 常数 n 的值为 8 故答案为： 8 12已知 x 0， y 0，且 ，若 x+2y m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 4 m 2 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 先把 x+2y 转化为（ x+2y） 展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据 x+2y m 求得 m 8，进而求得 m 的范围 【解答】 解： ， x+2y=（ x+2y） =4+ + 4+2 =8 x+2y m 恒成立， m 8，求得 4 m 2 故答案为： 4 m 2 13已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（ 0， + ）上单调递减，若实数 a 满足 f（ f（ ），则 a 的取值范围是 （ 0， ） （ ， + ） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可 【解答】 解： 偶函数 f（ x）是 0， + ）上单调递减，满足不等式 f（ f（ ）， 不等式等价为 f（ |） f（ ）， 即 | ， 即 或 ， 即 0 a 或 a ， 故答案为：（ 0， ） （ ， + ） 14（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，已知点 A（ 1， ），点 P 是曲线 任意一点，设点 P 到直线 =0 的距离为 d，则丨 +d 的最小值为 【考点】 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系 【分析】 先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点 A 的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨 +d=| |当 A， P， F 三 点共线时，其和最小，再求出 |值即可 【解答】 解：点 A（ 1， ）的直角坐标为 A（ 0， 1）， 曲线曲线 普通方程为 x，是抛物线 直线 =0 的直角坐标方程为 x+1=0，是准线 由抛物线定义，点 P 到抛物线准线的距离等于它到焦点 A（ 0， 1）的距离， 所以当 A， P， F 三点共线时，其和最小， 最小为 | ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15已知函数 f（ x） =2 x+ ） x+ ） +1 （ ）求 函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若将 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，求函数g（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值，并求出取得最值时的 x 值 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数 f（ x）的单调递增区间； 利用 y=x+）的图象变换可得 g（ x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数 g（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值，并求出取得最值时 的 x 值 【解答】 解：（ ）函数 f（ x） =2 x+ ） x+ ） +1= 2x+ ） +1= 1=22x+ ） 1， 令 2 2x+ 2，求得 x ，可得函数的增区间为 ， ， k Z （ ）若将 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x） =22x+ + ） 1=22x+ ） 1 的图象， 在区间 0， 上， 2x+ ， ，故当 2x+ = 时，即 x= 时，函数取 得最小值为 2 1= 3； 当 2x+ = 时，即 x=0 时，函数取得最大值为 1 16甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃 A，方片A，黑桃 Q 与梅花 K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃 A，方片 Q，梅花 Q 与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌 （ ）求恰好抽到两张 A 的概率 （ ）记四张牌中含有黑桃的张数为 x，求 x 的分布列与期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）基本事件总数 n= =36，恰好抽到两张 A 包含的基本事件个数m= =15，由此能求 出恰好抽到两张 A 的概率 （ ）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌， 甲口袋内的四张牌分别为红桃 A，方片 A，黑桃 Q 与梅花 K， 乙口袋内的四张牌分别为黑桃 A，方片 Q，梅花 Q 与黑桃 K， 从两个口袋分别任取两张牌 基本事件总数 n= =36， 恰好抽到两张 A 包含的基本事件个数 m= =15， 恰好抽到两张 A 的概率 p= = （ ）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = = ， P（ X=1） = = = ， P（ X=2） = = = ， P（ X=3） = = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（ X） = = 17如图，已知四边形 矩形， ，三角形 正三角形，且平面 平面 （ ）若 O 是 中点，证明： （ ）求二面角 B D 的正弦值 （ ）在线段 是否存在点 Q，使得直线 平面 成角的正弦值为，若存在，确定点 Q 的位置，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与平面所成的 角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明； （ ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小； （ ）设出 Q 的坐标，利用向量方法，即可求解 【解答】 （ ）证明： 平面 平面 面 平面 D，四边形 矩形 平面 平面 若 O 是 中点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 1）， A（ 1， 0， 1）， P（ 0， ， 0） =（ 1， 0， 1）， =（ 1， ， 1） 0， ， （ ）解：由（ ）可知： =（ 2， 0， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，取 y=1， 平面 一个法向量为 =（ 0， 1， ） 取 =（ 0， 0， 1），设平面 法向量为 =（ a， b， c）， 则 ，取 b=1，则 =（ ， 1， 0） ， = = ， 由图可以看出：二面角 B D 是一个钝角，故其余弦值为 ，正弦值 为 （ ）解：假设存在 Q，直线 平面 成角的正弦值为 ， 直线 平面 法向量所成角的余弦值为 设 Q（ m， （ 1 m）， 0），则 =（ m+1， （ 1 m）， 1）， = ， 124m+5=0，方程无解， 在线段 不存在点 Q，使得直线 平面 成角的正弦值为 18已知数列 前 n 项和为 n N*），且满足 n=2n+1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求证： 【考点】 数列与不等式的综合；数列递推式 【分析】 （ 1）再 写一式，两式相减得 21=2，整理 ，即，数列 2是首项为 ，公比为 的等比数列，即可求数列 通项公式； （ 2）利用裂项法，即可证明结论 【解答】 （ 1）解： n=2n+1，令 n=1，得 2， n=2n+1， 1+1=2（ n 1） +1，（ n 2， n N*） 两式相减，得 21=2，整理 ，（ n 2） 数列 2是首项为 ，公比为 的等比数列 （ 2 ） 证 明 ： = 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点（ 1， ），一个焦点为（ ，0） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 y=k（ x 1）（ k 0）与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由椭圆过点（ 1， ），结合给出的焦点坐标积隐含条件 b2=a， b 的值，则椭圆方程可求； （ ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出 A， B 横纵坐标的和与积，进一步求得 垂直平分线方程，求得 Q 的坐标，由两点间的距离公式求得| 由弦长公式求得 |作比后求得 的取值范围 【解答】 解：（ ）由题意得 ，解得 a=2， b=1 椭圆 C 的方程是 ； （ ）联立 ，得（ 1+484=0 设 A（ B（ 则有 ， ， 线段 中点坐标为 ， 线段 垂直平分线方程为 取 y=0，得 ， 于是，线段 垂直平分线与 x 轴的交点 Q ， 又点 P（ 1， 0）， 又 = 于是， k 0， 的取值范围