微分在经济发展中的作用

微分在经济发展中的作用 高等数学（经济数学）已经深入、广泛地渗入到世界经济、国际金融、国际贸易、国 际经济合作等各个经济领域当中。 集合、映射、加法原理、乘法原理、线性规划、概率等知识在日常的工作和生活学习 中“经常被用到”，而如概率分析、函数的极值与微分问题虽然在人们的日常生活中并不 那么普遍，但却在现代经济发展中起着举足轻重的作用。下面重点介绍微分学在近现代经 济发展中的作用. 一.常用经济函数 微分及求导是建立在函数基础上的。先让我们熟悉一下经济学中的常用函数以及它们 的微分求导应用。 1.需求函数 消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。这种源动力的核心主要 有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。 影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。忽略其他因素，只考虑与价 格的关系就得到了需求函数 (D-需求,P- 价格) 常见形式有：)(PfD ，0,ba ，),(2cc ，),AeDbP 0( 上述函数都可微且导数都小于 0，可见通常 D，P 成负相关。 2.供给函数 供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量， 需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。所以，供给和需求是相对的概念，这就 是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。 产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。 影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。忽略其他因素，只考虑 与 价格的关系就得到了供给函数： (Q-供给,P- 价格)(PgQ 采用的供给函数有如下形式： ，)0,(dcPQ ，),2cbaba 同样求导发现通常 Q，P 成正相关。 3.收益函数 收益是生产者出售商品的收入，平均收益是销售出单位商品的价格。总收益是将一定 量 的商品全部售出后的全部收入。 收益 与需求量 的函数关系称为总收益函数。RD ， （1-3）)(DRQ 事实上， ，)()(1fPfR 。g 4.成本函数 成本是企业在进行生产活动中所使用生产要素的价格，也就是生产费用。总成本 是C 企业生产特定产量的产品所需的成本总额。 产量 与总成本 的函数关系称为总成本函数。QC ， （1-5 ）)()(0QCV 成本函数的求导意义重大，它准确的反映的成本与产量的关系，特别是二届求导 后得出的结论对规模化后平均成本下降进行了证明。其导数性质如下： （1） 、单调增加 ；0)(QC （2） 、固定成本为常数 ； （3） 、总成本曲线先凸后，即先 ，后0)( 0)(QC 二 边际与弹性 1.边际 在经济学中，边际是变量 关于变量 在 附近（边缘上）的变化情况，即 在 附yx0 x0 近有微小变化时，变量 的变化。当 的变化单位 很小时，由微分近似计算公式得， ， （2-1 ）)(|)(| 010010 xffdxx 因此，边际值 是当 ， 改变一个单位， 改变了 个单位。)(0xf y0 例如：供给函数为 ， ，说明当价格 时，价格改变一132PQ12PdQ2P 个单位（增加或减少一个单位） ，供给量 改变 11 个单位（增加或减少一个 11 个单位） 2.弹性 函数 在 处可导，给 一个增量 ，相应有 的增量 ，称)(xfyxxy ， （2-4 ）y/ 为函数 在区间 上的弹性；称 为函数 在 处的弹)(xfy,xxx/lim0)(xfy 性，记为 。 （2-5 ）fyExy )(/li0 注： 函dxfEyx/)( 3.应用 边际成本 设总成本函数为 ，则边际成本函数为)(QC ， （2-2 ）dQCM)( （2-2）式可理解为当生产 个单位的产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本， 或当生产 个单位的产品增加的那个单位产量所花费的成本。Q 例如： ， ，该式表明：当产量到达 900 个单位时，210C5.1|90C 前后每变化一个单位的产量，所用的成本为 1.5. 边际收益 收益函数 ，边际收益为函数)()(1QgPQR ， （2-3 ）)(1QgdM 其中 为销量。该式可理解为当销售 个单位的产品时，多销售或少销售一个单位产品使 其增加或减少的收益。 商品弹性问题 经济学中对需求价格弹性有下述规定：当某商品的需求价格弹性 ，则称该商1DPE 品的需求量对价格富有弹性；当某商品的需求价格弹性 ，则称该商品的需求量对1DPE 价格溃乏弹性；当 时，则称该商品具有单位弹性。如果某商品因适应市场需求而1DPE 降低了产品的价格，会不会因此而降低了收益呢？针对该问题我们做如下分析： （1） 、富有弹性商品 此时需求价格弹性大于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降将超过 1%，因而总收 益减少；反之，若将其价格下降 1%，则需求量增加将超过 1%，因而总收益增加。即，当 商品富有弹性时，适当的降价会使收益增加，提价会使收益减少。 （2） 、溃乏弹性商品 此时需求价格弹性小于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降将低于 1%，因而总收 益增加；反之，若将其价格下降 1%，则需求量增加将低于 1%，因而总收益减少。即，当 商品溃乏弹性时，适当的提价会使收益增加，降价会使收益减少。 （3） 、单位弹性商品 此时需求价格弹性等于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降为 1%，总收益不变； 若将其价格下降 1%，则需求量增加为 1%，总收益不变。 以上通过对需求价格弹性大于 1、小于 1 和等于 1 的讨论，分别给出了