2017年山西省百校联卷中考数学一模试卷含答案解析

2017 年山西省百校联卷中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列四个数中，比 1 小的数是（ ） A 2 B 0 C D 2民间剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 3下列运算错误的是（ ） A（ 2= 2 32a=在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能相同的是（ ） A B C D 5高速路上因赶时间超速而频 频发生交通事 故，这样给自己和他人的生命安全带来直接影响，为了解车速情况，一名执法交警在高速路上随机测试了 6 个小轿车的车速情况记录如下： 车序号 1 2 3 4 5 6 车速（千米 /时） 100 95 106 100 120 100 则这 6 辆车车速的众数和中位数（单位：千米 /时）分别是（ ） A 100， 95 B 100， 100 C 102， 100 D 100， 103 6 “五 一 ”小长假 ，小颖和小 梅两家计划从 “北京天安门 ”“三亚南山 ”“内蒙古大草原 ”三个景区中任意选择一景区游玩，小颖和小梅制作了如下三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自从中抽去一张来确定游玩景区（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽去），则两人抽到同一景区的概率是（ ） A B C D 7如图，四边形 O 的内接四边形， E 是 长线上的一点，已知 00，则 度数为（ ） A 40 B 60 C 50 D 80 8不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 9如图所示是一次函数 y=kx+b 在直角坐 标系中的图象，通过观察图象我们就可以得到方程 kx+b=0 的解为 x= 1，这一求解过程主要体现的数学思想是（ ） A数形结合 B分类讨论 C类比 D公理化 10如图，在 菱形 ， 20，点 E， F 同时由 A， 别沿 向向点 B 匀速移动 （到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒 等边三角形，则 t 的值为（ ） A 1 B C D 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11分解因式： 12如图， 18， 角平分线 交于点 F， 32，则 F 的度数是 13 “折竹抵地 ”问题源自 九章算术 中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为 尺 14如图，在平面直角 坐标系中， 顶点 B， C 在 x 轴上， A， D 两点分别在反比例函数 y= （ x 0）与 y= （ x 0）的图象上，则 面积为 15如图，是用大小相 同的圆柱形油 桶摆放成的一组有规律的图案，图案（ 1）需要 2 只油桶，图案（ 2）需要 5 只油桶，图案（ 3）需要 10 只油桶，图案（ 4）需要 17 只油桶， ，按此规律摆下去，第 n 个图案需要油桶 只（用含 n 的代数式表示） 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分） 16（ 1）计算：（ 1） 3（ ） 2 +6 | | （ 2）化简并求值：（ ） ，其中 a=1， b=2 17在正方形网格中，我们把，每 个小正方形的 顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫网格线段，以网格线段为边组成的图形叫做格点图形，在下列如图所示 的 正 方 形 网 格 中 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为1 （ 1）请你在图 1 中画一个格点图形，且该图形是边长为 的菱形； （ 2）请你在图 2 中用网格线段将其切割成若干个三角形和正方形，拼接成一个与其面积相等的正方形，并在图 3 中画出格点正方形 18阅读与思考 婆罗摩笈多（ 是一位印度 数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下： 已知：如图 1，四边形 接于 O，对角线 点 P， 点 M，延长 点 N，求证： N 证明：在 ， 0， 0 （ 1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分 （ 2）已知： 如图 2， 接于 O， B=30， 5， ，点 O 上， 0，连接 于点 P，作 点 M，延长 点 N，则 长为 19雾霾天气已经成为人们 普遍关注的话 题，雾霾不仅仅影响人们的出行，还影响着人们的健康，太原市会持续出现雾霾天气吗？在 2016 年 2 月周末 休息期间，某校九年级 1 班综合实践小组的同学以 “雾霾天气的主要成因 ”为主题，随机调查了太原市部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表，观察并回答下列问题： 类别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 城中村燃煤问题 15% D 其他（绿化不足等） n （ 1）请你求出本次被调查市民的人数及 m， n 的值，并补全条形统计图； （ 2）若太原市有 300 万人口，请你估计持有 A， B 两类看法的市民共有多少人？ （ 3）学校要求小颖同学在 A， B， C， D 这四个 雾霾天气的主要成因中，随机抽取两项作为课题研究的项目进行考察分析，请用画树状图或列表的方法，求出小颖同学刚好抽到 B（汽车尾气排放）， C（城中村燃煤问题）的概率（用 A，B， C， D 表示各项目） 20山西绵山是中国历 史文化名山， 因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图 1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图 2，在塑像旁山坡坡脚 A 处测得塑像头顶 C 的仰 角为 75，当从 A 处沿坡面行走 10 米到达 P 处时，测得塑像头顶 C 的仰角刚好为 45，已知山坡的坡度 i=1： 3，且 O， A， B 在同一直线上，求塑像的高度（侧倾器高度忽略不计，结果精确到 ，参考数据： 21 具有环保节能、 投射范围大、 无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于 的使用，某校数学兴趣小组为了解 泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批 30 瓦的 泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 泡 普通白炽灯泡 进价（元） 45 25 标价（元） 60 30 （ 1）该商场购进了 泡与普通白 炽灯泡共 300 个， 泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利 3200 元，求该商场购进 泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？ （ 2）由于春节期间热销，很 快将两种灯泡 销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡 120 个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？ 22问题背景 在数学活动课上，张 老师要求同学 们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动如图 1，在矩形纸片 矩形纸片 ， ， ，且 E 是 中点，矩形纸片 点 E 为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决 2 1 c n j y 解决问题 下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题 （ 1） “奋进 ”小组提出的问题是：如图 1，当 交于点 M， 时，求证： N （ 2） “雄鹰 ”小组提出的问题是：在（ 1）的条件下，当 N 时， 明理由 （ 3） “创新 ”小组提出的问 题是；若矩形 续以点 E 为旋转中心进行逆时针 旋转，当 0时，请你在图 2 中画出旋转后的示意图，并求出此时 C 分成的两条线段的长度 23如图 1，已知抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1， 0）， B 两点，（点A 在点 B 的左侧），与直线 于点 C（ 2， 3），直线 抛物线的对称轴l 相交于点 D，连接 （ 1）求抛物线的函数表达式，并求出点 D 的坐标； （ 2）如图 2，若 点 M、 N 同时 从点 D 出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 动，连接 折， 得到 D断四边形 的形状，并说明理由，当运动时间 t 为何值时，点 D恰好落在 x 轴上？ （ 3）在平面内，是否存在点 P（异于 A 点 ），使得以 P、 B、 D 为顶点的三角形与 似（全等除外）？若存在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 2017 年山西省百校联卷中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列四个数中，比 1 小的数是（ ） A 2 B 0 C D 【考点】 有理数大小比较 【分析】 有理数大小比较的法则： 正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】 解：根据有理数比较大小的方法，可得 2 1， 0 1， 1， 1， 四个数中，比 1 小的数是 2 故选 ： A 2民间剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 C 3下列运算错误的是（ ） A（ 2= 2 32a=考点】 整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式 【分析】 根据整式乘除法法则，合并同类项法则即可判断 【解答】 解：原式 = D 错误 故选（ D） 4在下面的四个几何体中，它们各 自的主视图与左视图可能相同的是（ ） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 分别找到从上面看和正面看所得到的图形即可 【解答】 解： A、此几何体主视图与左视图不相同，故此选项错误； B、立方体的主视图与左视图都是矩形，故此选项正确； B、三棱柱主视图是矩形，左视 图也是矩形，矩形宽不相同，故此选项错误； D、四棱柱的主视图是矩形，左视图也是矩形，矩形宽不相同，故此选项错误； 故选： B 5高速路上因赶时间超速而 频频发生交通 事故，这样给自己和他人的生命安全带来直接影响，为了解车速情况，一名执法交警在高速路上随机测试了 6 个小轿车的车速情况记录如下： 车序号 1 2 3 4 5 6 车速（千米 /时） 100 95 106 100 120 100 则这 6 辆车车速的众数和中位数（单位：千米 /时）分别是（ ） A 100， 95 B 100， 100 C 102， 100 D 100， 103 【考点】 众数；中位数 【分析】 根据众数和中位数的概念求解 【解答】 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 95， 100， 100， 100， 106，120， 则众数为： 100， 中位数为： 100 故选 B 6 “五 一 ”小长假，小颖和 小梅两家计划 从 “北京天安门 ”“三亚南山 ”“内蒙古大草原 ”三个景区中任意选择一景区游玩，小颖和小梅制作了如下三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自从中抽去一张来确定游玩景区（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽去），则两人抽到同一景区的概率是（ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 首先分别用 A， B， C 表示 “北京天安门 ”“三亚南山 ”“内蒙古大草原 ”三个景区，然后根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两人抽到同一景区的情况，再利用概率公式即 可求得答案 【解答】 解：分别用 A， B， C 表示 “北京天安门 ”“三亚南山 ”“内蒙古大草原 ”三个景区，画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两人抽到同一景区的有 3 种情况， 两人抽到同一景区的概率是： = 故选 B 7如图，四边形 O 的内接四边形， E 是 长线上的一点，已知 00，则 度数为（ ） A 40 B 60 C 50 D 80 【考点】 圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】 根据圆周角定理， 可求得 A 的 度数；由于四边形 O 的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得 A，由此可求得 度数 【解答】 解： 00， A=50， 四边形 接于 O， A=50故选 C 8不等式组 的解集在数轴上表示正确的 是（ ） A B C D 【考点】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】 分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 【解答】 解： ，由 得， x 1，由 得， x 3， 故不等式组的解集为： 3 x 1 在数轴上表示为： 故选 A 9如图所示是一次函数 y=kx+b 在直 角坐标系中的图象，通过观察图象我们就可以得到方程 kx+b=0 的解为 x= 1，这一求解过程主要体现的数学思想是（ ） A数形结合 B分类讨论 C类比 D公理化 【考点】 一次函数与一元一次方程 【分析】 通过观察图象得到方程 kx+b=0 的解为 x= 1，这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合 【解答】 解：观察图象 ，可知一次函数 y=kx+b 与 x 轴交点是（ 1， 0）， 所以方程 kx+b=0 的解为 x= 1， 这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合 故选 A 10如图，在菱形 ， 20，点 E， F 同时由 A， 别沿 向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒 等边三角形，则 t 的值为（ ） A 1 B C D 【考点】 菱形的性质；等边三角形的性质 【分析】 延长 M，使 E，连接 出 到 利用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值 【解答】 解：延长 M，使 E，连接 四边形 菱形， 20 D， A=60， E， E， 等边三角形， 0， F= 120， 80 A=120， 在 ， F， M= A=60， 又 E， 等边三角形， E， AE=t， t， F+t+t=3t， ， 3t=4， t= 故选 D 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11分解因式： a（ a+b）（ a b） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】 解： a（ =a（ a+b）（ a b） 故答案为： a（ a+b）（ a b） 12如图， 18， 角平分线 交于点 F， 32，则 F 的度数是 11 【考点】 平行线的性质；角平分线的定义 【分析】 先根据平行线的 性质求出 度数，再由角平分线的性质求出 度数，进而可得出 度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论 【解答】 解： 18， 18， 80 118=62， 平分线 点 F， 118=59， 2+59=121， 32， F= 32 121=11 故答案为： 11 13 “折竹抵地 ”问题源 自九章算术 中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为 【考点】 勾股定理的应用 【分析】 根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可 【解答】 解：设折 断处离地面的高度 x 尺，根据题意可得： 2=（ 10 x） 2， 解得： x= 答：折断处离地面的高度 故答案为： 14如图，在平面直角坐标 系中， 顶点 B， C 在 x 轴上， A， D 两点分别在反比例函数 y= （ x 0）与 y= （ x 0）的图象上，则 面积为 4 2考点】 反比例函数系数 k 的几何意义；平行四边形的性质 【分析】 连接 图 ，利用平行四边形的性质得 直 y 轴，则利用反比例函数的比例系数 k 的几何意义得到 S ， S ，所以 S ，然后根据平行四边形的面积公式可得到 面积 =2S 【解答】 解：连接 图， 四边形 平行 四边形， 直 y 轴， S | 3|= ， S |1|= ， S ， 面积 =2S 故答案为 4 15如图，是 用大小相同的 圆柱形油桶摆放成的一组有规律的图案，图案（ 1）需要 2 只油桶，图案（ 2）需要 5 只油桶，图案（ 3）需要 10 只油桶，图案（ 4）需要 17 只油桶， ，按此规律摆下去，第 n 个图案需要油桶 只（用含 【考点】 规律型：图形的变化类 【分析】 根据图形发现，第 1 个图 由 2 个油桶 2=12+1；第 2 个图由 5 个油桶 5=22+1；第 3 个图由 10 个油桶 10=32+1；第 4 个图由 17 个油桶 17=42+1； 第 n 个图案需要油桶 只 【解答】 解： 第 1 个图， 2=12+1； 第 2 个图， 5=22+1； 第 3 个图， 10=32+1； 第 4 个图， 17=42+1； 第 n 个图案需要油桶 只 故答案为： 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分） 16（ 1）计算：（ 1） 3（ ） 2 +6 | | （ 2）化简并求值：（ ） ，其中 a=1， b=2 【考点】 分式的化简求值；负整数指数幂 【分析】 （ 1）根据幂的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题； （ 2）根据分式的减法和分式的除法可以解答本题 【解答】 解：（ 1）（ 1） 3（ ） 2 +6 | | =（ 1） 9 =（ 1） 2+4 =1； （ 2）（ ） = = = ， 当 a=1， b=2 时，原式 = 17 在正方形网格中，我们把，每 个小正方形的 顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫网格线段，以网格线段为边组成的图形叫做格点图形，在下列如图所示 的 正 方 形 网 格 中 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为1 （ 1）请你在图 1 中画一个格点图形，且该图形是边长为 的菱形； （ 2）请你在图 2 中用网格线段将其切割成若干个三角形和正方形，拼接成一个与其面积相等的正方形，并在图 3 中画出格点正方形 【考点】 图形的剪拼；勾股定理 【分析】 （ 1）直接利用菱形的性质结合其面积得出答案； （ 2）利用正方形的性质结合正方形面积求法得出答案 【解答】 解：（ 1）如图 1 所示：四边形即为菱形； （ 2）如图 2， 3 所示：即为所求答案 18阅读与思考 婆罗摩笈多（ 是一位 印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名 的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下： 已知：如图 1，四边形 接于 O，对角线 点 P， 点 M，延长 点 N，求证： N 证明：在 ， 0， 0 （ 1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分 （ 2）已知：如图 2， 接于 O， B=30， 5， ， 点 O 上， 0，连接 于点 P，作 点 M，延长 点 N，则 长为 1 【考点】 三角形的外接圆与外心；含 30 度角的直角三角形；圆内接四边形的性质 【分析】 （ 1）由直角 三角形的性质 圆周角定理得出 出 出 N，同理 N，即可得出结论； （ 2）由圆周角定理得出 D= B=30， 由三角形内角和定理求出 5，得出 等腰直角三角形， C， 0，由 明 出 B=2，同（ 1）得出 N，由三角形内角和定理得出 D=1 即可 【解答】 解：（ 1）在 ， 0， 0 N， 同理： N， N； （ 2） 5， 0， 5+60=105， 又 D= B=30， 80 D=45， 80 45 45=90， 等腰直角三角形， C， 0， 在 ， ， B=2， 0， 点 M，延长 点 N， 同（ 1）得： N， ； 故答案为： 1 19雾霾天气已经成为人们 普遍关注的话 题，雾霾不仅仅影响人们的出行，还影响着人们的健康，太原市会持续出现雾霾天气吗？在 2016 年 2 月周末休息期间，某校九年级 1 班综合实践小组的同学以 “雾霾天气的主要成因 ”为主题，随机调查了太原市部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表，观察并回答下列问题： 类别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 城中村燃煤问题 15% D 其他（绿化不足等） n （ 1）请你求出本次被调查市民的人数及 m， n 的值，并补全条形统计图； （ 2）若太原市有 300 万人口，请你估计持有 A， B 两类看法的市民共有多少人？ （ 3）学校要求小颖同学 在 A， B， C， D 这四个雾霾天气的主要成因中，随机抽取两项作为课题研究的项目进行考察分析，请用画树状图或列表的方法，求出小颖同学刚好抽到 B（汽车尾气排放）， C（城中村燃煤问题）的概率（用 A，B， C， D 表示各项目） 【考点】 列表法与树状图法；用样本估计总体 ；统计表；条形统计图 【分析】 （ 1）用 A 类 的人数除以所 占的百分比求出被调查的市民数，再用 B 类的人数除以总人数得出 B 类所占的百分比，再用总人数乘以 C 类所占的百分比求出 C 类的人数，从而补全统计图； （ 2）用该市的总人数乘以持有 A、 B 两类的所占的百分比即可； （ 3）首先根据题意画出树状 图，然后由树 状图求得所有等可能的结果与小颖同学刚好抽到 B（汽车尾气排放）， C（城中村燃煤问题）的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1）本次被调查的市民共有： 90 45%=200（人）， B 类所占的百分比是： m= 100%=30%； D 类所占的百分比是： n=1 45% 30%=10%=10%； C 类的人数是： 200 15%=30（人）， 补图如下： （ 2）根据题意得： 300 （ 45%+30%） =225（万人） 答：持有 A、 B 两类看法的市民共有人数为 75 万人 （ 3）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，小颖同学刚好抽到 B（汽车尾气排放）， C（城中村燃煤问题）的有 2 种情况， 小颖同学刚好抽到 B（汽车尾气排放）， C（城中村燃煤问题）的概率为： = 20山西绵山是中国历 史文化名山， 因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图 1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图 2，在塑像旁山坡坡脚 A 处测得塑像头顶 C 的仰角为 75，当从 A 处沿坡 面行走 10 米到达 P 处时，测得塑像头顶 C 的仰角刚好为 45，已知山坡的坡度 i=1： 3，且 O， A， B 在同一直线上，求塑像的高度（侧倾器高度忽略不计，结果精确到 ，参考数据： 【考点】 解直角三角形的应用仰角俯 角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】 过点 P 作 点 E， 点 F，设 PE=x，则 x，在根据勾股定理可得 ，则 ，设 F=m 米，则 m+ ）米、 m 3 ）米，在 ，由 求得 m 的值，继而可得答案 【解答】 解：过点 P 作 点 E， 点 F， i=1： 3， 0， 设 PE=x，则 x， 在 ， 3x） 2=102， 解得： x= 或 x= （舍）， ，则 ， 5， F， 设 F=m 米，则 m+ ）米， m 3 ）米， 在 ， = ，即 m+ =（ m 3 ）， 解得： m ， 答：塑像的高度约为 21 具有环保节能 、投射范围大 、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于 的使用，某校数学兴趣小组为了解 泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批 30 瓦的 泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 泡 普通白炽灯泡 进价（元） 45 25 标价（元） 60 30 （ 1）该商场 购进了 泡与普通白炽灯泡共 300 个， 泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利 3200 元，求该商场购进 泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？ （ 2）由于春节期间热销 ，很快将两种 灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡 120 个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？ 【考点 】 一次函数的应用；二元一次方程组的应用 【分析】 （ 1）设该商场购 进 泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个，利用该商场购进了 泡与普通白炽灯泡共 300 个和销售完这批灯泡后可以获利3200 元列方程组，然后解方程组即可； （ 2）设该商场购进 泡 a 个， 则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为 W 元，利用利润的意义得到 W=（ 60 45） a+（ 30 25） =10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%可确定 a 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题 【解答】 解：（ 1）设该商场购进 泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该商场购进 泡与普通白炽灯泡的数量分别为 200 个和 100 个； （ 2）设该商场购进 泡 a 个，则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为 W 元， 根据题意得 W=（ 60 45） a+（ 30 25） =10a+600， 10a+600 45a+25 30%，解得 a 75， k=10 0， W 随 a 的增大而增大， a=75 时， W 最大，最大值为 1350，此时购进普通白炽灯泡 =45 个 答：该商场购进 泡 75 个，则购进普通白炽灯泡 45 个，这批灯泡的总利润为 1350 元 22问题背景 在数学活动课上，张老 师要求同学们 拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动如图 1，在矩形纸片 矩形纸片 ， ， ，且 E 是 中点，矩形纸片 点 E 为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决 解决问题 下面是三个学习小组提出的数 学问题，请你解决这些问题 （ 1） “奋进 ”小组提出的问题是：如图 1，当 交于点 M， 时，求证： N （ 2） “雄鹰 ”小组提出的问题是：在（ 1）的条件下，当 N 时， 明理由 （ 3） “创新 ”小组提出 的问题是；若 矩形 续以点 E 为旋转中心进行逆时针旋转，当 0时，请你在图 2 中画出旋转后的示意图，并求出此时 C 分成的两条线段的长度 【考点】 四边形综合题 【分析 】 （ 1）先判断出 E，再判断出 而得到 可得出结论； （ 2）先判断出 N= 而求出 N= ，再判断出 N，即可得出 ，结论得证； （ 3）在直角三角形 ，求出 用线段的和差即可得出结论 【解答】 解：（ 1）如图 1，过点 E 作 足为点 P， 则四边形 矩形， B=1， 0， 点 E 是 中点， E= ， E， 0， E， 0， N， （ 2）由（