长方体内有乾坤

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 长方体内有乾坤 【摘要】解决某些代数问题时， 可根据所给代数形式上的特点，构造出 一个适合题意的几何图形，比如，长方 体.再赋予代数式中的数与字母一定的几 何意义，利用几何图形解代数问题. 中国论文网 /9/view-13004523.htm 【关键词】代数问题几何化；长 方体模型 例 1 若 xyz1，且 xyz=4，则 （log2x）2+（log2y）2+（log2z）2 的 取值范围是. 分析设 log2x=a，log2y=b ，log2z=c，则有 log2xyz=log2x+log2y+log2z=2.则可理解 题意为：已知 abc0，a+b+c=2，求 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a2+b2+c2 的取值范围.如图 1 所示，在 棱长为 2 的正方体中建立空间直角坐标 系 D-abc.题目所求可转化为：三角形平 面区域 ABD 内一点到原点 A（0，0，0）的距离 d 的平方，则 AGdAB， 而 A 到面 ABD 的最短距离为 AG=43，AB=2，故（log2x） 2+（log2y）2+（log2z ）2=d243，4. 正方体作为特殊的长方体，其长、宽、 高都相等，并且同一顶点上的三条棱具 有两两垂直的特殊位置关系.例 1 应用以 上正方体的性质将求代数式范围的问题 转化为求正方体中顶点到某个平面距离 的最值问题，使得所要解决的问题具体 化、形象化. 例 2 已知正数 a， b，c 满足 a2+b2+c2=1，求证 1-a2+1-b2+1-c23- （a+b+c）. 分析由题目已知条件形式会联想 到长方体长、宽、高的平方和等于长方 体对角线的平方，因此，根据题意构造 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 一个长方体 ABCD-ABCD（如图 2 所 示）.使 AA=a，AB=b，AD=c. 由 a2+b2+c2=1 得 AC=1，因而， AB=1-c2，AD=1-b2，AC=1-a2.在 ABC中，AB+BCAC ，即 1- c2+c1.同理可得出 1-a2+a1，1- b2+b1.式相加即得：1- a2+1-b2+1-c23-（a+b+c）. 例 3 已知 ， 均为锐角，且 满足 cos2+cos2+cos2-1=0，求证 cot cot cot24. 分析由已知条件有： cos2+cos2+cos2=1，同样此形式也很 容易会联想到长方体对角线与三条棱的 夹角恰好满足此关系式.因此，构造长方 体 ABCD-ABCD（如图 3 所示） ，使 得 AC与棱 CD，BC ， CC的夹角分别 为 ， ，且满足 cos2+cos2+cos2=1，令 AB=a，AD=b，AA=c.则 cot cot cot=ab2+c2 ba2+c2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 cb2+a2a2bc b2ac c2ab=24. 例 2、例 3 都是长方体对角线性