2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（五）含答案

绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（五） 本试题卷共 2 页， 23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 2017 重庆一中 已知集合 1, 2,3A ， | 1 2 0B x x x Z ，则 A C B Z（ ） A 1,2,3 B 1,2 C 2,3 D 3 【答案】 C 【解析】由 | 1 2 0B x x x Z 得： 10，B ，则 2 , 3A C B Z ，故选 C 2 2017 重庆联考 已知 2i b （ 是实数），其中 i 是虚数单位 ，则 （ ） A 2 B 1 C 1 D 3 【答案】 A 【解析】由题设可得 2i i 1 ，则 12 ， ，故 2 ，应选答案 A 3 2017 长郡中学 在等差数列 ， 9 121 32，则数列 前 11 项和 11S （ ） A 24 B 48 C 66 D 132 【答案】 C 【解析】设等差数列 差为 d ，则 9 1 1 2 18 1 1a a d a a d ， ，所以有 1118 ( 1 1 ) 32a d a d ，整理得，1656a d a ，1 1 11 1 61 1 1 1 6 62 ，故选 C 4 2017 枣庄模拟 已知函数 0,2 ，则函数 2 8 2 xg x f x 的定义域为（ ） A 0,1 B 0,2 C 1,2 D 1,3 【答案】 A 【解析】由题意，得0 2 28 2 0 ，解得 01x ，故选 A 5 2017 衡阳八中 甲、 乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分，未击中目标得 0 分若甲、乙两人射击的命中率分别为 35 和 P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 920 假设甲、乙两人射击互不影响，则 P 值为（ ） A 35 B 45 C 34 D 14 【答案】 C 【解析】设： “甲射击一次，击中目标 ”为事件 A ， “乙射击一次，击中目标 ”为事件 B ，则 “甲射击一次，未击中目标 ”为事件 A ， “乙射击一次，击中目标 ”为事件 B ，则3 3 2( ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 15 5 5P A P A P B p P B p ， ， ， 依题意得： 3 2 9(1 )5 5 2 0 ，解得 34p ，故选 C 6 2017 云师附中 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九 韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的 0 1 2 na a a a， ， ， ，分别为 01 n， ， ， ，若 5n ，根据该算法计算当 2x 时多项式的值，则输出的结果为（ ） A 248 B 258 C 268 D 278 【答案】 B 【解析】该程序框图是计算多项式 5 4 3 2( ) 5 4 3 2f x x x x x x ，当 2x 时，(2) 258f ，故选 B 7 2017 雅礼中学 四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ） A 72 B 96 C 144 D 240 【答案】 C 【解析】先从 4 为男生中选 2 为捆绑在一起，和剩余的 2 为男生，插入到 2 为女生所形成的空隙中，所以共有 2 2 34 2 3 144种不同的排法，故选 C 8 2017 师大附中 已知点 是抛物线 24上不同的两点， F 为抛物线的焦点，且满足 23，弦 中点 P 到直线 1: 16 的距离记为 d ，若 22|M N d，则 的最小值为（ ） A 3 B 3 C 13 D 4 【答案】 A 【解析】 设 |m ， |n 则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得 2d m n，2 2 2|M N m n m n ， 所以由题设可得22224 ( ) 44( ) ( )m n m n m nm n m n ， 因为 2( ) 4m n m n ，即 24 1()，所以 4 1 3 ，应选答案 A 9 2017 湖南十三校 已知函数 () ，且 (2) 2f ，又函 数 ()y f x 的图象如图所示，若两个正数 满足 (2 ) 2f a b，则 22 的取值范围是（ ） A 2( 2)3， B 2( ) ( 2 )3 ， ， C (2 )， D 2()3， 【答案】 A 【解析】由导函数图象，可知函数在 (0 )， 上为单调增函数 ， (2) 2f ，正数 满足 (2 ) 2f a b， 2200 ， 又因为 22 表示的是可行域中的点与 ( 2 2)， 的连线的斜率 所以当 ( 2 2)， 与 (02)， 相连时斜率最大 ， 为 2 ， 当 ( 2 2)， 与 (10)， 相连时斜率最小 ， 为 23 ， 所以 22 的取值范围是 2( 2)3， ，故选 A 10 2017 南阳一中 如图所示， A ， B ， C 是圆 O 上不同的三点，线段 延长线与线段 ，若 O C O A O B（ R ， R ），则 的取值范围是（ ） A (0,1) B (1, ) C ,1 D 1,0 【答案】 D 【解析】 O A O B O C， O C O A O B， 22O C O A O B，展开得22 21O A O B ， 22 2 c o s 1A O B ，当 60 时， 222 1 即 2 11 ， 11 当 ,D 时，由平行四边形法则可知 O C O E O F O A O B ，此时0, 0且 ， 0，因此 的取值范围是 1,0 ，故选 D 11 2017 正定中学 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ） A 8 B 252 C 414 D 12 【答案】 C 【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥 S ，其中四边形 矩形，平面 平面 25A B C D A B C D B C A D S B ， ，该多面体的外接球球心 O 在 垂面 1，其中 1O 为三角形 心设 1BO x ，则由11O x得 22( 2 ) 1 ，解得54x ，所以该多面体的外接球半径2 5 4 111 6 1 6R O B ，因此其表面积为 2 414 4，故选 C 12 2017 郑州一中 已知函数 ( ) x x x x ，若 k Z ，且 ( 1) ( )k x f x 对任意的 1x恒成立，则 k 的最大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 B 【解析】因为 ( ) x x x x ，若 kZ ，且 ( 1) ( )k x f x 对任意的 1x 恒成立， 即 ( 1 ) x x x x ，因为 1x ， 即 x xk x ，对任意 1x 恒成立， 令 1x x x ，则 2l n 2() ( 1 )x ， 令 ( ) l n 2 ( 1 )h x x x x ，则 11( ) 1 0 ， 所以函数 () (1 )， 上单调递增 因为 ( 3 ) 1 l n 3 0 ( 4 ) 2 2 l n 2 0 ， 所以方程 ( ) 0在 (1 )， 上存在唯一实根 0x ，且满足 0 (3 4)x ， ， 当 01 时， ( ) 0，即 ( ) 0 ，当 0时， ( ) 0，即 ( ) 0 ， 所以函数 1x x x 在 0(1 )x， 上单调递减，在 0()x ， 上单调递增 ， 因为 0x 是 ( ) 0的 根，即 00 0 ， 所以 0 0 0 000m i n 00(1 l n ) (1 2 )( ) ( ) ( 3 4 )11x x x xg x g x ，所以 m ()k g x x，因为 0 (3 4)x ， ，故整数 k 的最大值为 3，故选 B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 2017 湖南十三校 函数 ( ) 3 c o s ( 3 ) s i n ( 3 )f x x x 是奇函数，则 等于_ 【答案】 3 【解析】因为函数 ( ) 3 c o s ( 3 ) s i n ( 3 )f x x x 是奇函数， 所以 0 3 c o s s i n 0f ，有 14 2017 天水一中 如图，直三棱柱 1 1 1 B C 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，C ，侧面 11半球底面 圆的内接正方形，则侧面 11面积为 【答案】 1 【解析】由图可得 21,21 1 11 12A B B A A B 15 2017 湖南十三校 双曲线22: 1 ( 0 0 )a ，的左、右焦点分别为 12F F P、 ，是 E 右 支上一点，且 2 12| | | | F ，直线 1圆 2 2 2x y a相切，则 E 的离心率为_ 【答案】 53 【解析】设直线 1圆 2 2 2x y a相切于点 M ， 则 1|O M a O M P F， ， 取 1中点 N ，连接 2 由于 122 2P F F F c，则 2 1 1| | | |N F P F N P N F， ， 由 2| | 2 | | 2N F O M a， 则 | | 2NP b ，即有 1| | 4PF b ， 由双曲线的定义可得 12| | | | 2P F P F a， 即 4 2 2b c a，即 2b c a ， 224 ( )b c a ， 即 2 2 24 ( ) ( )c a c a ， 4 ( )c a c a ，即 35， 则 53e 故答案为： 53 16 2017 南白中学 设 等比数列，公比 2q ， 前 n 项和，记2117 a， *nN ，设 数列 最大项，则 n 【答案】 4 【解析】等比数列的前 n 项和公式得 1(1 )1 ， 则 2117 a211 21( 1 ) ( 1 )171 6 1 7 2 ( 1 2 )( 1 2 ) 2q a ， 令 2n t ，则1 1 6 1 1 6( 1 7 ) ( 2 1 7 )1 2 1 2nT t ， 当且仅当 16t t 时，即 4t 时等号是成立的，即 24n ，即 4n 时 得最大值 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分） 2017 湖北七校 已知函数 2( ) 2 3 s i n 2 s i n c o s 3f x x x x ， 113 24x ， （ 1）求函数 () （ 2）已知锐角 的两边长分别为函数 () 的外接圆半径为 324 ，求 的面积 【答案】（ 1） 32， ， （ 2） 2 【解析】（ 1） 2 ( ) 2 3 s i n 2 s i n c o s 3 2 s i n ( 2 )3f x x x x x 又 113 24x ， 7 23 3 1 2x ， 3 s i n ( 2 ) 123x ， 函数 () 32， （ 2）依题意不妨设 32a b A B C， ， 的外接圆半径 324r ， 3 6 3 2 2 2 1s i n c o s s i n c o 3 2 3 33 2 3 222 B ， ， ， 6s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 3C A B A B A B ， 1 1 6s i n 2 3 22 2 3a b C 18 （本小题满分 12 分） 2017 长沙一中 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100h 的有 40 人，不超过 100h 的有 15 人在45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100h 的有 20 人，不超过 100h 的有 25 人 （ 1）完成下面的列联表，并判断是否有 把握认为平均车速超过 100h 的人与性别有关 平均车速超过100h 人数 平均车速不超过100h 人数 合计 男性驾驶员 人数 女性驾驶员人数 合计 （ 2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100h 的车辆数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列和数学期望 参考公式与数据： 22 n a d b ca b c d a c b d ，其中 n a b c d 2 0 ） k 答案】（ 1）列联表见解析，有 的把握认为平均车速超过 100h 与性别有 关；（ 2）分布列见解析， 【解析】（ 1） 平 均 车 速 超 过100h 人数 平均车速不超过100h 人数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计 60 40 100 因为 22 1 0 0 4 0 2 5 1 5 2 0 8 . 2 4 9 7 . 8 7 96 0 4 0 5 5 4 5 ， 所以有 的把握认为平均车速超过 100h 与性别有关 （ 6 分） （ 2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 100h 的车辆的概率为 40 2100 5 X 可取值是 0， 1， 2， 3，235 ， ，有： 0303 32 2 70 5 1 2 55P X C ， 1213 32 5 41 1 2 55P X C ， 2123 32 3 62 5 1 2 55P X C ， 3033 2 123 83 555P X C ，分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 2 7 5 4 3 6 80 1 2 3 1 . 21 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 （ 12 分） 19（ 本小题满分 12 分） 2017 怀仁一中 三棱柱 1 1 1 B C 中，侧棱与底面垂直，90 ， 1 2A B B C B B ， 分别是 1C， 的中点 （ 1）求证： 面 11 （ 2）求证： 平面 11 （ 3）求二面角 11M B C A的余弦值 【答案】（ 1）详见解析；（ 2）详见解析；（ 3） 33 【解析】（ 1）连接 1 1在 1中， 是 1C， 中点， 1C ， 又 平面 11 面 11 （ 2）如图，以 1B 为原点建立空间直角坐标系 1B 则 1(0 0 0)B ， ， ， (0 2 2)C ， ， ， 1( 2 0 0)A ， ， ， ( 1 0 2)M ， ， ， ( 111)N ， ， ， 1 (0 2 2)， ， ， 11 (2 0 0) ， ， ， ( 0 1 1)， ， 设平面 11法向量 ()n x y z ， ， ， 1110 00n B C B ， 令 1z ，则 0x ， 1y ， (0 11)n ， ， ， n ， 平面 11 （ 3）设平面 1法向量为 0 0 0()m x y z ， ， ， 1 ( 1 0 2 )， ， ， 001001200 M ， 令 0 1z ，则 0 2x ， 0 1y ， (2 1 1)m ， ， ， 23c o s| | | | 326 ， ， 所求二面角 11M B C A的余弦值为 33 20（本小题满分 12 分） 2017 广东联考 椭圆 22: 1 0a 的左、右焦点分别为 12 （ 1）若椭圆 E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆 E 的离心率； （ 2）若椭圆 E 过点 02A ， ，直线 1 2椭圆的另一个交点分别为点 ，且的面积为 509c ，求椭圆 E 的方程 【答案】（ 1） 35 ； （ 2）22154 【解析】（ 1） 长轴长、短轴长、焦距成等差数列， 2b a c ， 2 2 242b a a c c ， 2 2 2 242a c a a c c ， 223 5 2 0a c a c ， 两边同除以 2a 得， 25 2 3 0 ， 解得 35ce a （ 2）由已知得 2b ， 把直线 2 2:2A F y 代入椭圆方程222 14，得 2 2 2 220a c x a c x ， 222 2 2422c c 2242， 由椭 圆的对称性及平面几何知识可知， 面积为： 222241 2 222 x y xc c c ， 22242 5 029cc ，解得 2 1c ， 2 5a 故所求椭圆的方程为22154 21（本小题满分 12 分） 2017 抚州一中 已知函数 e xf x x a ，其中 aR （ 1）若曲线 y f x 在点 0,l 与直线 22y a x平行，求 l 的方程； （ 2）若 1, 2a ，函数 ， 上为增函数，求证： 2e 3 e 2 【答案】（ 1） 43或 4133；（ 2）证明见解析 【解析】（ 1） 0 1 2 2f a a ， 3a 或 13 ， 当 3a 时， 3 e , 0 3xf x x f ， l 的方程为： 43， 当 13a 时， 11e , 033xf x x f ， l 的方程为： 4133 （ 2）由题可得 1 e 0xf x x a 对 e , 2 恒成立， ， 10 ，即 1 对 e , 2 恒成立， 1 ，即 对 1,2a 恒成立， 设 e 1, 1, 2ag a a a ， 则 e 1 0 ， 1,2 上递增， 2m a x 2 e 3g a g ， 2 又 ，即 ， 2e 3 e 2 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分） 2017 衡阳八中 选修 4标系与参数方程 已知平面直角坐标系 ，过点 ( 1 2)P ， 的直线 l 参数方程为1 c o s