云南省昆明市2017届高三第二次统测数学试题（文）含答案

云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 2| 9 , | 1M x x N x x ，则 （ ） A 3,1 B 1,3 C 3,3 D ,1 数 z 满足 2i 1，则 z （ ） A 1i B 1i C 1i D 1i 3. 已知双曲线 22 1 0 , 0xy 的离心率为 53，则其 渐近线方程为 （ ） A 20 B 20 C 3 4 0 D 4 3 0 4. 中国古代数学著作张丘建 算 经（成书约公元 5世 纪）卷上二十三 “ 织女问 题” ：今有女善 织，日益功疾 . 初 日织五尺，今一月日织九匹三丈 几何 . 其意 思为： 有 一个女子很会织布 ， 一天 比 一 天织得快，而 且 每天增 加的长度都是 一 样的 . 已 知第一天织 5 尺，经过一个月 30 天后，共织布九匹三丈 天多织布多少尺？ (注： 1 匹 4 丈， 1 丈 10 尺 ). 此问题 的答案为 （ ） A 390 尺 B 1631尺 C. 1629尺 D 1329尺 5. 执行如图所 示的程序框图，正确的是 （ ） A 若输入 ,依次为 1,2,3 ，则输出的值为 5 B 若输入 ,依次为 1,2,3 ，则输出的值为 7 C 若输入 ,依次为 2,3,4 ，则输出的值为 8 D 若输入 ,依次为 2,3,4 ，则输出的值为 10 6. 如 图，网格纸上小正方形的边长为 1 ， 粗实线画 出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为 （ ） A 24 B 30 D 60 7. 函数 s i 的 图象 可由函数 的图象至少 向右平 移 ( 0)个单位 长度得到 ， 则 m （ ） A 1 B 28. 在 中， C 于 H ，点 D 满足 2C ，若 2，则 D （ ） A 2 B 2 D 4 9. 圆的任何一对平行切 线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有 相同的宽度，具有这种性质的曲 线可称为“ 等宽曲线 ” . 事实上存在着大量的非圆 等宽曲线， 以工艺学家鲁列斯 名的鲁列斯曲边三角形，就是 著名 的非圆 等宽曲线 图 1） : 画一个等边三角形 分别以 , 圆心，边长为半径，作圆弧 ,A 这三段圆弧围成的图形就是 鲁列斯曲边三角形 . 它的宽度等于原来 等边三角形 的边长 等于曲线宽度的正方形内 （如图 2） . 图 1 图 2 在图 2 中的正方形内随机取一点，则这一点落在 鲁列斯曲边三角形内的概率为 （ ） A8B 2 3 34 C. 22D 3210. 已知抛物 线 2 20y px p上的点到焦点的距离的最小 值为 2 ，过点 0,1 的直线 只有一个公共点，则焦点到 直线 l 的 距离为 （ ） A 1 或 2 或 2 B 1 或 2 或 5 C. 2 或 2 D 2 或 5 x 的方程 12 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ,0 B 0,1 C. 1, D 0, 12. 定义“函数 y f x 是 D 上的 a 级类 周期函数 ” 如下 : 函数 ,Dy f x x， 对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任 意实数 x 都有 af x f x T恒成立，此时 T 为 若 y f x 是 1, 上 的 a 级类 周期函数 ， 且 1T ，当 1,2x 时， 21f x x,且 y f x 是 1, 上 的 单调递增函数，则 实数 a 的取值范围为 （ ） A 5,6B 2, C. 5,3D 10, 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 ,0103 3 0 ， 则 2z x y的最大值为 14. 曲线 s 在 点 30,2处的切线方程 是 的等边 的三个顶点都在球 O 的表面上， O 为球心，且 成的角为 45 ，则球 O 的表面积为 一点列 1 2 1, , . . . , , , . . . P P n ，设点 ,中 2 ( N )，过点1,直线与两坐标轴所围成的三 角形面积为n 项和，则5S 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在平面四边形 ， , 2 , 5 , 2 ,A B B C A B B D B C D A B D A B D 的面积为 2 . （ 1） 求 长； （ 2） 求 的面 积 . 18. 根据 “ 2015 年国民经济和社会发展统计 公 报 ” 中公布的数据，从 2011 年到 2015 年，我国的 第三产业在 的比重如下 : 年份 2011 2012 2013 2014 2015 年份代码 x 1 2 3 4 5 第三 产业比重 （ 1） 在所给坐标系中作出数据对应的散点 图； （ 2） 建立第三产业在 的比重 y 关 于年份代码 x 的 回 归方程； （ 3） 按照当前的 变化趋势，预测 2017 年我 国 第三产业在 的比重 . 附注 : 回归直线方 程 y a 中的斜率和截 距 的最小 二 乘估计公式分别为 : 112 2 2( ) ( )( ) ( )i i y n x y x x y n x x x , a y . 19. 在三棱柱1 1 1 B C中，已知 侧棱1 面 , 为 中点，13 , 2 , 2A C A B B C C C . （ 1） 证明 :1面1 （ 2）求 点11离 . 20. 在直角坐标系 ， 已知定 圆 2 2: 1 3 6M x y ，动 圆 N 过点 1,0F 且与圆M 相 切， 记动圆圆心 N 的轨迹为曲线 C . （ 1） 求 曲线 C 的 方程； （ 2） 设 ,线 C 上 两点，点 A 关于 x 轴 的 对称点为 B (异于点 P )，若直线 ,P 分别交 x 轴 于点 ,证明 : T 为定值 . 21. 设函数 2 , l x x e g x x x. （ 1）若 F x f x g x，证明： 0, 上存在唯一零点； （ 2）设函数 m i n ,h x f x g x ，（ mi n , 示 ,若 ，求 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在 平面 直角坐标系 ， 直线 l 的 参数方程 为122 (32 为参数 ) ， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲 线1标方程 为 6 . （ 1） 写出 直线 l 的 普通 方程 和 曲 线1 （ 2） 若将 曲 线1坐标缩短为原来的 66倍， 纵 坐标缩短为原来的 22倍， 得到曲线2C，设点 P 是 曲线2 点 P 到 直线 l 距离的最小值 . 等式选讲 已知函 数 2f x x. （ 1） 解不等式 2 4 1f x x ； （ 2） 已知 1 0 , 0m n m n ，若不等式 11x a f 恒成立，求实数 a 的取值 范围 . 云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测数学（文） 试题 参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 14. 2 3 0 答题 17. 解： (1)由已知 11s i n 2 5 s i n 222 B B D A B D A B D ，所以25s i n 5，又 0,2，所以 5c o ，在 中，由余 弦定理得： 2 2 2 2 c o s 5A D A B B D A B B D A B D ，所以 5. (2)由 C ，得2A B D C B D ，所以 5s i n c o D A B D ，又 42 , s i n 2 s i n c o s 5B C D A B D B C D A B D A B D ，222B D C C B D B C D A B D A B D A B D C B D ， 所以 为等腰三角形，即 D ，在 中，由正弦定理得：s i n s i C D C B D， 所以55s i n 5 1 1 5 5 4 55 , s i i n 4 2 2 4 4 5 85C B C B S C B C D B C D . 18. 解： (1)数据对应的散点图如图所示： (2) 3 , 4 7 ， 112 2 2( ) ( ) 151 . 510( ) ( )i i y n x y x x y n x x x , 4 2 a y b x ， 所以回归直线方程为 1 2 . (3)代入 2017 年的年份代码 7x ，得 1 4 2 5 3 y ，所以按照当前的变化趋势，预计到 2017 年，我国第三产业在 的比重将达到 19. 解： (1) 证明：在 中， ,B M 为 中点，故 C ，又侧棱1面 所以1M，又1 C C，所以 平面111 C，在1， 11 2t a n 2 B ；在 1中， 1112t a ，所以11B C B M C C ， 又1 1 1 90B C B C C B ，所以1 1 1 90M C C C C B ，即11 C，又11,A M B C A M M C M，所以1面1 (2)设点1h ，由于1 1 1 1 1 1 1,A A M C M A A C C A M C A A M C C A M V V V ，即1 11133A M C A M CS h S C C ，于是111 11112621 332A M M C C C M C C C C M ， 所以点13. 20. 解： (1)因为点 1,0F 在 2 21 3 6M x y ： 内，所以圆 N 内切于圆 M ，则6N M N F F M ，由椭圆定义知，圆心 N 的轨迹为椭圆，且 2 6, 1，则229, 8，所以动圆圆心 N 的轨迹方程为 22198. (2)设 0 0 1 1, , , , , 0 , , 0x y A x y S x T x，则 11,B x y，由题意知01 ，直线 程为 11y k x x ，令 0y ，得 0 1 1 010Sx y x yx ，同理 0 1 1 0 0 1 1 01 0 1 0T x y x y x y x yx y y y y ，于是2 2 2 20 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0221 0 1 0 1 0y x y x y x y x y x O T x xy y y y y y ， 又 00,P x 11,A x 2198上，故 2 2220 1018 1 , 8 199x ，则 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2011 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 18 , 8 1 8 1 89 9 9y x x x y x y x x x x . 所以 222 2 2 2010 1 1 0222210018989y x O T . 21. 解： (1)函数 0, ，因为 2 x x e x x，当 01x时， 0，而 242 2 l n 2 0F e ，所以 1,2 存在零点 22 1 1 l n 1 l n 1x xF x x ，当 1x 时， 211 11 , l n 1 1xe e e ，所以 1 1 0 ，则 1, 上单调递减，所以 0, 上存在唯一零点 . （ 2）由（ 1）得， 1,2 上存在唯一零点0x， 00,， 0;,f x g x x x 时， 020l n , 0 ,xx x x xf x g x h xx e x x 00,，由于 0 , 1 , 0x h x； 01,时， 0h x x ，于是 01,x 单调递增，则 00 h x h x，所以当00 时， 0h x h x 0 ,时，因为 2 xh x x x e ， 0,2时， 0，则 0,2x 单调递增； 2,x 时， 0，则 2, 单调递减，于是当0， 224h x h e ，所以函数 224 ，所以 的取值范围为 24,e . 22. 解： (1)直线 l 的普通方程为 3 2 3 0 ，曲线1c o s (6 s i 为参数） . (2)由题意知，曲线2c o s (3 s 为参数），可设点 c o s , 3 s i ，故点 P 到直线 l 的距离为 3 2 s i n 23 c o s 3 s i n 2 3 4231d ，所以m i 62d ，即点 P 到直线 l 的距离