《信号分析与处理》备课教案(第三章)(1)

上一章回顾 上一章“单输入单输出系统的时域分析”，其实质是在时域中进行系 统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在 时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分 析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分 析法”。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的 基础。上一章所讲授的主要内容，可以概括为如下几个方面： 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种 响应的具体求解。 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差 分方程的具体求解方法。 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方 法和步骤；卷积积分的重要性质。 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位 乘法熟练进行求解的方法和步骤。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 65 上次课“思考题”： 1“卷积积分”与“卷积和”的相似之处与区别是什么？ 2不进位乘法求“卷积和”需要注意的地方是什么？ 从本次课开始，我们将进入信号与系统的 “变换域分析” 变换域一般指：频域、S 域和 Z 域；也就是通过各种数学变换， 将时域的信号与系统变换到频域、S 域和 Z 域中进行分析和观察，这 样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是： 可以使我们观察到，信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙 的现象和特性，从而使我们可以多角度地对信号与系统有更深刻的认 识和更全面的把握。 本章所讲授的“傅立叶”变换，就是信号与系统在“频域”中的 分析原理、方法和特性。 66 第三章：傅里叶变换 3.1.概述 时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意输 入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且， 对于连续时间系统)()(tfhtyf 对于离散时间系统kk 鉴于离散时间系统的“傅立叶变换”，属于“数字信号处理”课 程的内容，因此在本章下面的分析中，所指的信号和系统均为连续时 间信号和连续时间系统。 本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，论证任意输入tje 信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。由于这 里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。 在高等数学的级数分解中已经表明，任意一个周期信号，只要满 足狄里赫利条件，都可以分解为傅里叶级数，分解后的各次谐波的幅 度和相位构成了周期信号的幅频特性和相频特性，并把幅频特性称为 幅度谱，相频特性称为相位谱。而对非周期信号，如果引入频谱密度 的概念，从而也对非周期信号作傅里叶变换，也可以得到非周期信号 的频谱。从频谱的观点来分析信号与系统也称为频域分析法。由于频 域分析法有许多突出的优点，因此它已称为信号与系统分析的重要手 段之一。 下面首先引出周期信号的傅里叶级数，然后在傅立叶级数的基础 上导出连续非周期信号的傅立叶变换。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 67 一、傅里叶级数的三角形式 对于给定周期信号，可以通过公式方便地得到其傅立叶级数的系 数，它包含了各频率正弦分量的幅值及相位，这些系数与频率的关系， 就是该周期信号的频谱，也称为频谱特性。一般地，周期信号的傅立 叶级数有三角形式和复指数形式两种，因此其系数也有实系数和复系 数两种表示形式。 其中， dtfTa20)( 这里， 、 和 称为三角形式傅立叶级数的系数。可见，0anb 是 的偶函数， 是 的奇函数。这里，n ,321n 将上式“同频率项”合并，可写为： 式（1） 该式即为三角形式的傅立叶级数表达式。 68 也即， ， 式（2） nnAbasico,321 可见， 是 的偶函数， 是 的奇函数。n 二、波形的对称性与谐波特性 例：周期矩形信号 如图所示，若重复频率 =5 ，脉)(tf fZKH 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 69 宽 为20 ，幅度 =10 V，求 傅立叶级数展开的直流分sA)(tf 量大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。 解：因为 为偶函数，所以 ，故只有直流分量和余弦)(tf 0nb 分量，并有 ，利用公式求解如下：na 直流分量： 210522)(2 360 TAdttfTa 所以直流分量为 0a 次谐波系数：n nT ATndtATdtntfa 2si4)cos(2)cos()2 其有效值为： A 将 代入上式，得基波有效值为：1n 39.18sin210sin42T 同理，当 和 时，得二次和三次谐波的有效值分别为：3 32.16sin25sin24TA .4i310i3 三、傅里叶级数的复指数形式 70 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不 便，因而经常采用复指数形式的傅里叶级数。考虑上面式 （1），进而可从欧拉公式 推出：2)(cosjxjex 考虑到 是 的偶函数， 是 的奇函数，则：nAn 令复数 nneFeAFjn21 则称 为指数形式傅立叶级数的复系数，也简称傅立叶系数， 因此由上式可以得到： 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 71 式（3） ntjneFtf)( 该式即为复指数形式的傅立叶级数表达式。此式表明： 任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 其中 是频率为 的分量的系数， 为直流分量。nF20AF 结合式（2），并且有下式成立： )(1)sincos(1nnjn jbajAe 将三角形式傅立叶级数系数 和 带入上式，可得：ab 式（4） dtetfT dtjttfFjnTn2)(1)si()cs() 从而建立了 与 的关系，即进入了频域。F 3.2.非周期信号的傅里叶变换 3.2.1 周期信号的频谱及其特点 一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系， 称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系，即将 和 的关系分别画在以 为nAn 横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅值频谱图和相位频 72 谱图。因为n0（对于三角形式展开），所以称这种频谱为 单边谱。也可画 和 的关系，称为双边谱。nFn 例：周期信号 63sin412cos1)( tttf 试求该信号的基波周期 T，基波角频率，并画出它的单边频谱图。 解：首先应用三角公式改写 的表达式，即)(tf 对照三角形式的傅立叶级数表达式： 显然1是该信号的直流分量。 ， 因为，基波周期总是信号谐波周期的最小公倍数，原因可参看第 一章关于“两个周期信号的和函数周期性”判断标准。 又因为： ， ，所以：4n3 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 73 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期 为T，如图所示，则由上面式（4）可直接求其频谱系数为： 考虑到： 为抽样函数（见教材P4页），则有：)(sintSta 74 式 （5） 则有： ，)4(1)2(41nSnSFaa,21,0 由于对于 函数而言，过零点的自变量取值为：t ， （即 为除0之外的整数）mt,m 则对 而言，其过零点的取值必为：n ， ，2n2,21 以 为横坐标， 为纵坐标，可得频谱图如下图所示。F 因为 ， ，对应上图可看到：n,21,0 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 75 , ,对应的是周期脉冲信号 分解的直流分量；0n)(tf , ,对应的是周期脉冲信号 分解的基波分量；1 , ,对应的是周期信号 分解的二次谐波分量；2tf , ,对应的是周期信号 分解的三次谐波分量；3)( 而在 , 时,因为：4n 0)(41)()4(1)2(1 aaaa SnSSF 对应的恰是曲线的过零点，因此可以说周期信号 分解的tf 四次谐波分量为零；或 的分解信号不包括四次谐波分量；)(tf 在 的取值继续升高时，情况类同。n 特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频的 整数倍； (2)在频谱图上，谱线是以基频 为间隔等距离分布的； (3)一般具有收敛性，随着 增大总趋势减小，直至衰减为零。 下面我们看一下谱线结构与波形参数的关系 设前述的周期矩形脉冲宽度仍为 ，幅度 仍为1，周期A 为 ，则由式（5）有：1T )2()2(1aanSTSF 76 由图中可见谱线结构与波形参数的关系，当脉宽 维持不 变， 增大（即 不断增大），则相应频谱图上的谱线间隔1T1 （即 ）变小，相应的频谱包络线 的幅度也变小。)2(1aST 不难推论，当周期 无限增长，即 时，此时的周1 期矩形脉冲信号就成为非周期信号（非周期矩形脉冲），同 时谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周 期信号的连续频谱。但从图上也可以看出，此时各频率分量 的幅度 也趋近于无穷小，即 ，因此这样也就无法再nF0nF 用傅立叶级数来描述非周期信号的频域特性。 上图中，还画出了三种不同情况时周期信号的 的1nFT 图形，由图中可见 的包络线为：nT1 = =nFT1)2(aS)(a 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 77 可见，这一包络线（或 ）与 的变化无关。也就是nFT11 说，随着 ，虽然 图形的谱线间隔越来越密，并趋1T 近于零，导致周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续 频谱，但 图形的幅度始终维持不变。nF 因此，可以考虑用 来描述非周期信号的频域特性。nT1 3.2.2 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是信号周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无 穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。但同时各频率分量的 幅度也趋近于无穷小，不过这些无穷小量之间仍有差别。 由于 与 的变化无关，为了描述非周期信号的频谱nF1 特性，引入频谱密度的概念。令 （单位频率上的频谱）Tj nTlimli)( 则称 为频谱密度函数。 由式（4）： dtetfTFjnn2)(1dtetfTFjnn2)( 由式（3）： ntjnntj Teetf 1)( 78 称为 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。)(jF)(tf 称为 的傅里叶反变换或原函数。tfj 也可简记为: dejFjFtf ttftfj jj)(21)()(1 3.2.3 常用非周期函数的傅里叶变换(频谱) 1. 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 79 2. 200 1)( jjdtedtejFjtjt 80 可见：单位冲激函数的频谱在整个频域内等于一个常数，即在整个频 域中频谱是均匀分布的，该谱亦称为“均匀谱”或“白色谱”。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 81 注意：常用典型信号的傅立叶变换与相应频谱图，具体见教 材P89页、表3.2，其中标号为 1、2、3、7、8、9、10、12、13的信号与对应频谱，应熟练 掌握并予以记忆。 总结： 本次课程讲授内容的理论性较强，公式推导较多，目的在于把握 从“时域”到“变换域”的特点和意义。时域分析清晰明了，为什么 要进行变换域分析？形象化的描述就是： 换一个角度看世界！ 原来生活很精彩，世界真奇妙！ 82 对于傅立叶变换，详细分析与推导的宗旨，就是要从理论上把握 它的来龙去脉，实现“不仅知其然，而且知其所以然”。在领悟了分 析推导过程的基础上，凝练的关键要点实质上也就如下几点： （1）频域分析与频谱的基本概念； （2）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，具有两种形式； 三角形式: 复指数形式: ntjneFtf)( 周期信号的频谱是“离散谱” （3）非周期信号，采用“傅立叶变换对”可进行傅立叶变换； d