安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题含答案

安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试 数学（理）试题 参考公式： 如果事件 A 、 B 互斥 , 那么 P A B P A P B 如果事件 A 、 B 互斥独立 , 那么 B P A P B 如果随机变量 ,B n p ，则 ,1E n p D n p p 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 1 , 0 , 1 , 2 , | 02 x x ， 则 （ ） A 1,0,1 B 1,0 C 2, 1,0 D 0,1,2 2. 复数 i 3 i Rz a a a ，若 0z ， 则 a 的值是 （ ） A 3a B 3a C 1a D 1a 3. 已知数列 n 项和为且 112 , 1 a S n ， 则5S（ ） A 31 B 42 C 37 D 47 4. 在 中， 2 , 0 , 2 , 0 , ,B C A x y ,给出 满足的条件， 就能得到动点 A 的轨迹方程，下表给出了一 些条件及方程 ： 条件 周长为 10 面积为 10 中， 90A 方程 21 : 25 222 : 4 0C x y y 223 : 1 095 则满足条件 ， 的轨 迹方程依次为 （ ） A1 2 3,C C 1 2,C C 1,C C 3 2,C C 在区间 0,8 上随机取一个 x 的值，执行下面的程序框图，则输出的 3y 的 概率为 （ ） A 13B 12C. 23D 346. 过 圆 锥 顶 点的 平 面截去 圆 锥 一 部分，所得几何体的三视图如图所示，则 原 圆推的体积为（ ） A 1 B 23C. 43D 837. 已知 1 220 51 , 1 l o g 3 , c o s 6a x d x b c ， 则 , ） A B c a b C.a c b D b c a 8. 已知 1, ,m x y 满足约束条件 405001x y ,若目标函数 0 , 0z a x b y a b 的最大值为 3 ，则 12（ ） A 有 最 小 值 11 2 103B 有 最大值 11 2 103C. 有 最 小 值 11 2 103D 有 最大值 11 2 1039. 中国诗词大会（ 第 二季 )亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味 进酒山居秋暝 望 岳送杜 少府之任蜀州和另 确定的两首 诗词 排在后六场 ， 且将进酒 排 在望岳的前面 ， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则 后六场的排法 有 （ ） A 144 种 B 288 种 C. 360 种 D 720 种 2:1C x y， 点 P 为直 线 142上一动点，过 点 P 向圆 C 引 两条 切线, , ,B A B 为切 点， 则直线 过定点 .（ ） A 11,24B 11,42C. 3,04D 30,411. 函数 l n 00 与 1 12g x x a 的图象上存在关于 y 轴对 称的点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A , 3 2 B 3 2 , C. ,e D , e 12. 将函数 3 s i 的图 象向左平移 3 个单位，得函数 3 s i n 4 的图 象 (如图 ) ，点 ,函数 y 轴两侧相邻的最高点 和最低点，设 ，则 的值为 （ ） A 23 B 23 D 13 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 13, , 1 , 2 222a b a b ，则 b 在 a 方向上的投影为 14. 若随机变量 22, 3且 1P X P X a ，则 52 1x a a 展开式中 3x 项的系数是 15. 祖 暅 （公元前 5纪 )，祖冲之之子， 是 我 国 齐梁时代的数学家 . 他提出了 一条原理：“ 幂 势既同，則积不容异 . ” 这句话的意思是：两个等 高 的 几何 体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个 几 何体的体积相等 . 该原理在西方 直 到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖 暅 晚一千一百多年 . 椭球体是椭 圆 绕其轴旋转所成的旋转体 . 如 图 将底面 直 径皆为 2b ， 高皆为 a 的 椭 半球 体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放 置 于同一平面 上 . 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 d 处可横截得到 环两截面，可以证明环圆 知总成立 . 据此，短轴长为 4 长轴为 6 椭 球体的体积是 3 16. 设 示正整数 n 的个位数， 2 , n A n A为数列 02 项和，函数 1xf x e e ， 若函数 1 1g x A ， 且 g n n ，则数列 n 项和 为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 中，角 ,对 的边 分 别为 ,量 3 , 1 , c o s 1 , s i nm n A A ，且 为 23 . （ 1） 求 A 的大小； （ 2） 若 33 , c o ，求 的面积 . 18. 如图，四棱锥 P 中， 底面 矩形，面 底面 且 边长为 2 的等边三 角形， 1 3 , 在 ，且 （ 1） 求证 :M 是 中点； （ 2） 在 是否存在点 F ，使二面角 F 为直 角？若存在，求出 不存在，说 明理由 . 19. 2016 世界特色魅力城市 200 强新鲜出炉，包括黄山市在内的 28 个中国城市入选 . 美丽 的黄山风景和人文 景 观迎来众多宾客 . 现在很多人 喜 欢自助游，某 调查 机构为了了解 “ 自助游 ”是 否与性别有关，在黄山旅游 节 期间，随机抽 取 了 100 人，得如下所示的列联表： 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 女性 10 合计 100 （ 1） 若在 100 这人中，按性别分层抽取一个容 量 为 20 的样本 ， 女性应抽 11人，请将上面的列联表补充完整（在 答题卡 上 直接填写结果 ， 不需 要 写求解过程 ） ， 并据此资料能否在犯错误的概率不超过 提下 ， 认为赞成 “ 自助游 ” 是与性别有关系？ （ 2） 若以 抽 取样本的频率为概率 ， 从旅游节游客中随机抽取 3 人 赠 送精美纪念品 ， 记这 3 人中赞成 “自助游” 人数为 X ， 求 X 的分布列和数学期望 . 附 : 22 n a d b b a d a c b d 2P K k k 20. 已知椭圆 222: 1 22 的离 心 率 63e ，右焦点 ,0过点2 ,0的直线交椭圆 E 于 , （ 1） 求椭圆 E 的方程； （ 2） 若点 P 关于 x 轴的对称点为 M ，求证 : ,M F Q 三点共 线 ； (3) 当 面积最大时，求直线 方程 . 21. 已知函数 2 1 0xf x a x x e f . （ 1） 讨论函数 （ 2） 若 l n ,x e f x x h x e ，过 0, 0O 分别作曲线 y g x 与 y h x 的切线12,1x 轴对称 ， 求证 : 321 222e . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为221 s ，过点 1,0P 的直线 l 交曲线 C 于 , . （ 1） 将 曲线 C 的极坐标方程 的化 为 普通方程； （ 2） 求 B 的取值范围 . 等式选讲 已知函数 2 , 1f x x g x x x . （ 1） 解不等式 f x g x ； （ 2） 若存在实数 x ， 使 不等式 Rm g x f x x m 能成立， 求实数 m 的最小值 . 安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 14 16. 2332 nn n三、解答题 17. 解： (1) 3 c o s 3 s i n 2 s i n 33m n A A A , s i n 136 . (2) 36c o s , s i ,由212b ， 1 1 2s i n 3 2 2 s i n 6 s i n c o s c o s s i n 32 2 2a b C A B A B A B . 18. 解： (1)证明：连 E ，连 矩形， E 是 点 且 面 面 交线， ,P A M E M是 中点 . (2)取 点 O ，由（ 1）知 ,E 两垂直 . 以 O 为原点， ,E 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为 1 3 31 , 0 , 0 , 1 , 3 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 3 , , ,2 2 2A B D C P M . 设存在 F 满足要求，且 ，则由 P 得： 1 , 0 , 3F ，面 一个法向量为 231, ,33n，面 一个法向量为 221 , ,3 3m，由 0，得 421093 ，解得 38，故存在 F ，使二面角 F 为直角，此时 38 19. 解： (1) 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表中的数据代入计算，得 2K 的观测值： 21 0 0 3 0 1 0 4 5 1 5 100 3 . 0 3 0 , 3 . 0 3 0 3 . 8 4 14 5 5 5 7 5 2 5 3 3K ， 前提下，不能认为赞成 “ 自助游 ” 与性别有关系 . (2)X 的所有可能取值为： 0,1,2,3 ,依题意 i 3 13 , , i , i 0 , 1 , 2 , 34 4 4X B P X C ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 64 964 2764 2764 94E X . 20. 解： (1) 由 2 26 63a ， 椭圆 E 的方程是 22162. (2)由（ 1）可得 3,0A ，设直线 方程为 3y k x. 由方程组 221623k x ，得 2 2 2 23 1 1 8 2 7 6 0k x k x k ，依题意 21 2 2 3 0k ， 得 6633k 1 1 2 2, , ,P x y Q x y，则 221 2 1 2 1 1 1 1 2 2221 8 2 7 6, , 2 , 0 , , , 2 , , 2 ,3 1 3 1x x x F M x y M F x y F Q x ，由 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 3 2 3x y x y x k x x k x 221 2 1 2 221 8 2 7 65 2 1 2 5 2 1 2 03 1 3 1x x x x k ，得, , ,M F F Q M F Q 三点共线 . (3)设直线 方程为 3x . 由方程组 221623 ，得 223 6 3 0m y m y ，依题意 223 6 1 2 3 0 ，得 2 32m 1 1 2 2, , ,P x y Q x y，则 1 2 1 2 1 2336 3 1, 2y y y S A F y 22221 2 1 2 1 2 222 21 2 2 31 1 1 6 1 2 142 2 2 3 3 2 3y y y y m ，令 2 3，则 2 212 21 2 2 91 1 1 1 1 1 13 9 , , 3 92 2 9 9 9y y t mt t t ，即 2 6 , 6 时， 最大， 最大时直线 方程为 6 3 0 . 21. 解：由已知得 2 2 1 , 0 0xf x a x a x e f ，所以 2 1 xf x a x x e . (1) 2 2 1 2 1x a x a x e x a x a e . 若 0a ，当 12 或0x 时， 0；当 120 时， 0，所以 1, 2 , 0 ,a ； 单调递减区间为 12 , 0a. 若 0 , 1 , f x x e f x x e ，当 0x 时， 0；当 0x 时， 0，所以 为 0, ；单调递减区间为 ,0 . 若 1 02 a ，当 12 或 0x 时， 0；当 102 时， 0，所以 0, 2a；单调递减区间为 1, 0 , 2 ,a . 若 211, 022 xa f x x e ，故 , . 若 12a ，当 12x a 或 0x 时， 0；当 120 时， 0，所以 2 , 0a；单调递减区间为 1, 2 , 0 ,a . 当 0a 时， 1, 2 , 0 ,a ；单调递减区间为12 , 0a. 当 0a 时， 0, ；单调递减区间为 ,0 02 a 时， 0, 2 a；单调递减区间为 1, 0 , 2 ,a . 当 12a时， , ；当 12a时， 0a； 单调递减区间为 1,2a , 0, ； (2) 22l n 1 l n 1 l nx x xg x e f x x e a x x e x a x x x ,设2k x，切点为 22,22 2222,xx yy e k e x ，所以 2 2 21 , ,x y e k e k e ，所以1y ，设1 y g x 的切点为 11, 11 1 1 21 1 1 11 1 1 2 1 , 22y ek g x a x e ax x x x . 又 21 1 1 1 11 l ny a x x x e x ,即1113l n 022e