安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（文）试题含答案

安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试 数学（文）试题 参考公式： 如果事件 A 、 B 互斥 , 那么 P A B P A P B 如果事件 A 、 B 互斥独立 , 那么 B P A P B 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 1, 0 , 1, 2 , | 1 2 0A B x x x ， 则 （ ） A 1,0,1 B 1,0 C 2, 1,0 D 2,1,2 2. 复数 21 3 iz a a ，若 0z ， 则 实数 a 的值是 （ ） A 3 B 1 C 1 D 3 3. 在 我国明代数学家吴敬所 著 的九 章 算术比类大全中，有一道数学名 题 叫 “ 宝塔装灯 ”，内容为 “ 远 望 巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层 几 盏灯？ ” (加增 的顺序为从塔顶到塔底 ). 答案应为 （ ） A 6 B 5 C 4 D 3 21 12f x a x b x ，其中 2 , 4 , 1, 3，从 个，则它在 ,1 上是减函数的概率为 （ ） A 12B 34C. 16D 0 5. 在 中， 2 , 0 , 2 , 0 , ,B C A x y ，给出 满足条件，就能得到动点 A 的轨迹方程 下表 给出了一 些条件及方程 ： 条件 方程 周长为 10 21 : 25 面积为 10 222 : 4 0C x y y 中， 90A 223 : 1 095 则满足条件 ， 的轨 迹方程依次为 （ ） A3 1 2,C C 2 3,C C 1,C C 3 2,C C x 的 取 值 范围是 0,8 ，执行下面的程序框图，则输出的 3y 的 概率为 （ ） A 13B 12C. 23D 347. 一个 几何体的三视图如图所示，则 该几何体 的体积为 （ ） A 43 B 42 D 2 231 上只有一点到双曲线 221的一条渐近线的距离为 1 ，则该双曲线离心率为 （ ） A 355B 334C. 3 D 5 9. 已知21 l o g 3 2 52 , 1 l o g 3 , c o s 6a b c ， 则 , ） A B C. c a b D b c a , ,m x y 满足约束条件 405001x y ,若目标函数 0 , 0z a x b y a b 的最大值为 3 ，则 12（ ） A 有 最 小 值 11 2 103B 有 最大值 11 2 103C. 有 最 小 值 11 2 103D 有 最大值 11 2 10311. 函数 l n 00 与 1g x x a 的图象上存在关于 y 轴对 称的点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A R B , e C. ,e D 12. 将函数 3 s i 的图 象向左平移 3 个单位，得函数 3 s i n 4 的图 象 (如图 ) ，点 ,函数 y 轴两侧相邻的最高点 和最低点，设 ，则 的值为 （ ） A 13 B 23 D 23 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 13, , 1 , 2 222a b a b ，则 b 在 a 方向上的投影为 :8C y x ，点 0,4P ，点 A 在抛物线上，当点 A 到抛物线准线 l 的距离与点 A 到点 P 的距离之和最小时，延长 抛物线于点 B ，则 的面积为 个等 高 的 几何 体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个 几 何体的体积相等 . 椭球体是椭 圆 绕其轴旋转所成的旋转体 . 如 图 （ 1） 将底面 直 径皆为 2b ， 高皆为 a 的 椭半球 体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放 置 于同一平面 上 . 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 d 处可横截得到 环两截面，可以证明 圆总成立 . 则 短轴长为 4长轴为 6 椭 球体的体积 为 3 n ，设曲线 2 ny x x 在 3x 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为数列2的前 n 项和等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 中，角 ,对 的边 分 别为 ,量 3 , 1 , c o s 1 , s i nm n A A ，且 为 23 . （ 1） 求 A 的大小； （ 2） 若 33 , c o ，求 的面积 . 18. 如图，四棱锥 P 中， 底面 矩形， 平 面 底面 且 边长为 2 的等边三 角形， 1 3 , 在 ，且 （ 1） 求证 :M 是 中点； （ 2）求多面体 体积 . 19. 全 世界越来越关注环境保护问题，某监测站点 于 2016 年 8 月某日起连续 n 天监测空气质 量指 数 数据统计如下 ： 空气质 量指 数 3/ 0 50 51 100 101 150 151 200 201 250 空气质 量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （ 1） 根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 ,完成頻率分布直方图 ： （ 2） 由頻率分布直方图 ， 求该组数据的平均数与中位数； （ 3） 在空气质量 指 数分别为 51 100 和 151 200 的监测数据中 ， 用分层抽样的方法抽取 5天，从中任意选取 2 天，求事件 A “ 两天空气都为良 ” 发生的概率 . 20. 设12, 22: 1 0a 的左、右焦点，过2直线交椭圆 D 于 ,B 的距离为 23，连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积为 25. （ 1）求椭圆 D 的方程； （ 2）设过点2l 被椭圆 D 和圆 22: 2 2 4C x y 所截得的弦长分别为, 直线 l 的方程 . 2 1 xf x a x x e . （ 1）若 0a 时，讨论函数 （ 2）若 x e f x x，过 0,0O 作 y g x 切线 l ，已知切线 l 的斜率为 e ，求证： 222e e . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果 多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为221 s ，过点 1,0P 的直线 l 交曲线 C 于 , . （ 1） 将 曲线 C 的极坐标方程 的化 为 普通方程； （ 2） 求 B 的取值范围 . 等式选讲 已知函数 2 , 1f x x g x x x . （ 1） 解不等式 f x g x ； （ 2） 若存在实数 x ， 使 不等式 Rm g x f x x m 能成立， 求实数 m 的最小值 . 安徽省黄山 市 2017 届高三第二次模拟考试 数学（文）试题 参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 14 16. 1332n 三、解答题 17. 解： (1) 3 c o s 3 s i n 2 s i n 33m n A A A , s i n 136 . (2) 36c o s , s i ,由212b ， 1 1 2s i n 3 2 2 s i n 6 s i n c o s c o s s i n 32 2 2a b C A B A B A B . 18. 解： (1)证明：连 E ，连 矩形， E 是 点 且 面 面 交线， ,P A M E M是 中点 . (2)取 点 O ，连 则 D ，由面 底面 得 面 , 1 3 3 1 0 , 1 0 1 3P O O C O C C D ，1 1 1 3 3 3 3 32 3 3 2 3 , 2 3 , 2 33 3 2 2 2 2 2P A B C D M B C D P A B M V . 19. 解： (1) 200 . 0 0 4 5 0 , 1 0 0 , 2 0 4 0 1 0 5 1 0 0 , 2 5n m , 4 0 2 5 1 0 50 . 0 0 8 ; 0 . 0 0 5 ; 0 . 0 0 2 ; 0 . 0 0 11 0 0 5 0 1 0 0 5 0 1 0 0 5 0 1 0 0 5 0 . (2)平均数 95 ，中位数 (3) 在空气质 量指 数为 51 100 和 151 200 的监 测天数中分别抽取 4 天和 1 天，在所抽収的 5 天中，将空气质 量 指数为 51 100 的 4 天分别记为 , , ,a b c d ； 将空气质 量 指数为151 200 的 1 天记为 e ， 从中任取 2 天的基本事件分别为： , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d 0 种，其中 事件 A “两天空气都为良”包含的基本事件为 , , , , , , , , , , ,a b a c a d b c b d c 种，所以事件 A “两 天都为良”发生的概率是 631 0 5. 20. 解： (1)设1 ,0c ，2 , 0 , 0，则直线 方程为 3y x c，即 333 3 0 , 2 3 , 231y c c ；又221 2 2 2 5 , 5 , 5 , 12S a b a b a b ， 椭圆 D 的方程为 2 2 15x y. (2)易知直线 l 的斜率不为 0 ，可设直线 l 的方程为 2x ，则圆心 C 到直线 l 的距离为221， 所以 22 222242 2 , 11 5x t x ，得 225 4 1 0t y ， 2212 22 5 115tm t y ， 22 228 5 1 8 5 2545 11 （当且仅当22411t t ，即 3t 时，等号成立），所以直线方程为 3 2 0 或 3 2 0 . 21. 解： (1) 由已知得： 2 2 1 2 1x a x a x e x a x a e . 若1 02 a ，当 12x a 或 0x 时， 0；当 102x a 时， 0，所以 0, 2a；单调递减区间为 1, 0 , 2 ,a . 若 211, 022 xa f x x e ，故 , ； 若 12a ，当12x a 或 0x 时， 0；当 120 时， 0；所以 2 , 0a；单调递减区间为 1, 2 , 0 ,a . 综上，当 1 02 a 时， 0, 2a；单调递减区间为 ,0 ，12,a . 当 12a时， , ；当 12a时， 0a；单调递减区间为 1,2a , 0, . (2) 22 21l n 1 , a x xg x a x x x g ,设切点 20 0 0 0, l n 1x a x x x ，斜率为 200021a x x 所以切线方程为 22 000 0 0 001l n 1 ( )a x xy a x x x x ，将 0,0 代入得： 20 0 0 0l n 1a x x x e x 由 知 002012ex xa x 代入 得： 001 2 l n 3 0e x x ，令 1 2 l n 3u x e x x ,则 2 1 0u x e x 恒成立， 在 0, 单增，且 0111 2 0 , 0 , 1u e u ，20020 0 01 1 1 1 12 2 2e x x x x ，令01t x ，则 1 ，则 21122ea t t t 在 1,e 递减，且 222 2 2 21 , ,2 2 2 2e e e e e ea a e a . 22. 解： (1)由221 s 得 221 s i n 2，得曲线 C 的普通方程为 2 2 12x y. (2)由题意知，直线 l 的参数方程为 1 c o s (s 为参数），将 1 c o 代入2 2 12x y得 2 2 2c o s 2 s i n 2 c o s 1 0 ，设 ,12 2 2 21 1 1 ,1c o s 2 s i n 1 s i n 2P A P B t t ， B 的取值范