福建省2017届高中毕业班单科质量检查数学理试题含答案

2017 年福建省普通高中毕业班单科质量检查 理科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2| 2 3 0 , | 3 3M x x x N x x ，则 （ ） A B C M N R D 2. 已知 z 是 z 的共轭复数，且 34z z i ，则 z 的虚部是 （ ） A 76B 76C 4 D . 函数 2 x x 的图象 大致为 （ ） A B C D 4. 若 ,0202 2 0 ，则 2z x y 的最小值为 （ ） A B 2 C. 83D 4 5. 已知 , 0, ，则 “ 1s in s ” 是 “ 1s ” 的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6. 已知直线 l 过点 1,0A 且与 22: 2 0B x y x 相切于点 D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D ，一条渐近线平行于 l ，则 E 的方程为 （ ） A 223 144B 2 25 13y xC. 223 122D 223 1227. 5 名学生进 行知识竞赛 、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名” 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A 54 B 72 C. 78 D 96 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ） A 72B 4 C. 92D 5 9. 中国古代算书孙子算经中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数 五数之剩三；七七数之剩二 来，南宋数学家里秦九韶在其著作数书九章中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术” 衍求一术”，执行该程序框图，若输入的 ,0， 17，则输出的 c （ ） A 1 B 6 C. 7 D 11 10. 已知抛物线的焦点 F 到准线 l 的距离为 p ，点 A 与 F 在 l 的两侧， AF l 且2AF p ， B 是抛物线上的一点， 直 l 于点 C 且 2BC p ， 别交 l ， 点 , 与 的外接圆半径之比为 （ ） A 12B 32C. 233D 2 11. 已知函数 s i n 0 , 0 , 02f x A x A ，若 2 03，则 的最小值是 （ ） A 2 B 32C. 1 D 1212. 已知数列 , 1 11 , 2 ,n n n n n na b a a b b a b ， 则下列结论正确的是 （ ） A 只有有限个正整数 n 使得 2 只 有有限个正整数 n 使得 2 2递增数列 D 数列 2是递减数列 第 卷（共 90 分） 二、填空题 :本大题共 4 小题， 每 小 题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 1 , 3 , , 3a b m，且 ,则实数 m 2 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 上的函 数 1 1 2f x f x ，且当 1x 时， 2e ，则曲线 y f x 在 0x 处的切线方程是 中， 是边长为 3 的等 边三角形， 3 , 2 3S A S B，二面角S 的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题 ： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 n 项和 21. 的等差数列，其前三 项和为3，且3 （ 1）求 , （ 2）若 1 1 2 2 22b a b a b n t ，求实数 t 的取值范围 . 一码头 P 和三个岛屿 ,3 0 3 , 9 0 m i , 3 0P C n m i l e P B n l e A B n m i l e ， 0120， 090. （ 1）求 , （ 2）某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 P 能使得总航程最短？求出最短航程 . 棱柱1 1 1 B C中， 01 1 1 1 16 0 , 4B A A C A A A A A C ， 2，,C 的中点 . （ 1）在平面 过点 A 作 /面1C 于点 M ，并写出作图步骤，但不要求证明 . （ 2）若侧面11 侧面11直线11 20. 已知 222 2 212: 1 1 , : 1 0C x y C x y r r ，1l 上异于 A 的一点，直线 1 ， 2 ，且 , 重合，直线12, . （ 1）求 M 的轨迹 C 的方程 ； （ 2）若直线1x 轴不垂直，它与 C 的另一个交点为 N ， M 是点 M 关于 x 轴的对称点，求证：直线 过定点 . l n ,f x x x a a R . （ 1）若 a 的取值范围 ； （ 2）若 0a ，证明： s i n 1xf x e x . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1 : 2 c o ，曲线 22 : s i n 4 c o 轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 曲线 C 的参数方程为12232 （ t 为参数） . （ 1）求12, （ 2） C 与12,四点在 C 上的排列顺次为 , , ,P Q R S ，求 S 的值 . 等式选讲 已知函数 21f x x a x . （ 1）当 1a 时，解不等式 2； （ 2）求证： 12f x a. 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 15. 16. 21 三、解答题 1）因为 1n ， 所以当 1n 时，1 1 121a S a ，解得1 1a， 当 2n 时，1121， -，得122n n na a a ，即12，所以 12， 由数列 ，得233b ，所以2 1b， 设数列 d ，则351 , 1 3b d b d ， 又因为 23 2 5b 所以 21 1 3 ， 解得 1d 或 0d （舍去），所以 1； （ 2）由（ 1），可知， 12 , 1b n ，从而 112b n ， 令1 1 2 2n n nT a b a b a b ， 即 1 2 2 11 2 2 2 2 2 1 2n n ， 2，得 2 3 12 1 2 2 2 2 2 1 2n n ， -，得 2 3 12 2 2 2 1 2 22 1 2 2 2 212 n ， 即 2 2 2 ， 故题设不等式可化为 2 2 2nn n t ，（ *） 当 1n 时，不等式（ *）可化为 2 t ，解得 2t ； 当 2n 时，不等式（ *）可化为 00 ，此时 ； 当 3n 时，不等式（ *）可化为 2，因为数列 2n 是递增数列，所以 8t ， 综上， t 的取值范围是 2,8 . 1）在 中， 09 0 , 3 0 3 , 1 2 0P B P C P C B ， 由正弦定理得，s i n s i P B P B C，即09 0 3 0 3s i n 1 2 0 s i n ， 解得 1， 又因为在 中， 000 6 0 ，所以 030， 所以 030，从而 3 0 3B C P C ， 即 ,0 3 n （ 2）因为 009 0 , 3 0A B C P B C ，所以 0 0 09 0 3 0 6 0P B A A B C P B C ， 在 中， 9 0 , 3 0P B A B，由余弦定理得， 2 2 0 2 2 12 c o s 6 0 9 0 3 0 2 9 0 3 0 3 0 72P A P B A B P B A B ， 根据“两点之间线段最短”可知， 最短航线是“ P A B C P ” 或 “ P C B A P ” ， 其航程为 3 0 7 3 0 3 0 3 3 0 3 3 0 6 0 3 3 0 7S P A A B B C C P . 所以应按航线 “ P A B C P ” 或 “ P C B A P ” 航行， 其航程为 3 0 6 0 3 3 0 7 n m . 1）如图，在平面11点 A 作1/ ，连结 在1，作1/Q 于点 H ，连结 延长 交 点 M ，则 所求作直线 . （ 2）连结11,C， 01 1 1 1 14 , 6 0A A A C A C C A A ， 11正三角形 . P 为111A， 又侧面11 侧面11面11面1 1 1 1面111面11 在平面11 作1A交1 ， 分别以11,A x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 P ，则 10 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 4 , 2 3P A A C， 1 0, 0 2 3C. Q 为 中点， 点 Q 的坐标为 0, 3, 3 ， 11 0 , 2 , 2 3 , 0 , 3 , 3A C P Q . 01 1 1 12 , 6 0A B A B B A A ， 1 3, , 0B， 1 3 ,1, 0， 设平面1 ,m x y z ， 由100PQ m 得 3 3 030 ， 令 1x ，得 3 , 3 ，所以平面1 1, 3 , 3m . 设直线11a ， 则 11111139s i n c o s ,13A C m ， 即直线11913. 1） 因为1 ，所以 12r ，解得 3r ， 所以2 2 219 ， 因为直线 ,别切12, 所以12,C Q P Q C R P R， 连结 在 与 中， ,P Q P A P R P M P M ， 所以 M ， 所以1 2 1 1 2 1 2 1 242M C M C M Q C Q M R C Q C M C Q C R C C ， 所以点 M 的轨迹 C 是以12,轴长为 4 的椭圆（除去长轴端点）， 所以 M 的轨迹 C 的方程为 22 1043xy y . （ 2）依题意，设直线 方程为 10x ty t ， 1 1 2 2, , ,M x y N x y， 则 11M x y 且1 2 1 2,0x x y y ， 联立方程组 221143x ， 消去 x ，并整理得 223 4 6 9 0t y ， 2 226 4 9 3 4 1 4 4 1 4 4 0t t t ， 1 2 1 22269,3 4 3 4ty y y ， 直线 的方程 211121y x ， 令 0y ， 得 21 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 212 1 2 1 2 1 2 121811 2 341 1 4634ty x x y t y y t yy x x y t y y y y y y y y ， 故直线 过定点 4,0 . 1） ,a ，且 ln xf x x ， 设 ln xg x x ，则 2212a x xa x a x a . 当 2 ，即 0a 时， 0 ，所以 ,a 上单调递增； 又 11 l n 1 01ga a ， 2210g e a e a ，即 210g g e a ， 所以 ,a 上恰有一个零点0x， 且当 0,x a x时， 0f x g x ；当 0 ,时， 0f x g x ； 所以 0,单调递减，在 0,x 上单调递增， 所以0 合题意 . （ 2）当 2 ，即 0a 时，令 0 ，得 2 ， 当 ,2x a a 时， 0 ；当 2, 时， 0 ； 即 ,2 上单调递减，在 2,a 上单调递增 . 当 l n 2 0g a a 即 2 时， 20f x g x g a 恒成立， 即 ,a 上单调递增，无极值点，符合题意 . 当 2 l n 2 0g a a ，即 2 0 时， 1 1 0g a a ， 所以 2 1 0g a g a ，所以 2,a 上恰有一个零点1x， 且当 12,x a x时， 0f x g x ；当 1,时， 0f x g x ； 即 12,单调递减，在 1,x 上单调递增， 所以1 合题意 . 综上， a 的取值范围是 2, e ； （ 2）因为 0a ， ，所以 0 , l n l nx f x x x a x x ， 要证明 s i n 1xf x e x ，只需证明 l n s i n 1xx x e x ， 当 01x时，因为 s i n 1 0 , l n 0xe x x x ， 所以 l n s i n 1xx x e x 成立； 当 1x 时，设 s i n l n 1xg x e x x x ， 则 l n c o s 1xg x e x x ， 设 h x g x ，则 1 s i x e ， 因为 1x ，所以 1 1 0h x e ， 所以 1, 上单调递增， 所以 1 c o s 1 1 0h x h e ，即 0 ， 所以 1, 上单调递增， 所以 1 s i n 1 1 0g x g e ，即 l n s i n 1xx x e x ， 综上，若 0a ，则 s i n 1xf x e x. 1）因为 c o s , s i ， 由 2 得 2 2 co s ， 所以曲线1 2 211 ， 由 2s i n 4 c o s 得 22s i n 4 c o s ， 所以曲线22 4. （ 2） 不妨设四个交点自下而上依次为 , , ,P Q R S ，它们对应的参数分别为1 2 3 4, , ,t t t t. 把12232 代入 2 4， 得 23 4242，即 23 8 3 2 0 ， 则 21 8 4 3 3 2 4 4 8 0 ，1483， 把12232 ，代入 2 211 ， 得 22132 1 122 ，即 2 0 ， 则2 10 ，23