2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 2已知集合 A=x|2x 3 0， ，则 A B=（ ） A x|1 x 3 B x| 1 x 3 C x| 1 x 0 或 0 x 3 D x| 1 x 0 或 1 x 3 3设 a， b 均为实数，则 “a |b|”是 “（ ） A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4若点 P 为抛物线 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 5已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 6在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 8将一枚硬币连续抛掷 n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ，则n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 9运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A B C D 10若方程 在 上有两个不相等的实数解 x1+ ） A B C D 11已知向量 ， ， （ m 0， n 0），若 m+n 1， 2，则 的取值范围是（ ） A B C D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x） =ex+m（ m 0） ，当 x1+ 时，不等式f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立，则实数 取值范围是（ ） A（ ， 0） B C D（ 1， + ） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答） 14函数 f（ x） =ex点（ 0， f（ 0）处的切线方程是 15我国古代数学专著孙子算法中有 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二 ，问物几何？ ”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 16过双曲线 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于 A， B 两点，若 ，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ，求 周长的最大值 18某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进 行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用 户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90分的人数的分布列和期望 19如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 D=E 为棱 点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 点， ，试确定 的值，使二面角 P B 的余弦值为 20已知点 P 是长轴长为 的椭圆 Q： 上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点 M 为线段 中点，且直线 M 的斜率之积恒为 （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过左焦点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 C， D 两点，线段 x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是 ，求 |最小值 21已知函数 f（ x） =（ x 2） ex+a（ x+2） 2（ x 0） （ 1）若 f（ x）是（ 0， + ）的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 时，求证：函数 f（ x）有最小值，并求函数 f（ x）最小值的取值范围 选修 4标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4 线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 23已知 a 0， b 0，函数 f（ x） =|x+a|+|2x b|的最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求实数 t 的最大值 2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知直接利用 求解 【解答】 解： z=1+2i， =|z|2= 故选： A 2已知集合 A=x|2x 3 0， ，则 A B=（ ） A x|1 x 3 B x| 1 x 3 C x| 1 x 0 或 0 x 3 D x| 1 x 0 或 1 x 3 【考点】 交集及 其运算 【分析】 先分别求出集合 A， B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， =x|x 0 或 x 1， A B=x| 1 x 0 或 1 x 3 故选： D 3设 a， b 均为实数，则 “a |b|”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】 解：由 a |b|”能推出 “是充分条件， 反之，不成立，比如 a=1， b= 2，不是必要条件， 故选： A 4若点 P 为抛物线 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的性质直接求解即可 【解答】 解：点 P 为抛物线 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 |最小值为： 故选： D 5已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 【 考点】 数列的求和 【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式可得 n 分类讨论即可得出 【解答】 解： ， 5， 数列 公差为 2 的等差数列 5+2（ n 1） =2n 7 数列 前 n 项和 =6n 令 n 7 0，解得 n 3 时， | n 4 时， | 则 | +| a3+a4+a5+6 22 6 6 2（ 32 6 3）=18 故选： C 6 在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=x+后求解 z 最大值即可 【解答】 解：根据不等式 ，画出可行域， 由 ，可得 x=3， y=0 平移直线 2x+y=0， 当直线 z=2x+y 过点 A（ 3， 0）时， z 最大值为 6 故选： A 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 【考点】 由三视图求面积 、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积 【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥， 底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2， 所以四棱锥的体积 故选 D 8将一枚硬币连续抛掷 n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ，则n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【分析】 由题意， 1 ，即可求出 n 的最小值 【解答】 解：由题意， 1 ， n 4， n 的 最小值为 4， 故选 A 9运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数 f（ x） =2 在区间 1， 2上的零点，且精确到 模拟运行过程，即可得出结果 【解答】 解：由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数 f（ x） =2 在区间 1， 2上的零点，且精确到 模拟如下； m= = 时， f（ 1） f（ ） =（ 1） 0， b= ， |a b|= d； m= = 时， f（ 1） f（ ） =（ 1） （ ） 0， a= ， |a b|= d； 程序运行终止，输出 m= 故选： B 10若方程 在 上有两个不相等的实数解 x1+ ） A B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 由 题 意 可 得 2x+ ， ， 根 据 题 意 可 得 = ，由此求得 x1+ 【解答】 解： x 0， ， 2x+ ， ， 方程 在 上有两个不相等的实数解 = ， 则 x1+， 故选： C 11已知向量 ， ， （ m 0， n 0），若 m+n 1， 2，则 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意，由向量的坐标运算公式可得 =（ 3m+n， m 3n），再由向量模的计算公式可得 = ，可以令 t= ，将 m+n1， 2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得 t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离，进而可得 t 的取值范围，又由 = t，分析可得答案 【解答】 解：根据题意，向量 ， ， =（ 3m+n， m 3n）， 则 = = ， 令 t= ，则 = t， 而 m+n 1， 2，即 1 m+n 2，在直角坐标系表示如图， t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离， 分析可得： t 2， 又由 = t， 故 2 ； 故选： D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x） =ex+m（ m 0），当 x1+ 时，不等式f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立，则实数 取值范围是（ ） A（ ， 0） B C D（ 1， + ） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 通过变形 可知问题转化为不等式 f（ f（ 1 f（ 1） f（ 11）恒成立，设 g（ x） =f（ x） f（ 1 x）并求导可知 g（ x）在 R 上单调递增，利用单调性即得结论 【解答】 解： 不等式 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立， 不等式 f（ f（ f（ 1） f（ 0）恒成立， 又 x1+， 不等式 f（ f（ 1 f（ 1） f（ 1 1）恒成立， 设 g（ x） =f（ x） f（ 1 x）， f（ x） =ex+m（ m 0）， g（ x） =x+m（ 2x 1） ， 则 g（ x） =ex+x+2m 0， g（ x）在 R 上单调递增， 不等式 g（ g（ 1）恒成立， 1， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 48 种不同的分法（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 甲乙分得的电影票连号，有 4 2=8 种情况，其余 3 人，有 =6 种情况，即可得出结论 【解答】 解：甲乙分得的电影票连号，有 4 2=8 种情况，其余 3 人，有 =6种情况， 共有 8 6=48 种不同的分法 故答案为 48 14函数 f（ x） =ex点（ 0， f（ 0）处的切线方程是 y=x 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出 f（ x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） = f（ 0） =1， f（ 0） =0， 函数 f（ x）的图象在点 A（ 0， 0）处的切线方程为 y 0=1 （ x 0）， 即 y=x 故答案为： y=x 15我国古代数学专著孙子算法中有 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 128 【考点】 数列的应用 【分析】 根据 “三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二 ”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加即可求出答案 【解答】 解：我们首先需要先求出三个数： 第一个数 能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15； 第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21； 第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70； 然后将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加，即： 15 2+21 3+702=233 最后，再减去 3、 5、 7 最小公倍数的整数倍，可得： 233 105 2=23或 105k+23（ k 为正整数） 由于物数量在 100 至 200 之间，故当 k=1 时， 105+23=128 故答案为： 128 16过双曲线 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于 A， B 两点，若 ，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A， B 表示出来，再由 ，求出 a， b， c 的关系，然后求双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 的渐近线方程为 y= x， 设焦点 F（ c， 0），与 y= x 垂直的直线为 y= （ x c）， 由 可得 A（ ， ）； 由 可得 B（ ， ）， 再由 ，可得 0（ ） =2（ 0）， 化为 （ 即为 3 则 e= = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ，求 周长的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用 【分析】 （ 1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值 （ 2）利用函数的解析式求解 A，然后利用余 弦定理求解即可，得到 范围，然后利用基本不等式求解最值 【解答】 解：（ 1） ， ， 当 时， f（ x）取得最小值 2 （ 2） f（ A） =4， ， 又 ， ， 9=（ b+c） 2 ， ， ，当且仅当 b=c 取等号， 三角形周长最大值为 18某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90分的人数的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析 】 （ ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X，则 X 取值为 1， 2， 3，分别求出相应在的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人， 其中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人， 记评分小于 90 分的人数为 X，则 X 取值为 1， 2， 3， ， ， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 或 19如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 D=E 为棱 点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 点， ，试确定 的值，使二面角 P B 的余弦值为 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）证明 平面 出 ，即可证明 平面 （ 以 A 为原点，以 为 x， y， z 轴正方向，建立空间直角坐标系A 出相关点的坐标，平面 法向量，平面 法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 解：（ I）证明： 底面 面 又 底面 矩形， ， 面 面 平面 面 P， E 为 点， ， 面 平面 平面 （ 以 A 为原点，以 为 x， y， z 轴正方向，建立空间直角坐标系A |2， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， C（ 2， 2， 0）， E（ 0， 1， 1）， F（ 1， 0， 0）， ， ， ， M（ 2，2， 2 2） 设平面 法向量 ， ，即 ， 设平面 法向量 ， ， 即 ， ，解得 20已知点 P 是长轴长为 的椭圆 Q： 上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点 M 为线段 中 点，且直线 M 的斜率之积恒为 （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过左焦点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 C， D 两点，线段 x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是 ，求 |最小值 【考点】 圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）利用椭圆 Q 的长轴长为 ，求出 设 P（ 通过直线 斜率之积恒为 ，化简求出 b，即可得到椭圆方程 （ 2）设直线 l 方程为 y=k（ x+1）（ k 0），代入 有（ 1+22=0，设 A（ ， B（ 点 N（ 利用韦达定理求出垂直平分线方程，推出 ，利用弦长公式化简，推出 |最小值 【解答】 解：（ 1） 椭圆 Q 的长轴长为 ， 设 P（ 直线 斜率之积恒为 ， ， ， b=1， 故椭圆的方程为 （ 2）设直线 l 方程为 y=k（ x+1）（ k 0），代入 有（ 1+22=0， 设 A（ B（ 点 N（ 垂直平分线方程为 ， 令 y=0，得 ， ， = ， 21已知函数 f（ x） =（ x 2） ex+a（ x+2） 2（ x 0） （ 1）若 f（ x）是（ 0， + ）的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 时，求证：函数 f（ x）有最小值，并求函数 f（ x）最小值的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数 f（ x） = x 2） a，通过 f（ x） 0在（ 0， + ）上恒成立得到 ，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可 （ 2）通过 f（ x） =xa 0，数码 y=f（ x）在（ 0， + ）上单调递增，利用 零 点 判 定 定 理 说 明 存 在 t （ 0 ， 1 ）使 f （ t ） =0 ， 判 断 x=t ，推出 即 在 t （ 0， + ）上单调递减，通过求解函数的最值，求解 f（ x）的最小值的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） = x 2） a， 函数 f（ x）在区间（ 0， + ）上单调递增， f（ x） 0 在（ 0， + ）上恒成立 x 2） a 0， ， 令 ， ， （ 2） f（ x） =xa 0， y=f（ x）在（ 0， + ）上单调递增又 f（ 0） =4a 1 0， f（ 1） =6a 0， 存在 t （ 0， 1）使 f（ t） =0 x （ 0， t）时， f（ x） 0， x （ t， + ）时， f（ x） 0， 当 x=t 时， 且有 f（ t） = t 1） +2a（ t+2）=0， 由（ 1）知 在 t （ 0， + ）上单调递减， ，且 ， t （ 0， 1） ， f（ 1） f（ t） f（ 0）， e f（ t） 1， f（ x）的最小值的取值范围是（ e， 1） 选修 4标系与参数 方程 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 （ 1）曲线 极坐标方程为