2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 1 2i B 5+4i C 1 D 2 2已知集合 A=x|（ x 3）（ x+1） 0， B=x|x 1，则 A B=（ ） A x|x 3 B x|x 1 C x| 1 x 3 D x|1 x 3 3设 a， b 均为实数，则 “a b”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4直线 4x 3y=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A 6 B 3 C D 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 7在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A B C D 11若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实 根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）为增函数，当 x1+ 时，不等式 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立，则实数 取值范围是（ ） A（ ， 0） B C（ ， 1） D（ 1， + ） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果学号为 1 号到 30号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 15过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 16我国古代数学专著孙子算法中有 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知点 P（ ， 1）， Q（ O 为坐标原点，函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 周长 18某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分 50 60 70 80 90值区间 ，60） ，70） ，80） ，90） ，100） 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户，求 2 名用户评分小于 90分的概率 19如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 D=， ， E 为棱 点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 P 接球的体积 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作函数 f（ x）图象的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆 Q： +（ a 1）， 别是其左、右焦点，以线段 有且仅有两个交点 （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ， 0），求 |最小值 四、请考生在 22、 23 两题中任选一题作答 ，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 23已知 a 0， b 0，函数 f（ x） =|x+a|+|2x b|的 最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求实数 t 的最大值 2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 1 2i B 5+4i C 1 D 2 【考点】 复数的基本概念 【分析】 由已知直接利用共轭复数的概念得答案 【解答】 解： z=1+2i， =1 2i 故选： A 2已知集 合 A=x|（ x 3）（ x+1） 0， B=x|x 1，则 A B=（ ） A x|x 3 B x|x 1 C x| 1 x 3 D x|1 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出两个集合，然后求解交集即可 【解答】 解： A=x|（ x 3）（ x+1） 0=x| 1 x 3）， B=x|x 1，则 A B=x|1 x 3， 故选： D 3设 a， b 均为实数，则 “a b”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 判断命题的真假：若 a b 则 真命题，即 a b a b是真命题，即 b3a b 【解答】 解：若 a b 则 真命题，即 a b 若 a b是真命题，即 b3a b 所以 a b 是 充要条件 故选： C 4直线 4x 3y=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A 6 B 3 C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析 】 利用弦长公式 |2 ，即可得出 【解答】 解：假设直线 4x 3y=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦为 圆心到直线的距离 d= =1， 弦长 |2=2 =6 故选： A 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 【考点】 命 题的真假判断与应用 【分析】 由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案 【解答】 解：如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，则 a 与 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，故 A 正确； 如图： ， =a， ， =b， =l， 在 内取一点 P，过 P 作 a 于 A，作 b 于 B，由面面垂直的性质可得l， l， 则 l ，故 B 正确； 如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相交、异面，故 C 错误； 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平 面相交，故 D 正确 故选： C 6已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式可得 n 分类讨论即可得出 【解答】 解： ， 5， 数列 公差为 2 的等差数列 5+2（ n 1） =2n 7 数列 前 n 项和 =6n 令 n 7 0，解得 n 3 时， | n 4 时， | 则 | +| a3+a4+a5+6 22 6 6 2（ 32 6 3）=18 故选： C 7在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=x+后求解 z 最大值即可 【解答】 解：根据不等式 ，画出可行域， 由 ，可得 x=3， y=0 平移直线 2x+y=0， 当直 线 z=2x+y 过点 A（ 3， 0）时， z 最大值为 6 故选： A 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的图象 【分析】 利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可 【解答】 解：函数 f（ x） = 的定义域为： x 0， x R，当 x 0 时，函数 f（ x）= ，可得函数的极值点为： x=1，当 x （ 0， 1）时，函数是减函数， x 1 时，函数是增函数，并且 f（ x） 0，选项 B、 D 满足题意 当 x 0 时，函数 f（ x） = 0，选项 D 不正确，选项 B 正确 故选： B 9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积 【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥， 底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2， 所以四棱锥的体积 故选 D 10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数 f（ x） =2 在区间 1， 2上的零点，且精确到 模拟运行过程，即可得出结果 【解答】 解：由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数 f（ x） =2 在区间 1， 2上的零点，且精确到 模拟如下； m= = 时， f（ 1） f（ ） =（ 1） 0， b= ， |a b|= d； m= = 时， f（ 1） f（ ） =（ 1） （ ） 0， a= ， |a b|= d； 程序运行终止，输出 m= 故选： B 11若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 把方程 22x+ ） =m 化为 2x+ ） = ，画出函数 f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时 m 的取值范围 【解答】 解：方程 22x+ ） =m 可化为 2x+ ） = ， 当 x 0， 时， 2x+ ， ， 画出函数 y=f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象如图所示； 根据方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根， 得 1 1 m 2 m 的取值范围是 1， 2） 故选： C 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）为增函数，当 x1+ 时，不等式 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立，则实数 取值范围是（ ） A（ ， 0） B C（ ， 1） D（ 1， + ） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 根据题意，分析可得若不等式 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立，则有 ，解可得实数 取值范围，即可得答案 【解答】 解：根据题意，若 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1），则有 f（ f（ f（ 1） f（ 0）， 又由 x1+，则有 f（ f（ 1 f（ 1） f（ 0）， 又由函数 f（ x）为增函数， 则不等式 f（ +f（ 0） f（ +f（ 1）恒成立可以转化为 ， 解可得： 1，即实数 取值范围是（ 1， + ）； 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果学号为 1 号 到 30号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 95 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，得到关于 x 的方程，解出即可 【解答】 解：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x， 则 92 50=90 30+20x，解得： x=95， 故答案为： 95 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 1 【考点】 导数的运算 【分析】 先求 f（ x）的导数，再求导数值 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） =（ =exex f（ 0） =0+1=1 故答案为： 1 15过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线 y= x 平行，由此能求出双曲线的离心率 【解答】 解： 经过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点， 倾斜角为 60的直线与双曲线有且只有一个交点， 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双 曲线的一条渐近线 y= x 平行， =1， ， 解得 ， 离心率 e= 故答案为： 16我国古代数学专著孙子算法中有 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 128 【考点】 数列的应用 【分析】 根据 “三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二 ”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加即可求出答案 【解答】 解：我们首先需要先求出三个数： 第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15； 第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21； 第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70； 然后将这三个数分别乘以被 7、 5、 3 除的余数再相加，即： 15 2+21 3+702=233 最后，再减去 3、 5、 7 最小公倍数的整数倍，可得： 233 105 2=23或 105k+23（ k 为正整数） 由于物数量在 100 至 200 之间，故当 k=1 时， 105+23=128 故答案为： 128 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知点 P（ ， 1）， Q（ O 为坐标原点，函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 周长 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ 1）根据向量的坐标运用求解，函数 f（ x）解析式，化解即可求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值 （ 2）由 f（ A） =4， ，余弦定理和 面积为 建立方程组，求解b， c 的长度可得 周长 【解答】 解：（ 1）点 P（ ， 1）， Q（ O 为坐标原点， =（ ， 1）， =（ 1 函数 f（ x） = f（ x） =3 2x+ ） 当 x= ， k Z 时， f（ x）取得最小值 2； （ 2） f（ A） =4，即 4 2A+ ） =4 可得： A+ =k Z 0 A A= 又 ， 由余弦定理可得： a2=b2+2即 9=（ b+c） 2 又 面积为 ，即 ， 可得 ， 那么 b+c=2 故得 周长为： a+b+c=2 +3 18某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户，求 2 名用户评分小于 90分的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）作出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A， B， C， D，评分不小于 90 分分的人数为2，记为 a， b，从 6 人人任取 2 人，利用列举法能求出两名用户评分都小于 90分的概率 【解答】 解：（ ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人， 其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A， B， C， D， 评分不小于 90 分分的人数为 2，记为 a， b，从 6 人人任取 2 人， 基本事件空间为： =（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ ，共有 15 个元素 其中把 “两名用户评分都小于 90 分 ”记作 M， 则 M=（ （ （ （ （ （ ，共有 6 个元素 所以两名用户评分都小于 90 分的概率为 p= 19如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 D=， ， E 为棱 点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 P 接球的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 而 由 证明 平面 （ 棱锥 P 接球球心是线段 线段 垂直平分线交点 O，由此能求出四棱锥 P 接球的体积 【解答】 证明：（ 1） 底面 面 底面 矩形， 又 面 面 平面 面 P， E 为 点， ， 面 面 平面 解：（ 棱锥 P 接球球心是线段 线段 垂直平分线交点O， 由已知 = =4 ， 设 C 为 点， ， ， = =3， 四棱锥 P 接球的体积是 =36 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作函数 f（ x）图象的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论； （ 2）通过转化可知 a（ x） x 1， + ）恒成立，分别设 y1=a（ x）， y2=用 x 1， + ）可知 a 0再记 g（ x） =过举反例可知当 0 a 1 时不满足题意进而转化为函数的最值问题，利用当 x1 时 x 1 恒成立放缩即得结论 【解答】 解：（ 1）设切点为 M（ f（ ，直线的切线方程为 y f（ =k（ x f（ x） =a ， k=f（ =a ， 即直线的切线方程为 y a ）（ x 又切线过原点 O，所以 ， 由 ，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e （ 2） 不等式 a（ 2x 成立， 等价于 a（ x） x 1， + ）恒成立 设 y1=a（ x）， y2=于 x 1， + ），且当 a 0 时 a 0 记 g（ x） = 则当 0 a 1 时， g（ 3） =6a 0 不恒成立，同理 x 取其他值不恒成立 当 x=1 时， g（ x） 0 恒成立； 当 x 1 时，则 a 恒成立，等价于问题转化为求 h（ x） = 当 x 1 时的最大值 又当 x 1 时， x 1 x（ x 1），即 h（ x） = 1（ x 1）， 综上所述： a 1 21已知椭圆 Q： +（ a 1）， 别是其左、右焦点，以线段 有且仅有两个交点 （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ， 0），求 |最小值 【考点】 圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意可知 c=b=1，由此能求出椭圆的方程 （ 2）设直线 l 方程为 y=k（ x+1），（ k 0），代入 ，得（ 1+22=0，由此利用中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式，结合已知条件能求出 |最小值 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ 1） 椭圆 Q： +（ a 1）， 别是其左、右焦点， 以线段 直径的圆与椭圆 Q 有且仅有两个交点， 由题意可知 c=b=1， a= ，故椭圆的方程为 （ 2）设直线 l 方程为 y=k（ x+1），（ k 0）， 代入 ，得（ 1+22=0， 设 A（ B（ 点 N（ ， = ， ， 垂直平分线方程为 y ， 令 y=0，得 ， ， ， 0 | | =2 ， |最小值 |AB| 四、请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化