2013五升六 第7讲 组合问题(教师版)

第七讲 组合问题 1. 由数字 1、2、3 组成五位数，要求这五位数中 1、2、3 至少各出现一次，那么这样的五位数共有 _个。 答案：150 分析：（1）五位数中，1，2，3 三个数字其中一个出现 3 次，其余两个数字各出现 1 次。即 AAABC 这 种形式。从 5 个数位里取两个对 BC 做排列，剩余的填 A。A 有 3 种可能。共有 个。60325A （2）五位数中,1,2,3 三个数字其中两个出现 2 次，剩余一个数字出现 1 次。即 AABBC 这种形式。从 5 个数位里取 1 个填 C，剩余四个数位对 AABB 做排列。C 有 3 种可能。共有 个。92415C 所以这样的五位数共有 60+90=150 个。 2. 有一个由 16 个边长为 1 的小正方形组成的 44 的大正方形，如果从其中取出三个有边相连的小正方 形，那么，共有_种不同的取法。 答案：52 分析：三个构成直线型： 41 的长方形共 8 个，横的 4 个，竖的 4 个 每 个长方形有 2 种取法，共 16 种。 三个构成 L 型： 每个“L”型都有 个。914 所以共有 种不同取法。52916 3. 有 20 个石子，一个人分若干次取，每次可以取 1 个或 2 个或 3 个，但每次取完后不能留下质数个， 那么有（ ）种不同的方法取完。 （石子之间没有区别。 ） 答:25 提示：标数法。先把为质数的方法数标上 0. 剩 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 取 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 方 法 0 0 1 0 1 2 3 0 5 0 5 10 15 0 25 0 25 0 0 25 25 4. 有 7 个亮着的灯泡，每个灯泡都由 1 个开关控制，1 个开关只能控制一盏灯，每次按动其中 4 个开关 可以改变相应灯泡的亮暗状态。能否经过若干次操作使得 7 个灯泡都变暗？ 解：不能，每次按动 4 个开关，变暗的灯始终是偶数 5. 盒子里有 150 块糖，甲、乙两人轮流拿，每次拿走的糖数必须小于盒子里现有糖数的一半（例如第一 次最多拿走 74 个） 轮到某人时如果无法从盒子中拿糖就算输如果甲先拿，要想保证取胜，第一次 应该取走多少块糖？ 答案：22 分析：倒推，显然当面对的盒子中有 2 颗糖时，必败； 而面对 3 颗时，可拿 1 颗留 2 颗取胜； 面对 4 颗时，只能拿 1 颗，给对方留 3 颗，必败； 面对 5、6 、7 颗时，可拿 1、2、3 颗，给对方留 4 颗取胜； 面对 8 颗时，只能拿 1、2 、3 颗，给对方留 7、6、5 颗，必败； 以此类推，只要轮到乙拿糖时，面对的盒子里的糖为 颗时，乙必败，甲必胜。又 是 128，所n272 以，甲必胜的方法是：先从盒子中拿出 150-128=22 个。 6. 5 枚硬币中有一枚假币，它的重量与真币不同，但不知较重还是较轻。真币的重量是 5 克，现有一台 天平和一个 5 克的砝码，问最少称几次就能保证称出假币？如何称？ 答案：最少称 2 次就能保证称出假币。 分析：天平一端放 2 个硬币,一端放 1 个硬币和 1 个砝码 1、如果天平平衡, 则从剩下两个未称过的硬币中任取一个放天平一端 ,一端放 1 个砝码. （1）如果平衡, 则剩下那个是假的 （2）如果不平衡则这个就是假的. 2、如果天平不平衡, 有两种情况 （1）2 个硬币比 1 硬币 +砝码重.则取这 2 个硬币分别放在天平两端 （i）天平平衡 ,则那个和砝码在一起的是假的 (ii) 天平不平衡,则重的那个是假的 （2）2 个硬币比 1 硬币 +砝码轻.则取这 2 个硬币分别放在天平两端 （i） 天平平衡 ,则那个和砝码在一起的是假的 （ii） 天平不平衡, 则轻的那个是假的 7. 有 5 个砝码，重量分别是 2010 克、2011 克、2012 克、2014 克、2017 克，但砝码没有注明质量而外 观又完全相同，现有一台电子称，要在 3 次内称出 2011 克的砝码，怎样称？ 答案：第一步，任取 2 个砝码，称的重量如果是 4021 克、4023 克、4025 克、4028 克中的一个，则这 2 个砝码一定有一个是 2011 克的砝码，再称其中的一个就能找到 2011 克重的砝码。 如果称的重量不是 4021 克、4023 克、4025 克、4028 克，则这 2 个中一定没有 2011 克重的砝码。 第二步，就从剩下的 3 个砝码中任取 2 个， 重复第一步，称的重量如果是 4021 克、4023 克、4025 克、4028 克中的一个，则这 2 个砝码一定有一 个是 2011 克的砝码，再称其中的一个就能找到 2011 克重的砝码。 如果称的重量不是 4021 克、4023 克、4025 克、4028 克，则第 5 个就是 2011 克重的砝码。 8. 某校到了一批新生，如果每个寝室安排 8 个人，至少要用 33 个寝室；如果每个寝室少安排 2 个人， 寝室就要至少增加 10 个。如果每个寝室安排 5 个人，至少需要_个寝室。 答案：52 解：每个寝室安排 8 个人，要用 33 个寝室： 至少有： （人） ；至多有： （人） ；2571326483 每个寝室少安排 2 个人，寝室就要增加 10 个： 至少有： （人） ；80 至多有： （人） ；2513 根据这两个条件可以得到人数为 257 或 258。 所以，每个寝室安排 5 个人，至少需要 个寝室5218 2013 年 五升六超前班 教师版 9. 已知平面上有 n 个点，其中任意 3 个点构成的三角形都是直角三角形，求 n 的最大值？ 答案：4 分析 n=3 时，三个点构成直角三角形； 当再增加点时，新增点要与已有 3 点中任意两点构成的三角形都是直角三角形，在已有三角形内显 然不存在这样的点，而在三角形外，易知除了能和已有 3 点构成矩形这一点外，其余点和已有 3 点构 成的三角形中必有钝角三角形，因此 n 的最大值为 4,4 点构成矩形。 10. 44 的方格表，如图所示的 L 型 1）中至少去掉多少个格子，才能使剩下的图形中不存在 L 型？ 2）至少用几个 L 型盖住 44 方格表的一部分格子，才能使剩下的图形中不存在 L 型？ 答案：（1）8，（2）3 分析：1）每个 22 的格子，至少得去掉 2 个才能保证，所以 44 的格子，至少得去掉 24=8 个 2）需要证明 2 个不行，3 个可以（给出构造） 。每个 L 占一个田字格。如果只用 2 个 L，分 3 类逐一 否定：第一个 L 所占的田字格只能在正中心、边中心、角上。 11. 有 55 的正方形方格棋盘，共有 25 个 11 的单位正方形组成，在每个单位正方形的中心处染上一 个红点，请在棋盘上找出若干条不通过红点的直线，分棋盘为很多块（形状、大小可以不同） ，使得 每个小块中至多有一个红点，问最少要画多少条直线？ 答案：8 分析：如下图连接这 25 个红点，形成了左下图，要每一个小块中至多有一个红点，则连接两红点的 线段必与分割直线有交点，观察这个 44 正方形的一周，发现有 16 条连接两红点的线段，而一条分 割直线最多与这 16 条线段中的两条有交点，因此至少要有 8 条直线，给出一种构造入下。 12. 由 11、22、33 的小正方形拼成一个 1112 的大长方形，在所有可能的拼法中，需要 11 的 正方形最少个数是多少？若要拼成一个 2323 的大正方形，需要 11 的正方形最少个数是多少？试 证明你的结论 答案：（1）0， （2）1 分析：（1）11、22、33 的小正方形，它们的面积分别是 1、4、9，而大长方形 1112 的面积 为 132，要使 11 的正方形个数最少，则需用 22 和 33 的小正方形尽可能多，显然当用 12 个 33 和 6 个 22 的小正方形时，就能拼成 1112 的长方形，所以 11 的正方形最少用 0 个。 （2）显然根据（1）问结论可知，只需在中心放一个 11 的正方形，剩下的 4 个 1112 的矩形，是可 以用 6 个 22 正方形和 12 个 33 正方形拼成的，如右下图所示 关键是说明不用